数形结合方法在微积分证题中的应用分析

2019-11-04黄梅花

理科爱好者(教育教学版) 2019年4期

关键词：微积分数形结合应用

黄梅花

【摘要】在高等数学中，微积分证明题堪称难点。在微积分证明题中引入数形结合的方法，可以把抽象难懂的微积分证明题变得直观具体，利用数形结合来解题还有助于数学思维与创新能力的培育和养成。

【关键词】数形结合;微积分;应用

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）22-0007-02

把数形结合的思想引入微积分证明题的解题中就是为了简化解题思路，我们通常可以通过利用图形的对称性、利用几何作图法、利用导数的几何意义与利用积分的几何意义来解答微积分证明题[1]。

1 利用几何作图法来解答微积分证明题

例1：设，求。

单调有界原理是我们在解答这道题时的主要解法，然而我们如何找出此数列的上界呢？我们可以引入数形结合的解题思想，通过作图来直观的看出数列的有界性与单调性，如图1中所示：

我们可以把数列的递推公式看成是方程x=f（x）的迭代格式，它的根就是的极限。我们可以作直线y=x与曲线y=，二者的交点为P（a，a），

其中a=，在x轴上取初值x1，然后过x1点做x轴的垂线与y=相交于P1（x1，f（x1））=P1（x1，x2），Q1的坐标为（x2，x2），然后过Q1作X轴的垂线交y=于P2（x2，f（x2））=P2（x2，x3），以此类推，可以由P2得出Q2=（x3，x3），然后再得到P3（x3，x4），如此推导下去，即可得出x1

因此，我们可以由此证明，由于a=是方程x=的根，所以=c+a，然后：，同时由于x1=<=a，根据归纳法可以得知，

2 利用导数的几何意义来解答微积分证明题

由于曲线的切线与函数的导数密切相关，因此，通过数形结合的思想利用导数的几何意义能更好的帮助我们来解答微积分证明题。

例2：假设f（x）在[a，b]上连续，并且在（a，b）内二阶可导，连接点（a，f（a））与点（b，f（b））的直线段交曲线y=f（x）于点（c，f（x）），并且a

可以从题中得知用罗尔定理来证明此题，可以假设F（x）=f′（x），为了使它满足罗尔定理的条件，需要找出两个点，使F（x）在这两点处的值相等，可以从图三中发现，曲线弧AC上的点（a1，f（a1））处的切线与曲线弧CB上的点（a2，f（a2））处的切线平行，即F（a1）=F（a2），而a1，a2可以由Lagrange中值定理得到，所以对函数F（x）在[a1，a2]上应用罗尔定理即可。

由此可以证明，在[a，c]和[c，b]上对y=f（x）分别使用拉格朗日中值定理，可以得出（a，c）上存在一点a1，在（c，b）上存在一点a2，使f′（a1）=，

f′（a2）=，同时又由于=

因此，可以得出f′（a1）=f′（a2）。

又因为F（x）=f′（x）在[a1，a2]上连续，同时又在（a1，a2）上可导，由罗尔定理可知至少存在一点a∈（a，b），使得f″（a）=0。

3 利用积分的几何意义来解答微积分证明题

例3：已知f（x）是[a，b]上的连续递增的函数，试证明f（x）至少存在一点a∈（a，b），使。

如图3所示，可以从几何意义上来理解此等式，表示矩形BCFG的面积，表示矩形ADFE的面積，而等式的右端则表示阶梯形ADCBGE的面积。

当=b时，此时阶梯型的面积最小，当=a时，此时阶梯形的面积最大，而曲边梯形ABGE的面积则介于这二者之间。等式表明，曲边梯形ABGE的面积恰好等于某一个阶梯形面积。我们因此可以用连续函数的介值定理来证明，我们可以设阶梯形的面积函数为辅助函数。

解题过程如下：设F（x）=f（a）（x-a）+f（b）（b-x），则F（x）在[a，b]上连续，且F（a）=f（b）（b-a），F（b）=f（a）（b-a），又因f（x）是[a，b]上的递增的连续函数，所以对一切x∈[a，b]有f（a）≤f（x）≤f（b）。由定积分性质有f（a）（b-

a）≤≤f（b）（b-a）。又由于F（a）=f（b）（b-a），F（b）=f（a）（b-a），所以F（b）≤≤F（a）。由介值定理可知，至少存在一点∈（a，b），使=F（a）。即。

4 结语

综上所述，通过以上的例题可以发现，引入数形结合思想是解答微积分证明题的有效方法，因此在微积分解题中应熟练掌握并运用。通过把数形结合的思想引入微积分解题之中，把抽象的微积分公式具体直观化，更有助于激发和培育自身的数学思维与创新能力。