韩霄翰， 李忠继， 池茂儒

(1 华中光电技术研究所 武汉光电国家研究中心， 武汉 430223；2 中铁二院工程集团有限责任公司 科学技术研究院， 成都 610031;3 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室， 成都 610031)

近年来，中低速磁浮轨道交通系统受到广泛关注，随着长沙中低速磁浮机场线的运营开通，标志着我国中低速磁浮关键技术经历数十年的发展已经较为成熟。但中低速磁浮车轨耦合振动的问题一直困扰着中低速磁浮系统投入商业运行，场区和道岔处轨道梁，其自重小、刚度小、结构自振频率高、结构阻尼低，易发生变形，因此采用主动控制的车辆悬浮系统，当悬浮控制适应能力较差，易产生剧烈车轨耦合振动，在静态或车辆低速运行时，易使悬浮架产生自激振动，由于中低速磁浮悬浮间隙小，一般仅为8 mm[1]，因此悬浮架的自激振动和轨道梁自振相耦合后会产生较为严重的后果，会导致列车悬浮失稳，甚至悬浮失效，使车辆吸死在轨道梁上。如何抑制中低速磁浮列车和轨道梁的耦合振动一直以来是国内外研究的热点。

近年来中低速磁浮交通越来越多的投入商业运营，因此车轨耦合振动问题亟待解决。国内外相关研究也层出不穷，大多数学者研究[1-2]磁浮车桥动力相互作用时悬浮电磁力采用等效质量和刚度表达，该方法忽略了较为重要的悬浮控制器的影响。文献[3-4]仅仅是探究了轨道梁刚度对车轨耦合振动的影响，而且大多是对车辆以不同速度下过轨道梁情况进行分析，并没有对车辆静态悬浮时的耦合振动特性进行探究。例如文献[5-7]建立了较为完善的考虑悬浮控制车轨耦合动力学模型，对磁浮车辆过弹性轨道梁的车轨动力响应进行了分析。因此目前国内外对中低速磁浮耦合振动的研究大多集中在悬浮控制系统和载荷质量以及轨道梁刚度上，没有建立一个较为准确的模型从轨道梁角度系统探究其结构参数对车轨耦合振动影响，且研究大多集中在不同速度下的车轨耦合振动的动力响应，而车轨耦合振动较为剧烈是发生在低速通过弹性轨道梁或静态起伏时[8]，并没有去分析静态悬浮下轨道梁结构的变化对车轨耦合振动的影响。

为探究轨道梁结构对车轨耦合振动的影响，通过建立“车辆-控制器-轨道梁”耦合动力学模型，在车辆静态悬浮时，通过悬浮架的振动分岔图，仿真再现剧烈的车轨耦合振动，对严重耦合振动的特性进行分析，系统的研究了轨道梁结构各个参数对中低速磁浮车轨耦合振动的影响及抑振规律。在工程实际中，可以通过对耦合振动较为剧烈处的轨道梁增加沙袋等辅助措施改变轨道梁结构力学特性，抑制因控制系统引起的车轨耦合振动。

1 中低速磁浮车轨耦合动力学模型

中低速磁浮列车因带有主动控制的悬浮系统的特点，易发生控制系统稳定性问题，也是引发车轨耦合振动的关键因素[2]，因此电磁悬浮系统的准确建立是研究磁浮车轨耦合振动的核心要素，轨道梁模型需重分考虑到车轨耦合相互作用关系，建立车轨耦合动力学模型时，为了计算方便需对一定次要因素进行简化，根据文献[4]磁浮车轨耦合振动大多在垂向上较为剧烈，因此在建立车轨耦合动力学模型时，建立较为详细的垂向动力学模型,对横向动力学模型进行简化。

