孟 慧，赵 珊，雷东记

（1.河南理工大学 计算机科学与技术学院，河南 焦作 454000；2.河南理工大学 安全科学与工程学院，河南 焦作 454000）

0 引 言

离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机相关专业的核心基础课程之一[1]。学习离散数学有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提升，有益于学生完整、规范、严谨的科学态度的培养。离散数学不仅要求学生掌握基本的理论知识，而且还要求具备一定的动手能力，并且能够运用理论知识解决实际问题。

离散数学具有内容多而零散的特点，在有限的学时下，单一的传统授课模式表现出来的是以概念、定理、性质为主的介绍。通过对学生的调研发现，学生在学习的过程中对为什么学以及学了有什么用很茫然，往往会认为离散数学没有实用价值，从而导致学生对离散数学不够重视，学习积极性不高。

随着移动通信和智能终端的快速发展和普及，用户越来越倾向于使用手机访问应用系统。移动互联网对传统课堂教学模式也产生了巨大的冲击。如果将手机移动教学平台与传统课堂有效地结合起来，使手机变成有利的学习工具，实现课堂内外信息的即时互动，则能有效地推动教学方式的改革。文献[2]设计和实现了离散数学移动端辅助教学系统，但没有给出具体的教学模型和实施过程。文献[1]提出了基于移动终端的翻转课堂教学模式研究，但文中缺少具体的实施过程。以移动APP 作为学习平台，根据学习者自身的个体差异和课程内容的不同难易程度，通过引入知识点测评和教学反馈机制，动态调整课堂授课形态，能够帮助学生对于碎片化时间的管理和利用，让学生真正实现“随时、随地、随身”学习。

1 离散数学课程教学模式改革的研究动机

1.1 学习者分析

学生是学习的主体，高校学生个体之间存在着巨大的差异，主要表现在学生知识结构体系、学习动力动机等方面[3]。

首先，学生的知识结构体系不同。虽然绝大部分学生是通过高考进入高等院校学习，但是由于不同省份高考的大纲和录取分数线并不相同，因此即使是坐在同一间教室里的学生，其知识结构体系也不尽相同，而一个人的知识结构又决定了其思考问题和解决问题的思路。知识结构越丰富、越完善，其接受能力和理解能力就越强。知识体系结构的差异对学生的学习过程有一定的影响。

其次，学习动力动机决定了学生的学习方向、学习态度和学习进程，学习动机的强弱直接影响学习过程的稳定性和持久性，这也是导致离散数学课程学习差异性的重要原因。有些学生从大学入学就以考研作为本科阶段学习的主要任务和目标，而有些学生是计划以就业作为主要目标。如果在教学过程中不能体现出学生学习动机的差异，就必然会导致部分学生因动力不足而掉队。

1.2 课程内容分析

目前，离散数学教材内容一般由数理逻辑、集合论、代数结构和图论4 部分组成[4-5]。由于教材组织内容繁多、结构松散、逻辑性差，教师很难再有时间介绍该门课程的具体应用及与后续专业课程之间的关系[6]。实际上，对于课程中的不同部分，可以根据难易程度采用不同的教学组织方式。例如，对于数理逻辑和代数系统部分，定义和概念本身就比较抽象，即使对于数学专业的学生也有不小的难度，因此，在课程组织上可以采用以课堂理论教学为主、自主学习为辅的教学模式；而对于集合论和图论部分，定义相对简单，易于理解，而且学生之前对有些内容已有所了解，因此学生可以通过移动平台进行自主学习，教师在课堂上仅对共性问题进行讲解。具体实现情况见表1。

表1 课程内容划分

2 基于移动端教学模式的设计

离散数学混合式教学课堂可基于Android/IOS 系统，并在终端选用合适的移动平台进行移动学习。教学可以选用蓝墨云班课APP，它除了具有传统学习平台的功能外，还具有手机签到、分组讨论、头脑风暴、调查问卷、学习评估报告、手机摇一摇抢答、投票问卷等功能，其简单便捷、功能齐全、趣味性强，能满足教师和学生课堂内外的各项需求，并实现移动环境下的即时互动。软件分为教师端和学生端，首先在教师端创建课程，课程创建发布后会产生唯一的二维码和课程号，学生可以通过二维码的扫描加入班级，进入后即可下载课程资源，进行自主学习并参加课堂活动。这样，学生就可以通过访问APP实现时时可学、处处能学、人人皆学。

