耿立艳 张占福 梁毅刚

[摘    要] 为提高GARCH类模型的波动率预测能力，将粒子群优化算法（PSO）与无偏灰色预测（UGM（1，1））模型引入到GARCH类模型中，构建PSOUGM-GARCH类模型。UGM（1，1）模型用于修正GARCH类模型的随机误差项，增强当期随机误差对条件方差的影响。同时利用PSO算法优化UGM（1，1）模型中的灰参数。通过对沪深300指数和深证综指的实证研究，比较分析了PSOUGM-GARCH类模型的样本外预测能力。结果表明，与UGM-GARCH类模型、GM-GARCH类模型和GARCH类模型比较，PSOUGM-GARCH类模型都能更准确地预测沪深300指数和深证综指的收益波动率，其中，PSOUGM-GARCH模型的样本外预测能力最优，PSOUGM-GJR-GARCH模型次之，PSOUGM-EGARCH模型的预测能力最低。

[关键词] 股指波动率预测;GARCH类模型;无偏灰色预测模型;粒子群优化算法

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2019. 19. 048

[中图分类号] TP273;F830    [文献标识码]  A      [文章编号]  1673 - 0194（2019）19- 0109- 05

0      引    言

波动率是金融经济学的主要研究内容之一，也是金融资产风险的重要衡量指标。选择科学的方法估计和预测波动率，在资产投资组合选择、资产风险的测度与管理中有重要的理论及现实意义。为此，国内外学者不断尝试建立各种波动率模型对金融资产波动率进行分析和预测。大量研究表明，由ARCH模型[1]发展起来的GARCH类模型表现较好，其中，GARCH[2]模型、EARCH模型[3]和GJR-GARCH模型[4]是应用最为广泛的GARCH类模型。针对金融数据中隐含着随机性和非线性因素，Tseng将灰色预测（GM（1，1））模型[5]引入到GARCH模型中，利用GM（1，1）模型修正GARCH模型的随机误差项[6]。以此为基础，Tseng、Wang将GM（1，1）模型与EGACH模型和GJR-GARCH模型相结合，分别提出了GM-EGARCH模型和GM-GJR-GARCH模型[7，8]。这些研究表明，GM（1，1）模型的引入有效提高了GARCH类模型的短期预测精度。但GM（1，1）模型由于自身理论上的局限性，在实际应用中往往预测误差较大。吉培荣提出了一种改进灰色预测模型，称为无偏灰色预测（UGM（1，1））模型。经研究发现，UGM（1，1）模型本身不存在传统GM（1，1）模型的固有偏差，而且其预测精度也优于传统GM（1，1）模型[9]。

为进一步提高GARCH类模型（GARCH、EGARCH和GJR-GARCH）的预测精度，本文利用UGM（1，1）模型连续修正GARCH类模型的随机误差项。但UGM（1，1）模型对其灰参数的求解算法存在缺陷，导致该模型在预测波动性较大的数据时产生较大预测误差，进而在一定程度上影响GARCH类模型的预测能力。为此，本文采用得到广泛应用的群智能优化算法——粒子群优化（PSO）算法选择UGM（1，1）模型的灰参数。运用本文所建模型预测沪深300指数和深证综指的收益波动率，以比较各模型的有效性。

1      GARCH类模型

1.1   GARCH模型

Bollerslev 提出的GARCH模型是ARCH模型的拓展形式，假設当期条件方差与过去的条件方差和随机误差有关。GARCH（p，q）模型形式如下：

εt=σtvt（1）

σt2=ω+■αiε■■+■βjσ■■（2）

其中，参数ω、αi和βj分别表示条件方差的不确定性、扰动项对波动率的短期和长期影响。各参数满足ω>0，αi，βj≥0，以确保条件方差的非负性。GARCH模型以较为简洁的形式描述了金融资产波动的聚集性和“厚尾”现象，但无法解释波动的非对称性。

1.2   EGARCH模型

Nelson提出的EGARCH模型能够解释金融资产波动的非对称性，将条件方差定义为对数形式，无需对各参数施加非负约束。条件方差方程表示为：

lnσt2=ω+■αi■-■+γi■+■βjlnσ■■（3）

其中，参数γi反映了波动的非对称性，γi=0表示不存在非对称性，γi<0表示负扰动对波动率的影响较大;γi<0表示正扰动对波动率的影响较大。

1.3   GJR-GARCH模型

Glosten等提出的GJR-GARCH模型同样能够反映金融资产波动的非对称性，其条件方差方程可表示为：

σt2=ω+■（αiε■■+γiS■■ε■■）+■βj σ■■（4）

其中，当εt-1<0时，S■■=1;当εt-1>0时，S■■=0。γi=0表示不存在非对称性，γ≠0表示存在非对称效应。

2      PSO-UGM（1，1）模型

2.1   UGM（1，1）模型

UGM（1，1）模型是一种改进型GM（1，1）模型，该模型不仅消除了传统GM（1，1）模型的固有偏差，适用范围得到扩展;而且无须进行累减还原，提高了建模效率。

（1）设初始时间序列为x（0）={x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}，x（0）（t）∈R+，t=1，2，…，n。对x（0）（t）进行一次累加生成，得到新序列x（1）={x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）}，其中，

