贾叶玲 董绍华

摘 要：針对并行机带工艺约束的混合流水车间环境下的成套订单问题，提出一种基于分批调度策略的启发式遗传算法。首先，以最大化加权成套订单数为目标建立数学模型，对工件分批采用内层遗传算法生成初始调度;再以外层启发式规则转化目标为最大加权成套订单数，设计一种订单评价指标用于突破交货时间瓶颈;最后，内外层算法循环优化，直到不存在瓶颈即得到满意解。实例验证结果显示，启发式遗传算法能在20代以内得到每组最优调度，种群规模大于50时得到最优解的概率达到70%。对比实验结果显示，当问题规模增加到40个工件时，遗传算法求解时间显著增加，在不同问题规模中临界比最小（SCR）规则优化后的加权成套订单数均较启发式遗传算法更少。启发式遗传算法能在实际工程中够将加权成套订单数提高到1.5倍以上，使加工时间平均缩短5.1%。结果表明，启发式遗传算法能够改善成套订单问题在混合流水车间环境下易陷入局部最优的问题，可在大规模复杂混合流水车间的订货型企业中实现计划与生产同步，具有实际意义。

关键词：混合流水车间;成套订单;遗传算法;启发式规则;车间调度

中图分类号：TP301; TP18

文献标志码：A

Research on Whole-set order problem of hybrid flow shop based on heuristic-genetic algorithms

JIA Yeling*， Dong Shaohua

College of Mechanical Engineering， University of Science and Technology Beijing， Beijing 100083， China

Abstract：

A heuristic-genetic algorithm based on batch scheduling strategy was proposed for the whole-set order problem in hybrid flow shop environment with process constrainted parallel machine. Firstly， a mathematical model was established with the objective of maximizing the number of weighted whole-set orders， and initial scheduling was generated by inner genetic algorithm applying to workpieces in batches. Then， the target was transformed to the maximum weighted whole-set order quantity by outer heuristic rules， and an order evaluation index was designed to break the delivery time bottleneck. Finally， the inner and outer algorithms were optimized circularly until there was no bottleneck， which means the satisfactory solution was obtained. Examples show that heuristic-genetic algorithm can obtain the optimal scheduling within 20 generations， and the probability of obtaining the optimal solution is 70% when the population size is larger than 50. The experimental results show that when the scale of the problem increases to 40 workpieces， the solving time of genetic algorithm increases significantly，

and the optimization results of Smallest Critical Ratio （SCR） rules in different scale of the problem are lower than those of heuristic-genetic algorithm.

and the number of whole-set orders optimized by Smallest Critical Ratio （SCR） rule is smaller than the heuristic-genetic algorithm in different problem sizes.

Heuristic-genetic algorithm can increase the quantity of weighted whole-set orders to more than 1.5 times in practical engineering， and shorten the processing time by 5.1% on average. The results show that the heuristic-genetic algorithm can solve the problem that the whole-set order problems are easy to fall into local optimum in the hybrid flow shop environment， and can realize the synchronization of planning and production in the large-scale and complex hybrid flow shop ordering enterprises， which has practical significance.

Key words：

hybrid flow shop; whole-set order; genetic algorithm; heuristic rule; shop scheduling

0 引言

近年來许多现代化企业生产模式由传统备货型生产转变为订货型（Make-To-Order，MTO）生产。对于MTO型企业来说，生产活动与决策均以最大限度满足客户需求为目标，让客户满意是企业保证市场竞争力和收益的关键[1]。MTO生产模式中，订单内不同工件的交货期不同是一种较复杂的情况，为了保证企业的订单履约能力，提高客户满意度，企业需在有限生产能力下合理进行生产作业计划安排与调度，按产品的交货期要求交货，一个订单中任何一个产品误工都会导致该订单未按要求履约，类似情况在一些采用定制生产方式的企业比较常见（如汽车制造、船舶制造等）。这类以成套完成订单数为目标的车间调度问题被称为成套订单问题。成套订单问题的研究对MTO生产模式的企业提高服务水平和市场竞争力具有现实意义。