基于移动学习的混合式教学模式具体分为3个过程阶段，即课前、课中和课后。具体教学模型如图1 所示。其中，移动学习主要发生在课前和课后两个环节中。在此，教师应当注意到，学生课外不一定有大块、连续、完整的时间能够用于学习。因此，在资源整理和创建时，应主要以知识点为单位，使学生便于进行微型学习[7]，以真正实现利用零碎的小时间产生大效率。

图1 基于移动APP 的翻转式课堂教学模型

2.1 课前阶段

课前阶段，进行课前学习资源和学习任务的推送。教师可以登录Web 端进行课程资源的制作与整合，在资源库中上传各种教学资料，包括教学大纲、电子课件、教案、教学视频、微课以及与课程相关的网络链接等。通过云班课教学平台的即时推送，实现学生不受时空限制的移动学习。为了保证学习质量，学习资源时长不宜过长，每个资源控制在3～5min，教师在制作教学视频时，尽量以知识点为单位，做到短小精悍，保证学生有效时间内的学习效果。学生完成预习任务，通过APP 测试进行摸底，最终，软件能自动形成整体统计分析和个人统计分析。统计结果包括学生平均成绩、各题正确率的统计图表等。教师在讨论答疑区设置活动，学生对课前学习中遇到的问题或感受通过文字、图片和语音进行留言。对部分问题，老师和学生可以互答。教师通过班课的“测验”“调查问卷”检查学生自主学习请况，形成新的学情分析，灵活对课堂讲授内容及教学方法作出调整和改进。

2.2 课上阶段

课堂上实行以问题和目标为导向的教学模式。教师对较难易错的知识点进行归纳和分类，并精心设计课堂过程。其中，2/3 的课堂时间以教师讲解为主，根据学生课前任务完成和自我测试的情况，对正确率在80%以上的知识点可以一带而过，对正确率在60%～80%的知识只需简单讲解，而对正确率在60%以下的知识，则需要详细和重点讲解。教师应引导学生对所学的知识理解吸收，并进行有效的内化，同时让学生把握课程的重点。在此过程中，教师可以利用移动软件中的摇一摇、抢答等随机性很强的方式完成课堂提问和回答，并给予学生一定的激励值，既游戏化教学，增强课堂的趣味性，又激发学生学习的主观能动性，同时，教师对学生的课堂学习做到心中有数。另外1/3 的课堂时间以自主讨论交流为主，由教师布置小组任务，学生通过班课随机分组或线下分组进行小组合作、交流讨论，并动手实践，教师设计评分点和评分标准并开展互评，鼓励学生积极进行学习成果汇报。由教师负责总结指导并对成果及时给予肯定，增强学生学习的自信心。

除此之外，基于APP 软件的强大功能，教师还可以通过手机移动终端发起签到，实现对学生的快速点名，这种方式几乎在数秒中就能完成，尤其在人数较多的课堂中，能极大地节省课堂时间。课程结束后，蓝墨云班课平台自动汇总整个学期的签到情况，并根据教师对出勤情况经验值的设定，得到该部分的平时成绩。

2.3 课后阶段

在课后阶段，教师运用系统数据进行教学诊断，同时，对课堂内容进行有效的延伸和拓展；针对学生的个体差异，有选择性地布置课外作业；定期引入专题讨论，启发学生独立思考，提升学生的抽象概括能力、归纳构造能力、编程思维能力。经过深入的思考和讨论，学生对知识的掌握程度进一步提升，同时也会提高兴趣，增强信心。在相互交流的过程中，教师做指导性答疑，使学生形成更加丰富和完善的知识体系。教师可以利用云班课提供的题库和自动组卷功能，录入与知识点一一对应的试题组成试题库，进行阶段性的测评，检测阶段学习情况，同时，教师要根据学生的反馈重新认识课堂，找出问题，及时总结，真正实现以学生为中心，以学定教；对教学过程中出现的问题进行总结，分析原因，采取合适的手段进行修改和完善，为下一轮教学活动积累经验。

3 基于移动端教学模式的课堂组织和实施

离散数学是高等学校网络工程专业的重要基础课程。通过本课程的学习，学生应掌握现代数学的观点和方法，提升创新意识，锻炼动手能力，通过理论知识的学习，提升解决诸如最优环游、最短路径、物流配送等实际问题的能力。基于移动APP 的翻转课堂新模式已经在河南理工大学网络工程专业实施与应用。以二元关系一章为例进行的具体应用如下，具体知识要点与计算机课程之间的联系如图2 所示。