1.1 车辆模型

根据长沙EMS中低速磁浮列车模型参数，建立磁浮列车动力学模型。单节磁浮车辆由5个悬浮模块组成，每个悬浮模块由左右两个悬浮侧架，悬浮侧架通过两组抗侧滚梁与迫导向机构相连，每组抗侧滚梁间由垂向吊杆相连。每个悬浮侧架下有两个电磁悬浮控制模型，产生电磁悬浮力作用于轨道梁上。车体由5组滑台支撑，每个滑台下方由空气弹簧支撑，空气弹簧安装在左右悬浮侧架上，每个悬浮侧架前后由两个空气弹簧支撑。为简化模型，对于迫导向机构只考虑其物理模型，整车均视为刚体，左右悬浮侧架的电磁线圈简化为两组。其结构如图1所示。整车动力学模型共考虑194个自由度。

图1 车辆垂向结构示意图

图1中MC为车体质量；IC为车体惯量；ZC为车体垂向位移；Zb为悬浮架垂向位移；Fe为悬浮电磁力；α为车体点头角位移；ks为二系空气弹簧刚度；Cs为二系空气弹簧阻尼。

图2 悬浮模块受力图

悬浮模块其与轨道梁垂向耦合动力学方程为：

(1)

式中：g为重力加速度；Fe为电磁悬浮力；Mb为悬浮模块的质量；Fkcg为悬浮架抗侧滚梁施加给悬浮模块的垂向力；Fsp为空气弹簧施加的垂向力。

1.2 悬浮控制器模型

采用双环PID控制的悬浮控制器基本结构如图3所示。

图3 双环PID悬浮控制器基本结构

为了避免电流环控制本身造成数字计算延迟，只考虑采用简单的控制形式，这里采用的具体算法如下:

U=kc1(Uc-kc2I)

(2)

U为控制器输出电压；kc1为电流环控制参数；Uc为PID控制器的输出电压；kc2电流环控制器电阻；I为线圈电流。

在前级控制子系统中，根据采集到的间隙和加速度信号，采用以下PID控制律对输出电压进行调节

U=RI+2k(I/z)′

(3)

(4)

联立式(2)、式(3)和式(4)，于是有

(5)

对式(5)求导可得

(6)

1.3 轨道梁模型

轨道梁的自振和受载荷下的扰度变化，均会导致悬浮间隙发生改变，从而影响车轨耦合相互作用关系，因此轨道梁考虑为弹性的Euler-Bernoulli梁，系统方程可以描述为

(7)

式中：EI为轨道梁的抗弯刚度；y(x，t)为轨道梁的动挠度；ρg为轨道的密度；Fe(x，t)为电磁力对轨道的作用力,Fs(x，t)为支座对轨道梁的作用力。为了数值计算的方便，采用模态叠加法，将轨道梁方程转化为一阶微分方程组。首先假设其解为

(8)

式中:Yn(x)是给定边界条件下的固有频率pn所对应的正则振型函数，qn(x)为未知的时间函数，即正则坐标(广义坐标)。Euler-Bernoulli梁的固有频率[10]为：

(9)

式中，n=1,2,3…，Euler-Bernoulli梁的振型函数为

(10)

则弹性轨道梁的微分方程可以写为：

(11)

式中：qn为广义坐标，kn为模态刚度，cn为模态阻尼。

2 车辆悬浮失稳机理分析

悬浮控制器参数间隙变化速度反馈参数kp与车轨耦合振动状态密切相关[3-5]，通过车轨耦合振动仿真程序，对中低速磁浮静态悬浮进行数值仿真计算，为使图像更为直观，得到以控制参数kp系数(kp/1 000)为自变量的悬浮架振动分岔图，见图4。分析不同kp系数下悬浮架的振动幅值，可以看出控制参数kp系数在A、B、C3个非稳定平衡区间取值时，会产生振动幅值较大的车轨耦合振动。

图4 参数kp为自变量的分岔图

进一步分析图中产生极限环幅值较大的区域，对A、B、C3个区间上的悬浮架和轨道梁的振动响应进行分析，分析磁浮车轨耦合振动根据文献[10]取悬浮架和轨道梁位移响应，3个区间上车轨耦合振动的位移响应如图5所示。