成套订单问题在最小化误工件数问题的基础上发展而来，与最小化误工件数相比，成套订单问题由工件交付的准时性延伸到了订单交付的完整性，更加能够实现订货型生产的本质目标。周水银等[2]首次就单台机器环境下的成套订单问题进行了研究并建立了0-1整数规划模型。苏亚等[3]研究了含调整时间的并行机环境下的成套订单，采用遗传算法求解。Yu等[4]提出了采用随机键编码的萤火虫算法解决单机环境下的成套订单问题。与成套订单相似的问题是具有工件交货时间要求的提前/拖期问题，肖世昌等[5]提出了基于分布估计算法的混合算法对随机加工时间的Job Shop问题进行求解。桂玲等[6]提出了加入拖期工件剔除规则的改进的遗传算法求解了工序不确定的提前/拖期问题。文献研究表明对于以解决成套订单问题为目标的研究多集中于理论与智能计算方法研究，方法与实际生产的结合应用有待提高。

与本文研究相关的还有混合流水车间的调度问题（Hybrid Flow Shop Problem， HFSP），HFSP是传统流水车间与并行机车间调度问题的结合，求解难度更大，两阶段HFSP即为非确定性多项式难题（Non-deterministic Polynomial Hard， NP-Hard）问题[7]。早期对HFSP的研究多集中于相同并行机环境下[8-9]，可接受的计算时间内的求解方法主要为启发式算法[10]，近几年求解此类问题的多种智能方法得到了研究[11-14]。带约束并行机是混合流水车间的一种复杂情况，是指同一工序含有多种类型并行机，在工件工艺约束下，各并行机可适用的工件规格不同。曾有学者以拖后惩罚最小为目标应用并行遗传算法对其进行了研究[15]。

目前对于成套订单问题的研究多为单机、单阶段以及流水线环境下的研究，对于混合流水车间环境下的成套订单问题鲜有研究。目前还未见到针对并行机带工艺约束的混合流水车间的成套订单问题研究。本文以某船类零件制造企业实际生产车间环境为背景，针对企业生产过程中的订单履约能力差，客户满意度低等问题，设计一种结合了启发式规则与遗传算法的双层算法（以下称为启发式遗传算法），以最大化加权成套订单数为优化目标，对并行机带工艺约束混合流水车间环境下的成套订单问题进行研究。实例验证表明，启发式遗传算法能够在大规模复杂型调度问题中以较快收敛速度得到满意解，在实际工程中能够显著提高加权成套订单数，提升企业订单履约能力和服务水平。

1 问题描述与数学建模

1.1 问题描述

一次生产任务有n个相对独立的工件需按照一致的方向在s道工序上加工，工件共来自H个订单，Qh（1≤h≤H）表示订单h的工件集，即Q1∪Q2∪…∪QH={1，2，…，n};订单h的权重为ωh，在实际环境中ωh根据订单h所对应的产品价值、客户等级、利润水平、拖期惩罚等确定;车间由M台机器组成，每道工序至少有一类并行机，每类并行机至少有一台;并行机具有特殊工艺约束，每个工件在各工序有适用机器集;记工件i属于订单h，其交货期为Dhi，完工时间为Chi，定义工件延误系数为Uhi（1≤h≤H，1≤i≤n），当Chi≤Dhi时 ，Uhi取0，否则取1。

另外，还有如下假设：

1）工件之间相互独立，加工不分先后;

2）一台机器每次只能加工一个工件，每个工件各工序只需在一台机器上加工一次;

3）工件各工序之间存在优先加工限制，不可同时加工;

4）工件一旦开始加工，必须进行到完工，不得中途终止;

5）不考虑工件在机器之间的转移时间以及机器准备时间;

6）工件在机器上的加工时间已知，不随加工顺序而改变;

7）所有工件到达时间为0。

根据以上假设和定义，要研究的问题为：确定工件的加工顺序以及工件在各工序上的机器分配，使加权成套订单数最大。

1.2 符号定义

Mj：第j道工序并行机集合。

NMj：第j道工序并行机数量。

MPij：工件i在第j道工序可用的机器集合，MPijMj。

tijk：工件i的第j道工序在机器k上的加工时间。

stijk：工件i的第j道工序在机器k上的开始加工时间。

etijk：工件i的第j道工序在机器k上的结束加工时间。

xijk：当工件i的第j道工序在机器k上加工时xijk=1;否则xijk=0。

rjk：第j道工序在机器k上加工的第r个任务的工件编号。

Ti：工件i的各工序加工时间总和。

1.3 模型构建

根据以上问题描述，建立数学模型如下：

F=max∑Hh=1ωhXh（1）

其中Xh为决策变量，

Xh=1，  ∑i∈QhUhi=0

0，其他

s.t.