图2 二元关系知识要点

3.1 课前阶段

教师需要根据课程内容，发布相关的电子课件、微课、视频、教学案例等学习资源，并向学生发布学习任务。学生会第一时间在手机上收到通知。

（1）由于关系的基本概念是建立在集合的基础上，而学生在前面章节中，对集合已有了充分的认识，对二元关系的基本概念和关系的运算这两部分知识，可以通过移动平台上的资源进行自主学习。教师要给学生介绍关系型数据库的相关知识（由于学生在学习离散数学时还没有开设数据库相关课程），引入关系数据库模型作为案例，引导学生思考关系模型和关系数据库之间的关系、关系模型和关系数据库中表之间的关系。之后，学生进行简单的自我测试。

（2）由于关系的性质、特殊关系是本章的重点内容，部分知识较难理解，教师可将每个知识点都录成简短的视频并配以实例，如偏序关系在调度问题上的应用等，以帮助学生理解。教师根据学生自测分析情况，动态地掌握预习效果，对预习效果特别差的学生可进行单独在线辅导。

3.2 课上阶段

（1）根据课前自测结果，教师对不易掌握的知识进行归纳和讲解。对重点内容，如对关系的性质、等价关系、偏序关系等内容，由于难度较大，自主学习效果不会太理想，课堂上就要进行较为详细的讲解，其中，要注重题型和知识点之间的关系，并对学生数学思维进行训练。

（2）要留出时间鼓励学生对视频中的问题进行讨论。教师可以使用移动软件中的头脑风暴发起问题，如生活中还存在哪些等价关系和偏序关系，让学生畅所欲言，把自己的想法大声说出来，无需考虑构思内容的优劣，且对于所有的构想，在课堂上不予对错判断。通过手机摇一摇或抢答功能，学生阐述对等价类和商集之间关系的认识，进行即时教学互动。通过学生深层次的思考，训练学生的开放性思维，增强课堂的趣味性，使学生理解离散数学在后续专业课程中的支撑作用。

3.3 课后阶段

学数学就要做数学，离散数学的学习也不例外。虽然数学题目数量繁多，但是只要进行合理的分类和归纳，掌握重要的做题思路和方法，学习起来就会事半功倍。教师要根据学生的掌握程度，布置针对不同知识点的课外作业，使学生对不同类型的题目进行强化，如关系闭包一节中，利用Warshall 算法求传递闭包比较难于理解，除了上课重点讲解以外，还要求学生课下分小组上机编程实现此算法，增强学生的实际动手能力；同时，学生独立完成线上作业并提交，检查自己的学习效果，对知识点薄弱环节，教师可通过APP 进行答疑解惑，促进学生对本章知识的不断内化和吸收。本章结束时，教师进行阶段性测试，并对教学过程中的教学反馈形成小结，为下章教学提供调整依据。

4 实践效果

采用蓝墨云移动学习平台，学生的整个学习过程均有数据记载，教师根据学生各类活动取得的经验值，按权重折合成平时成绩或过程考核成绩，并计入期末总评，体现了以人为本的理念，实现对学生成绩的多维度过程性评价。移动学习下试卷成绩和综合成绩分布见表2。

通过表2 的对比可以发现，在使用移动学习的教学模式下，低分段学生人数明显下降。主要原因是部分学生较好地完成了课程任务，具有较好的动手能力，呈现好的激励值，分数自然提高。

在试卷难度相当的情况下，近4 年来在不同教学模式下学生综合成绩分布情况见表3。

从表3 中可以发现，在使用移动学习的翻转课堂模式下，优秀和良好的学生比例明显增加，同时，不及格率较之前也下降了将近一半，平均分也上升了7～10 分，学生整体成绩有了较大的提升。移动教学平台减轻了教师的授课负担，带动了线上线下的学习气氛，给予学生更多自主学习的可能性。

表2 移动学习下试卷成绩和综合成绩分布

表3 历年综合成绩分布对比

5 结 语

移动平台的引入为实现教学资源的共享提供了保障。平台的信息推送功能增强了师生双边互动，使得教师动态地掌握学生的学习情况。移动软件的强大功能增添了课堂的趣味性，使原本枯燥和繁杂的数学课堂变得生动活泼。在该模式下，教学结构更加丰富，学生学习灵活性更强，教学效果良好。未来，我们将进一步加强学生动手编程能力和科学思维的培养。