董凤娇 胡贝贝

摘要：本文基于Fokas统一变换方法分析了广义Sasa-Satsuma方程在半直线上的初边值问题.假设广义S asa-Satsuma方程的解u（x，t）存在，证明了其初边值问题的解可用复谱参数λ平面上的3×3矩阵Riemann-Hilbert问题的形式解唯一表示.

关键词：Riemann-Hilbert问题; 广义Sasa-Satsuma方程; 初边值问题; Fokas统一变换

中图分类号：0175.29

文献标志码：A

DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2019.04.004

0 引言

自Gardner， Green，Kruskal，Miura发现了反散射变换以来，一直到20世纪90年代，反散射变换几乎只是用来分析纯初值问题，但是在现实自然界中，越来越多的自然现象需要考虑边值条件，这样就自然地需要考虑初边值问题来取代初值问题.1997年，Fokas[1]基于反散射变换的思想首次提出了统一变换方法，很好地求解了可积方程的初边值问题.在过去的20年里，该方法已经用来分析了一些具有2x2矩阵Lax对的重要可积方程的初边值问题[2-5].就像全直线上的反散射方法一样，Fokas方法也是将初边值问题的解表示成相应的Riemann-Hilbert问题的解.2012年，Lenells[6]首次将此方法推广到3x3矩阵可积方程，并且研究了Degasperis-Procesi方程在半直线上的初边值问题[7]在这之后，越来越多的学者开始关注Riemann-Hilbert問题，使得许多与高阶矩阵谱问题相关的可积方程初边值问题得以研究，比如，Novikov方程[8]、Sasa-Stsuma方程[9]、耦合NLS方程等[11-12]，作者在这方面也做了一些工作[13-16].

众所周知，非线性薛定谔方程

4 结论

在本文中，我们构造了一个新的双模耦合KdV方程，一方面，通过简化的Hirota方法和Cole-Hopf变换，对于特殊的α、β值可得到该方程的孤子解，但对于一般的α、β值，孤子解是否存在，我们还不能确定.另一方面，通过不同的函数展开法，对于一般的α、β值，我们得到了该方程的其他精确解.

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