∑kxijk≤1; i=1，2，…，n， j=1，2，…，s，k∈MPij（2）

etrjkjk≤st（r+1）jkjk; j=1，2，…，s，k∈Mj，rjk∈{i}ni=1，r=1，2，…，Njk-1（3）

etijk≤sti（j+1）k*; i=1，2，…，n， j=1，2，…，s，k∈MPij，k*∈MPi（j+1）（4）

etijk=stijk+tijk; i=1，2，…，n， j=1，2，…，s，k∈MPij（5）

若rjk=i，则：

stijk=0，          j=1， r=1

et（r-1）jkjk，j=1，r>1

eti（j-1）k-，r=1， j>1

max（et（r-1）jkjk，eti（j-1）k-），r>1， j>1

其中：

k∈MPij，k-∈MPi（j-1），r=1，2，…，Njk（6）

Chi=etisk;

i=1，2，…，n，ks∈MPis（7）

xijk∈{0，1}，xijk-=1，i， j，k，r（8）

式（1）为问题的目标函数，即最大化加权成套订单数;式（2）表示每个工件在每道工序最多只能选择一台机器加工;式（3）表示一台机器在同一时间只能加工一个工件;式（4）表示如果工件的前一道工序未完成，不可开始后续工序;式（5）表示对于任何工件，其每道工序的结束完工时间取决于该工序开始时间与加工时间;式（6）表示当工件i是第j道工序在机器k上加工的第r个任务时，工序开始时间取决于该工件前一道工序的结束时间与本机器的前一任务结束时间;式（7）表示任意工件的完工时间为该工件最后一道工序的结束加工时间;式（8）为变量取值范围。

1.4 问题特点

本文所研究的并行机带工艺约束混合流水车间的成套订单问题与其他车间调度问题相比，具有以下特点：

1）解的组成结构复杂。

传统调度问题可看作二维排序问题，即确定工件加工顺序与开始加工时间，本文车间环境下的调度还需根据工件的特殊工艺约束合理选择加工机器，即确定工件各阶段加工排序、开始时间以及加工机器，可看作三维排序问题，解的组成结构复杂。

2）搜索空间巨大。

相对于单个阶段车间调度问题，混合流水车间环境的各个阶段生产排序之间存在紧密联系，在特定优化目标下，每阶段的生产排序都会对结果产生影响，只能在综合求解空间中寻找最优解，当工件数量和工序数量增多时，可行解的数量会显著增加，搜索空间巨大。

3）易陷入局部最优。

在寻优过程中，提高加权成套订单数需当前未成套的订单成套完成，而同一订单内包含多个工件，需全部工件同时满足交货期要求，由于问题求解空间巨大、解的形式复杂等特点，以加权成套订单数为目标的搜索过程难以跳出局部最优状态。

2 算法设计

本文所研究的混合流水车间成套订单问题属于NP-Hard问题，在问题规模较大时，如何控制求解搜索空间，在可接受的时间范围内得到满意解是解决问题的关键。分支定界法这类深度遍历式分析算法以及传统遗传算法、蚁群算法等难以适合此类问题的最优化求解。因此本文设计启发式遗传算法求解上述模型，基于分批调度策略对工件进行生产排序，内层采用遗传算法以最小化完工时间进行调度优化，外层启发式规则将目标转化为最大化加权成套订单数寻找相邻解，不断重复內外层算法循环，直至满足目标条件。

2.1 外层启发式规则

外层启发式规则基本步骤如下：

步骤1 零件分批。

将全部工件的交货期按照交货期最早（Earliest Due Date， EDD）规则排列，得到G个不相同的交货期时间点dg（d1

步骤2 生成调度方案。

令加工矩阵中Xh=0的订单中全部工件pig=0，更新分组加工矩阵Pig。以加工优先级顺序分批采用内层遗传算法进行优化调度，优化目标为：

min（max（Chipig））（9）

其中，当g=1 且pig=1时，第一道工序开始时间sti1k=0;当g>1且pig=1时，sti1k为机器k的上一工序完工时间。

步骤3 分析交货期瓶颈。

根据调度结果得到G批工件的完工时间，计算各批交货期瓶颈值Bg：

Bg=max{B′g，0}

其中

B′g=min（max（Chipig））-dg;1≤g≤G，1≤i≤n（10）

若存在∑Gg=1Bg>0，转步骤4。

若∑Gg=1Bg=0，则在该调度中，全部工件满足交货期要求，保存该加工排序方案，计算加权成套订单数，输出结果。

步骤4 订单评价。

定义Vh表示订单h对于消除交货期瓶颈的贡献。

Vh=∑Gg=1min（Sg，Bg）; Bg>0

其中，Sg=Tgh，          g=1

Tgh+max（Tg-1h-Bg-1，0），g>1

其中，Tgh=λ∑i∈QhTipig

其中，Ti为工件i的各工序加工时间总和：

Ti=∑sj=1tijkxijk

λ为一个模糊值，λTi表示生产任务中剔除工件i后可能节约的完工时间，λ与车间类型以及生产任务规模有关：

λ=（max（ChipiG））/∑Gg=1∑ni=1Tipig;