x（1）（t）=■x（1）（l），t=1，2，…，n（5）

（2）建立微分方程dx（1）/dt+ax（0）=b，其中，a和b为灰参数，利用最小二乘法求解灰参数：

[a，b]=（CTC）-1CTY（6）

其中，C=-0.5[x（1）（1）+x（1）（2）]        1               …                       …-0.5[x（1）（n-1）+x（1）（n）]    1，Y=[x（0）（2）…x（0）（n）]。

（3）计算UGM（1，1）模型参数：

A=ln■，B=■（7）

（4）建立UGM（1，1）模型：

■（0）（1）=x（0）（1）■（0）（t）=B·eA（t-1），t=2，3，…，n（8）

2.2   PSO优化 UGM（1，1）模型参数

由UGM（1，1）模型的推导过程可知，灰参数a和b是UGM（1，1）模型中的关键参数，其估计值直接影响到 UGM（1，1）模型的预测能力。UGM（1，1）模型采用最小二乘法（OLS）求解a和b的值。OLS属于线性回归方法，应用的前提条件是随机误差序列须服从正态分布，否则，得到的参数估计值是有偏的。而实际的随机误差序列存在高度的随机性和非线性，具有明显的非正态分布，致使解出的参数估计值存在较大误差，进而影响到UGM（1，1）模型的预测准确性。

粒子群优化（PSO）算法是一种模仿生物种群社会行为的启发式算法[10]，由于具备良好的鲁棒性和简易的计算过程，在各种优化问题中得到广泛应用。为提高UGM（1，1）模型对随机误差预测的准确性，本文利用PSO算法优化灰参数a和b。优化过程中，每个粒子在（a，b）构成的二维空间中搜索全局最优解，以UGM（1，1）的预测误差作为适应度函数，计算每个粒子的适应度值，通过适应度值来寻找粒子的全局最优位置。具体优化步骤设计如下：

Step1 数据预处理。对初始数据序列ε（0）={ε（0）（1），ε（0）（2），…，ε（0）（n）}，进行非负处理，得到非负序列：u（0）={u（0）（1），u（0）（2），…，u（0）（n）}，其中，

u（0）（t）=u（0）（t）+min（ε（0）（t）），t=1，2，…，n                       （12）

Step2 粒子群初始化。初始化粒子群，包括种群的粒子数，最大、最小惯性权重值，两个学习因子值和最大迭代次数k。随机产生一组（a，b）作为粒子的初始位置和速度，设置速度和位置的上限Vmax sd和Smax sd。

Step3 定义适应度函数。参数优化的目标是提高UGM（1，1）模型的预测精度，将适应度函数定义为均方误差：

F=■■（■t（0）（t）-ut（0）（t））2（13）

其中，■t（0）和ut（0）分别表示预测值和实际值，t表示样本个数。

Step4 粒子进化。由适应度函数计算每个粒子的适应度值，搜索每个粒子的最优位置pbest和整个种群的全局最优位置gbest。根据式（14）更新惯性权重w。

w=wmax-■（14）

其中，wmax、wmin分别为惯性权重的最大值和最小值，kmax为最大进化代数。

Step5 判断终止条件。若k=kmax，则停止搜索，此时的全局最优位置为最优参数a*和b*;否则进化代数k=k+1，并转Step3。

Step6 建立UGM（1，1）模型。将最优参数a*和b*代入式（4）计算出A和B的值，构建UGM（1，1）模型并进行预测，将得到的预测值转化为初始数据的预测值■（0）（t）：

■（0）（t）=B·eA（t-1）-min（ε（0）（t）），t=2，…，n（15）

3      PSOUGM-GARCH类模型

根据GARCH类模型，条件方差实质上取决于过去的随机误差项，但该假设与实際情况不甚符合。金融市场是一个复杂的系统，受到各种确定性和不确定性因素的影响，因而GARCH类模型的随机误差项εt是一个包含了已知信息和未知信息的灰序列。该序列除受到过去资产价格波动的影响，还受到经济、政治、环境等复杂因素的影响。这些复杂因素时刻影响εt的变动，所以当期的随机误差对条件方差也会产生一定影响。本文利用PSO-UGM（1，1）模型的灰信息处理优势连续修正GARCH类模型中的随机误差项，加强当期随机误差对条件方差的影响。具体来说，运用UGM（1，1）模型预测随机误差项，再将随机误差项的预测值加入GARCH类模型的方差方程中，以改善GARCH类模型的预测能力。修正后GARCH类模型的方差方程可表示为：

