郭 异，张起帆

(四川大学数学学院，四川 成都610064)

在数论研究中，关于有限域的研究占据了相当重要的地位.有限域在现代数学及计算机科学的多个领域都有着重要的应用.令Fq为q 元有限域，其中q=pr，我们自然对Fq上的函数及其性质感兴趣.特别地，对Fq上的双射函数，自19 世纪以来，已有学者进行了大量研究，重要的成果包括Hermite[1]，Dickson[2]，Cohen[3]，Wan[4]，Turnwald[5]及Zieve[6-7].

尽管关于有限域Fq上的双射已有不少重要成果，关于有限域Fq上子集的函数却缺少相关研究.本文研究重点将集中于有限域Fq上子集，通过引入有限生成代数的观点，说明对于有限域Fq上子集也有类似有限域上Hermite 判别法的结论成立，且可将一些基于有限域Fq上Hermite 判别法的研究成果平行地推广到子集上.

1 相关背景回顾

本节主要回顾本文将会用到的已有研究成果与结论.由于任意一个Fq到Fq上的函数，都可唯一表示为Fq上次数小于q 的多项式g，对于有限域上的双射函数自然转化为对置换多项式的研究.置换多项式的研究已有相当长的历史.这一方面的早期结果，参见Lidl and Niederreiter[8].

定理1.1 (Hermite 判别法)

由于对有限域Fq，有正交性:

因此，对Fq上多项式g(X)，由gmod Xq-X 的q-1 次项决定.进而，对k ≤q-2，f 满足前k个Hermite 条件等价于fkmod Xq-X 的次数小于q-1，即有常见版本的Hermite 判别法:

定理1.2 (Hermite 判别法，经典形式)

f(X)是置换多项式⇔下列两个条件成立:

1)f(X)在Fq中恰有一个零点.

2)fkmod Xq-X 的次数小于q-1，其中1 ≤k ≤q-2.

置换多项式，虽然定义简单，但却难于研究.为此，人们引入了例外多项式的概念来帮助研究置换多项式.例外多项式(最早由Davenport and Lewis[9]提出)，基于几何性质定义，更易通过较为深刻的几何工具来帮助研究；……