i=1，2，…，n， j=1，2，…，s，1≤g≤G，1≤h≤H，k∈MPij（11）

选择Vh/ωh值最大的订单h，延迟加工或拒绝接受。令订单h的成套系数Xh=0，转步骤2。

循环步骤2、3、4，直到∑Gg=1Bg=0。

2.2 内层改进的遗传算法

分批调度可以看作多个以最小化完工时间为目标的混合流水车间调度问题。本文采用改进的遗传算法作为内层算法对问题进行求解。

2.2.1 编码与解码

一般混合流水车间调度问题类型可看作三维排序问题，并行机带工艺约束的混合流水车间较一般混合流水车间问题更为复杂，特殊工艺约束机器只能加工具有特定规格或工艺的工件，且可能重叠。本文采取多层编码的方式，每层编码分别表示不同含义，从而使一个染色体完整地表达问题的解。染色体编码方法为整数编码，第一层编码表示所有全部工序的加工顺序，第二层编码表示对应工序选择的加工机器。若待加工的工件总数为n，第i个工件有mi道工序，则个体长度为2∑ni=1mi。对于个体的前∑ni=1mi位，采用基于工件的编码方法，指定所有的工件编号，工件编号在染色体中出现的次序代表该工件的工序。对于个体的后∑ni=1mi位，每位代表前半段染色体相应位置工序的加工机器编号。解码时，根据个体给出的优先顺序，将染色体转化为有序调度并产生调度方案。

2.2.2 初始种群与适应度值

在各组生成初始种群时，随机生成第一层编码，表示全部工序的加工顺序。在第一层编码第i位产生后，判断该基因表示的工件编号和工序，在适用于该工件的并行机集内选择一个台机器，形成第二层编码的第i位。机器被选概率与机器已被选次数有关，被选次数少的机器被选中概率更大，多次实验表明概率选择比随机选择更利于资源均衡分配。适应度函数以目标函数表示，完工时间越短的染色体越好。

2.2.3 选择、交叉与变异

1）选择算子。本算法采用精英保留策略与轮盘赌法相结合的方式进行随机选择。计算种群中染色体适应度，将每代种群中适应度函数值最大的染色体直接复制进入下一代，其他采用轮盘赌选择法产生，保证了最优个体进入下一代，同时也保证了种群多样性。

2）交叉算子。采用整数交叉的方法获得新染色体。只对染色体的第一层代码部分随机选择交叉位点进行交叉，对第二层代码所表示的机器基因，按照交叉前个体的对应关系进行调整。交叉后产生的染色体可能出现工件工序的多余与缺失，采用多删缺补的原则调整。交叉概率的取值在0.8～1。

3）变异算子。采用位点变异的方式，随机选择一个个体编码串的一个基因座，按照变异概率进行变异。变异概率的取值在0.001～0.02之间。

3 实例分析

本文以某船用管类生产企业的混合流水生产车间生产过程作为实例研究对象。该企业生产车间可抽象描述为带约束并行多机混合流水车间，所有产品由初始状态（毛胚）到最终状态（工件）共经过5道工序过程，工序顺序为切割、弯管、点焊、全焊、打磨，车间共有加工设备19台。该企业主要生产的产品分为直管、弯管两大类，根据管径大小分为不同规格，工件的规格与品类如表1所示。

由于工件規格、工艺存在差异性，并行设备因工艺约束而适用于特定类型的工件，直管类产品不需经过弯管工序，为了便于研究，本文设虚拟机器用以直管工件的弯管工序加工，加工时间为0，机器生产参数如表2所示。