σt2=ω+■αi（ε■■+■t2）+■βj σ■■（9）

lnσt2=ω+■αi■-■+γi■+■βjlnσ■■（10）

σt2=ω+■[αi（ε■■+■t）+γiS■■（ε■■+■t）]+■βj σ■■（11）

其中，■t表示由PSOUGM（1，1）模型获得的随机误差的预测值。

4      实证研究

4.1   数据选取

选取我国股票市场的沪深300指数（HS300）和深证成指（SZCI）每日交易数据为研究对象，时间跨度从2009年1月5日到2014年7月10日，共1 338个交易日的观测值，每组观测值包含开盘价、最高价、最低价、收盘价，数据来源于新浪财经网站。股指收益采用连续复合对数收益率rt=（lnPt-lnPt-1）×100，其中，Pt和Pt-1分别为第t日和第t-1日的收盘价格。两股指收益序列的描述性统计见表1。在样本期内，HS300和SZCI收益序列的均值接近于零，明显小于相应的标准误差，由此可将收益序列的条件均值设为零。两收益序列的J-B统计量在1%和5%水平下均显著拒绝了正态性的零假设，而且偏度均小于零、峰度均大于3，说明HS300和SZCI收益序列波动幅度较为剧烈，具有明显的“尖峰厚尾”且向左偏的非正态分布。LB（20）统计量显示，HS300收益序列为白噪声序列，不具有显著的自相关性;SZCI收益序列具有显著的自相关性。LB2（20）和LM（20）统计量均在1%和5%水平下显著拒绝了零假设，表明HS300和SZCI收益序列存在显著的ARCH效应，可建立GARCH类模型。

4.2   网络学习与预测

将全部数据样本划分为两部分：前1 000个样本用于建立模型;后337个样本用于检验模型的样本外预测能力。PSO算法自身参数进行如下设置：群体规模m=30，学习因子c1=c2=2，最大、最小惯性权重wmax=0.9，wmin=0.1，最大进化代数k=50。为减少随机性影响，PSO算法连续优化10次，选择其中最优的a*和b*构建UGM（1，1）模型。UGM（1，1）模型预测GARCH类模型的随机误差项时，采用向前一步滚动预测法，对于HS300，选取前12期的随机误差预测下一期的随机误差;对于SZCI，选取前11期的随机误差预测下一期的随机误差。将随机误差预测值加入GARCH类模型中，再利用建好的GARCH类模型预测波动率。为便于比较本文方法的有效性，基于相同数据样本，同时利用UGM-GARCH类模型、GM-GARCH类模型和GARCH类模型进行样本外波动率预测，将预测结果与本文方法的预测结果进行比较。

4.3   结果分析

真实波动率是无法预知的。评价各模型时，需事先估计事后波动率值（通过观测数据得到真实波动率的近似值）。一般采用股指日收益的平方估计事后波动率，但这种传统的波动率估计方法仅利用了股指的日内收盘价信息，在实际应用中将会产生明显的偏差[11]。基于极差的波动率通过充分利用大量日内价格信息，能够有效反映股指收益的波动状况，在理论上已被证明比基于日收益的传统波动率度量方法更有优势[12]，本文以极差波动率作为事后波动率的估计值，定义如下：

Rt=■（ln（Pt，high）-ln（Pt，low））×100（16）

其中，k为极差无条件方差与收益无条件方差之间的修正系数，Pt，high和Pt，low分别为第t日内的最高交易价格和最低交易价格。

选取均方根误差 （RMSE）、平均绝对误差（MAE）、西尔统计量（THEIL）、对数损失函数（LL）和指数损失函数（LINEX）共五个指标对各模型的样本外预测能力进行评价。各评价指标分别定义如下：