图5和图6给出了车轨耦合振动的位移响应结果，区间A产生的非稳定收敛的稳态振动，耦合振动频率较低，悬浮架振动发生幅值为8 mm的周期振动，区间B产生的车轨耦合振动，稳态运动最终幅值为2 mm的周期振动，振动频率较高，轨道梁的振动幅值逐渐趋于平衡点，区间C上悬浮架振动幅值逐渐发散，振动频率较高。因此3个区间上的车轨耦合振动特性不相同，在分析轨道梁结构参数对车轨耦合振动影响时，需分别对3个区间上的车轨耦合振动影响规律进行探究。

图5 悬浮架位移响应

图6 轨道梁位移响应

3 轨道梁固有频率改变对车轨耦合振动影响

根据轨道梁固有圆频率计算公式:

(12)

式中：E为轨道梁弹性模量；I为截面惯量；Ar为横截面积；ρ为材料密度。研究车轨耦合振动问题时通常只考虑轨道梁前三阶垂向固有频率对车桥耦合振动的影响[5]，忽略高阶振动的影响，根据式(12)轨道梁固有频率与轨道梁刚度EI和线密度ρAr以及跨度相关，而工程实际中轨道梁跨度较难改变，线密度和刚度可以通过给轨道梁增重，以及安装抑振装置改变。因此分析轨道梁结构对耦合振动影响，基于建立数值分析模型，仅探究轨道梁结构刚度和线密度对车轨耦合振动的影响。

3.1 轨道梁线密度

为了较为系统研究轨道梁各个参数对车轨耦合振动的影响，为了能大致得到规律性结果，各个参数变化区域取值较宽，分别对截面积在0.05 m2到2 m2，轨道梁密度在1 000 kg/m3到9 000 kg/m3之间取值，分别计算在A、B、C3个区间上对悬浮架振动分岔图的影响规律，计算结果如图7～图8所示。

图7 截面积为自变量的分岔图

图8 材料密度为自变量的分岔图

根据图7～图8可以看出在区间A上的耦合振动时，在单一改变截面积或材料密度时，对车轨耦合振动的影响也较小，随着线密度的增大，极限环幅值逐渐减小，悬浮架振动频率较低在3 Hz左右，幅值减小幅度不大。当控制参数kp较大，悬浮架发生幅值较大或幅值发散的失稳振动时，随着轨道梁线密度的增大，悬浮架振动幅值先逐渐增大，当线密度继续增大时，悬浮架的自激振动又逐渐收敛。

3.2 轨道梁刚度

轨道梁刚度为EI，因此通过轨道梁截面惯量和轨道梁弹性模量来改变轨道梁刚度[9]，截面惯量取值范围在0.05～2 m4，弹性模量取值范围在1×1010Pa到8×1011Pa，图9分别给出了固有频率随着刚度改变时，截面惯量为自变量的分岔图。

图9 截面惯量为自变量的分岔图

图10中可以看出发生振动频率较低的失稳振动时，截面惯量在区间内变化对极限环幅值无明显影响，且悬浮架的振动频率较小，控制参数kp较大，发生高频率的大幅值或幅值发散的失稳振动时，截面惯量在0.2～0.6范围内极限环幅值较大，易出现悬浮架失稳振动，悬浮架振动在分岔处的频率和轨道梁固有频率接近，在该区间之外，极限环幅值较小。同样悬浮架在分岔处的振动频率和轨道梁一阶垂向固有频率较为接近。

图10 弹性模量为自变量的分岔图

图10中可以看出控制参数kp较低，发生振动频率较低的失稳振动时，弹性模量在区间内变化对极限环幅值无明显影响，且悬浮架的振动频率较小，控制参数kp较大，发生高频率大幅值或幅值发散的失稳耦合振动时，弹性模量在1.2×1011～3×1011Pa范围内极限环幅值较大，易出现悬浮架失稳振动，悬浮架振动在分岔处的频率和轨道梁固有频率接近，在该区间之外，极限环幅值较小。同样悬浮架在分岔处的振动频率和轨道梁一阶垂向固有频率较为接近。悬浮架振动响应随着轨道梁刚度增加而减小，当一阶垂向固有频率继续增大后，轨道梁刚度增加对悬浮架振动响应基本无影响，和文献[7]中一致。