本文设置三组实验以验证所建模型与求解算法的有效性，选用Matlab为平台进行。实验一为选取该企业一次实际生产任务作为研究对象，采用不同算法种群规模分别进行10次实验。实验二为应用仿真随机生成10组不同规模调度算例，分别采用启发式规则、传统遗传算法和本文算法对模型进行求解。实验三为随机选取10次企业已完成的生产调度案例，对比采用本文算法优化后与优化前企业实际调度结果。由于文章篇幅有限，实验二、实验三仅展示结果对比数据，实验一中展示订单信息与算法优化过程及调度甘特图。

实验一 选取企业一次实际生产任务作为实验对象，共40个待加工工件来自8组不同客户，全部工件到达时间为0，订单信息如表3所示。

该问题为大规模组合优化问题，利用动态规划可以得知该问题的最优值为f=0.92，X=11110111。设置实验种群规模分别为20、50、100，分别进行10次运算，每次实验都在50代以内得到近优可行解，运算时间较短，运算结果如表4所示。结果表明，种群增大可以提高最优解出现次数。

由于算法优化循环进行，故仅展示第一次内层算法优化过程，如图1所示。该优化过程为初始状态下以最小完工时间为目标对第一组的加工排序优化，对应该组工件加工方案甘特图如图2所示，纵坐标表示机器编号，横坐标表示时间，数字表示工件编号及工序，例如，1603表示16号工件的第3道工序。

结果显示，该算例可经过3次以内的内外层循环得到近优解，最优解为X=11110111，最大加权成套数为0.920。最优加工方案为延迟5号订单的全部工件，其余工件的完工时间全部满足交货期要求，如图3所示。

实验二 为验证模型与算法的有效性，设置10种规模不同的调度案例，其中工件类型、订单权重、订单内工件数量随机生成，根据EDD规则仿真结果与实验经验设置工件交货期。 采用临界比最小（Smallest Critical Ratio， SCR）法则、遗传算法（Genetic Algorithm， GA）、启发式遗传算法进行比较，两种算法的参数与编码方式一致。表5为算例仿真结果得到的加权成套数。

从表5可以看出，与SCR规则相比，启发式遗传算法能够在以成套订单问题中求得更好的解。当调度问题规模较小时，传统遗传算法与启发式遗传算法均能够得到最優解;随着问题规模增大，传统遗传算法已无法在有效时间内得出可行解。由此可见，在订单数量与工件数量均较大时，启发式遗传算法体现出显著优越性。

实验三 随机选择企业实际生产中10次已完成的生产调度案例，采用本文算法对生产任务进行优化调度，可得到本文算法优化后加权成套订单数与企业实际加权成套订单数对比结果，如图4所示。本文算法优化后调度完工时间不包含拒绝订单的加工时间，因此，将延迟加工订单安排在成套系数为1的订单之后以最小完工时间加工，得到的完工时间与企业实际调度完工时间对比结果，如图5所示。

由图4可得，在10次生产任务对比实验中，采用本文算法调度优化后的加权成套订单数均明显高于企业实际调度结果，平均10次实验优化后目标值为原目标值的1.64倍;由图5可得，10次实验中优化后的总加工时间相比于优化前均有减少，平均10次实验优化后总加工时间比原加工时间减少了5.1%。

上述三组实验中，实验一、实验二的结果表明在求解并行机带工艺约束混合流水车间调度环境下的成套订单问题时，启发式遗传算法体现收敛速度快、不易陷入局部最优等优越性，实验三结果表明了算法具有实用性与有效性。

4 结语

本文研究了并行机带工艺约束混合流水车间环境下的成套订单问题，基于分批调度策略提出了启发式遗传算法，在求解大规模成套订单问题时能够改善求解时间过长、易陷入局部最优等现象，在MTO型生产企业中有较高的实际应用价值。以某船用零件制造企业为背景，以生产实例、不同算法仿真、与实际结果对比三组实验进行验证，结果表明本文算法与企业原方法相比能够显著提高加权成套订单数，在保证订单履约力的同时能缩短企业加工时间。本文所研究问题在MTO模式且具有工件交货期约束的生产企业中具有较高应用价值。另外，在相关研究中，订单中具有相同交货期的不同工件视为同一工件，加工时间为各工件加工时间之和，在混合流水车间中并不适用，因此本文研究不考虑订单中存在相同交货期工件的情况，考虑订单中存在交货期相同的不同类型工件的情况值得继续深入研究。

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JIA Yeling， born in 1995， M. S. candidate. Her research interests include intelligent scheduling， intelligent algorithm.

DONG Shaohua， born in 1960， M. S.， professor. His research interests include logistics system simulation， manufacturing execution system.