RMSE=N-1■（■t-Rt）2■（17）

MAE=N-1■|■t-Rt|（18）

THEIL=■（19）

LL=N-1■[ln（■t）-ln（Rt）]2（20）

LINEX=N-1■{exp[χ（■t-Rt）]-χ（■t-Rt）-1}（21）

其中，N为预测样本个数，■t为波动率预测值的均方根，Rt为以极差度量的事后波动率。以上评价指标度量预测误差的大小，其值越小，表明预测精度越高。

表2为各类模型的样本外波动率预测能力评价结果。首先，PSOUGM-GARCH类模型对HS300和SZCI的RMSE、MAE、LL和LINEX值都分别小于其他类模型的对应值，说明PSOUGM-GARCH类模型的样本外预测能力优于其他类模型。除SZCI的LINEX值外，PSOUGM-GARCH模型对HS300和SZCI的五个评价指标值均小于PSOUGM-EGARCH和UGM-GJR-GARCH模型的对应值;而且PSOUGM-GJR-GARCH模型对HS300和SZCI的五个评价指标值均小于PSOUGM-EGARCH模型的对应值。因此，在所考察的评价指标下，PSOUGM-GARCH模型的样本外波动率预测能力最好，PSOUGM-GJR-GARCH模型次之，PSOUGM-EGARCH模型最差。其次，对于HS300，除GM-EGARCH的MAE值和GM-GJR-GARCH的LL值外，UGM-GARCH类模型的五个评价指标值均小于GM-GARCH类和GARCH类模型的对应值;对于SZCI，UGM-GARCH类模型的五个评价指标值均小于GM-GARCH类和GARCH类模型的对应值，表明整体上UGM-GARCH类模型在波动率预测方面的表现优于GM-GARCH类模型和GARCH类模型。最后，根据五个评价指标值，GM-GARCH类模型对HS300和SZCI收益波動率的样本外预测能力优于GARCH类模型。

图1为PSOUGM-GARCH类模型的样本外波动率预测值比较。PSOUGM-GARCH类模型都较好地预测出所选时间段HS300和SZCI收益波动率的变动特征。在波动率变动幅度较小阶段，PSOUGM-GARCH模型的预测效果较好，而在波动率变动幅度较大阶段，PSOUGM-GJR-GARCH模型的预测效果则更佳。

5      结    论

本文将PSO算法、UGM（1，1）模型与GARCH类模型相结合，提出了PSOUGM-GARCH类模型，利用PSO算法优化后的UGM（1，1）模型修正GARCH类模型的随机误差项。以沪深300指数和深证综指为研究对象，验证了PSOUGM-GARCH类模型的有效性。实证结果表明，就沪深300指数和深证综指而言，PSOUGM-GARCH类模型较UGM-GARCH类模型、GM-GARCH类模型和GARCH类模型具有更好的样本外波动率预测能力，三种PSOUGM-GARCH类模型中，预测能力表现最好的是PSOUGM-GARCH模型，其次是PSOUGM-GJR-GARCH模型，最后是UGM-EGARCH模型。此外，UGM-GARCH类模型的样本外预测能力优于GM-GARCH类模型和GARCH类模型，而GM-GARCH类模型的样本外预测能力又优于GARCH类模型。

主要参考文献

[1]Engle R F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation[J]. Econometrica，1982，50（2）： 987-1007.

[2]Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity[J]. Journal of Econometrics， 1986， 31（3）： 307-327.

[3]Nelson D， Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns： A New Approach[J].Econometrica， 1991， 59（2）： 347-370.

[4]Glosten L R， Jagannathan R， Runkle D， On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks[J]. Journal of Finance， 1993， 48（5）： 1779-1801.

[5]刘思峰，谢乃明.灰色系统理论及其应用[M].第7版.北京：科学出版社，2014.

[6]Tseng C-H， Cheng S-T， Wang Y-H， New Hybrid Methodology for Stock Volatility Prediction[J]. Expert Systems with Applications，2009，36（2）： 1833-1839.

[7]Tseng C-H，Cheng S-T， Wang Y-H， et al， Artificial Neural Network Model of the Hybrid EGARCH Volatility of the Taiwan Stock Index Option Prices[J]. Physica A，2008，387（13）：3192-3200.

[8]Wang Y H.Nonlinear Neural Network Forecasting Model for Stock Index Option Price： Hybrid GJR-GARCH Approach[J]. Expert Systems with Applications，2009，36（1）： 564-570.

[9]吉培榮，黄巍松，虎翔勇.无偏灰色预测模型[J].系统工程与电子技术，2000，22（6）：6-7，80.

[10]Kennedy J，Eberhart R C. Particle Swarm Optimization[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Neutral Networks，1995：1942-1948.

[11]Andersen T G，Bollerslev T. Answering the Skeptics：Yes，Standard Volatility Models Do Provide Accurate Forecasts[J]. Internationa l Economic Review，1998，39（6）：885-905.

[12]李红权，汪寿阳.基于价格极差的金融波动率建模：理论与实证分析[J].中国管理科学，2009，17（6）：1-8.