4 恒定固有频率下轨道梁结构对车轨耦合振动影响

为研究轨道梁固有频率恒定时，轨道梁结构改变对车轨耦合振动的影响，通过调整轨道梁弹性模量和线密度的方式，使轨道梁的一阶垂向弯曲固有频率保持不变[11],为避免偶然因素影响，根据文献[12]长沙磁浮线道岔主动梁的一阶垂弯频率为25 Hz,正线上一般为10 Hz左右，因此分别在10 Hz、25 Hz两种固有频率下,探究不同轨道梁线密度和弹性模量组合下车轨耦合振动响应。计算工况如表1所示。

表1 Group A和Group B

4.1 频率恒定时仿真分析结果

图11～图12给出了轨道梁固有频率为10 Hz时，GroupA中5个工况下kp为自变量的悬浮架振动分岔图和频谱图。

图11 Group A下kp的稳定区间

图12 Group A下kp区间的频谱图

结合图11、图12，轨道梁一阶垂弯频率为10 Hz时，工况1和工况2的稳定区间较小。控制参数kp较小时，轨道梁弹性模量和线密度配比对稳定区间影响不大，变化规律相同，参数kp较大极限环幅值逐渐增大，工况3和5的稳定区间最大，比工况1、2、4发生极限环幅值增大要晚，1、2、4无明显区别。对于发生耦合振动的频率，kp较小发散极限环幅值较大的振动时，频率都较小，小于5 Hz，参数kp较大时发生的耦合振动，频率都位于30 Hz左右。因此实际工程中，根据控制参数引发的车轨耦合振动类型，适当加减沙袋可以调节轨道梁刚度和线密度，从而对车轨耦合振动进行有效抑制。

图13、图14中悬浮架振动位移响应结果表明，当轨道梁一阶垂向固有频率25 Hz不变时，和10 Hz相似，kp较小时引发的耦合振动对不同轨道梁结构条件下基本无变化，当kp参数较大时不同工况下的稳定区间略有差异，工况4下的稳定区间较大，工况2和工况5的稳定区间。

图13 Group B下kp的稳定区间

图14 Group B下kp的频谱图

4.2 轨道梁结构阻尼

探究结构阻尼对车轨耦合振动的影响，使轨道梁一阶垂向固有频率保持在25 Hz不变，使轨道梁结构阻尼比从0.001到0.1逐渐增大，计算结果如图15～图17所示。

图15 阻尼比对区间A耦合振动控制

图16 阻尼比对区间B耦合振动控制

图17 阻尼比对区间C耦合振动控制

结合图15～图17的振动响应结果，车轨发生幅值较大的高频耦合振动时，增大轨道梁结构阻尼比后,结果可以得到，随着轨道梁结构阻尼比的增大轨道梁和悬浮架的振动都能得到明显抑制。车轨发生幅值逐渐发散的耦合振动时，随着轨道梁阻尼比的增大悬浮架振动幅值逐渐减小，图中阻尼比较小时，悬浮架振动逐渐发散，上浮吸着在轨道梁上，当阻尼比大于0.02后悬浮架振动从失稳振动到稳态等幅振动，工程实践中对耦合振动较大处的轨道梁内部可以加装一些阻尼材料，可以有效抑制车轨剧烈的耦合振动。

5 结束语

轨道梁结构参数对车轨耦合振动的影响规律和与车轨发生耦合振动时的振动特性有关，基于以上分析，可以得出以下几个结论。

(1)轨道梁固有频率随轨道梁结构参数改变时，能够抑制控制器参数引起的车轨高频耦合振动，无法抑制车轨低频耦合振动。

(2)轨道梁结构改变时，固有频率不变，控制器参数较小引起的车轨耦合振动不受轨道梁结构改变的影响，当控制参数较大时，引发的车轨耦合振动，可以适当调节刚度和线密度来抑制车轨耦合振动。

(3)由控制器参数引起的车轨耦合共振中，当轨道梁阻尼比大于0.02，能对车轨耦合振动产生抑制作用，因此增大轨道梁阻尼比到一定的范围能明显抑制车轨耦合振动。