张力文，李元康，王安斌

（1.西安航空职业技术学院，西安710089； 2.洛阳船舶材料研究所，河南 洛阳471000）

在工程实际应用中，被动式阻尼减振器是一种常用的振动控制技术，由于其结构简单，便于实施，被广泛用于交通运输，工程机械等各行各业中，取得了良好的经济和社会效益。在轨道交通行业，阻尼减振器多应用于吸收钢轨的振动（TMD）及钢轨异常波磨的控制（TRD）等领域，如希伦斯的TRD（Tuning Rail Damper）以及洛阳双瑞橡塑科技有限公司的谐振式浮轨扣件。但是对于道床系统由于列车运行载荷引起的低频振动的控制还未得到应用，其理论研究也未有人开展，因此在研究高性能减振道床系统的同时，应对其低频域减振降噪特性进行探讨研究。

本文针对组合式道床系统道床板上的被动式阻尼减振器的理论进行探讨研究，通过计算表明其结构的可行性，并重点理论计算了质量-弹性单元的最优设计参数、结构设计及安装方式和数量等，并通过模态分析验证理论设计的合理性。

1 组合道床有限元分析

组合道床轨道系统[7-11]是个复杂的多自由度系统，在物理坐标系上描述的多自由度系统的运动方程由于各坐标之间相互干涉，解法复杂，须利用具有正交性质的固有向量进行坐标变化，把多自由度系统的运动方程转化为非耦合的方程，通过模态分析与模态质量识别建立单自由度系统的集合构成的非耦合模型，最后利用单自由度阻尼减振器的设计原理进行制振设计。

1.1 有限元模型

模态分析的实质是将实际系统结构转化为模态模型，以确定系统的特征参数，包括系统的固有频率及结构振型。模型由一些集体质量块和弹性元素抽象简化出来，如果存在n个集中质量系统模型，则是n阶自由度系统，可用n个独立坐标来描述其运动，每个基矢量均是该坐标系振动系统的特征向量。在该坐标系中，振动方程是不相互耦合的一组方程式，并且分别描述了系统的振动模式。

列车运行过程中，列车对道床板的激励主要在垂直方向，在模态分析中主要关注系统在垂直方向的模态。被动式阻尼减振器安装在道床板上，随道床板一起振动，为减少计算量，不考虑地基的运动，在ABAQUS建模过程做了如下简化：

1）本文主要研究道床板的振动特性，因此将道床基础视为刚体，设为完全固定边界条件，不考虑其变形；

2）考虑到CA 砂浆的刚度远大于道床垫的刚度，忽略其影响，将其简化成一组具有固定刚度和阻尼的接地弹簧，单个道床板下道床隔振垫的面积为S，道床板网格模型中与道床隔振垫相接触位置的节点数目为N（与网格化分有关），则道床板下道床隔振垫在每个节点位置处的等效刚度可用下式来计算Ki=KS/N；

3）实际中钢轨视为无限长杆件，有限元分析中，为保证建模合理性，综合考虑选取钢轨长18.75 m，两端施加边界条件，钢轨长度范围内共安装30组扣件束。

根据上述简化，在ABAQUS中设置进行如下参数设置：

1）道床板为水泥混凝土结构,强度等级为C40，弹性模量32 500 MPa，泊松比0.2，密度2 500 kg/m3；

2）选择连接板材料为steel，采用实体（solid）建模，弹性模量210 000 MPa，泊松比0.3，密度7 800 kg/m3；

3）钢轨为地铁常用60 轨，材料为steel，梁单元（beam），弹性模量210 000 MPa，泊松比0.3，密度7 800 kg/m3；

4）扣件采用弹簧单元（spring2），考虑三个方向刚度，横向刚度为18 kN/mm，纵向刚度为30 kN/mm，垂向刚度取8 kN/mm；

5）CA 砂浆和道床垫采用接地弹簧单元（spring1），道床垫面刚度为0.018 N/mm3，该组弹簧单元的等效刚度为42.18 N/mm。

根据上述简化，建立组合式道床系统道床板的有限元模型如图1所示。

图1 道床板模态分析有限元模型

1.2 模态固有频率和振型

对建立的组合式道床系统道床板进行0～100 Hz 频率范围内的模态分析，提取前50 阶模态，各模态阶次及固有频率如表1所示。

由于列车运行过程中对道床系统的激励主要以垂向为主，模态振型中可以看出，前50 阶模态中有一部分并非垂向模态，不予关注，选取几个典型模态振型如图2所示。

根据模态分析可以看出：系统的1 阶垂向振动在26 Hz左右，绕中心线扭转1阶模态在31 Hz左右，这与阻尼减振器的设计频率保持一致，通过共振吸收道床系统的振动能量，有效降低道床板的振动，钢轨的1阶垂向振动在78 Hz左右。

1.3 模态结果分析

模态分析得到的质量和刚度矩阵没有实际的物理意义，还需要通过固有模态法确立多自由度系统的等价质量，使其转化成具有实际物理含义的参数量。把i阶模态的固有向量在第j点的成分定为1，对固有向量进行正交化，得到的正规化向量｛Xj｝与质量矩阵M进行以下运算

表1 组合道床系统道床板固有频率

图2 模态分析位移云图

得到的模态质量Mji就是i阶模态的具有物理含义的等效质量。用矩阵的形式表示如下

对于不便离散化的系统，可以在阻尼减振器的位置附加一个给定质量，根据结构的固有频率变化可以决定等价质量的大小，该方法称为质量感应法，i阶模态在j点的等效质量Mji和等价刚度Kji由以下公式得到

式中：Δm是在j点附加的质量；Ω是原系统的i阶模态固有角频率；ω是在j点附加质量后的i阶模态固有角频率。

质量感应法应用时容易受到模态间的耦合效果影响，计算出的等效质量含有误差，需要利用不同的附加质量进行模态质量识别来消除模态耦合的影响。本章利用最小二乘曲线拟合，把附加质量的大小作为横轴，等效质量作为纵轴，得出附加质量为0时的等效质量，即为该阶模态下的质量。根据上述模态分析，道床板的1 阶垂向模态（26.336 Hz）和扭转模态（31.236 Hz）与列车激励频率（35 Hz）接近，阻尼减振器针对该2阶模态进行设计。

图3为应用质量感应法的结果，横轴为附加质量的大小，纵轴为根据附加质量引起固有频率变动计算出的等效质量。

图3 轨道系统等效质量

根据图3中趋势线公式则可以计算出道床板的1阶垂向模态（26.336 Hz）和扭转模态（31.236 Hz）的等效质量M1和M2分别如下

2 道床板阻尼减振器设计

2.1 工作原理

道床板上铺设安装动力减振系统后，整个系统可以简化成2 自由度振动系统[2]。为了减少主系统振动，在此主振系上附加质量弹簧系统k-m2-c2（即阻尼减振器）。考虑主系统阻尼的动力减振器模型如图4所示。

其中主振系统的质量、刚度、阻尼和位移分别用k1、m1、c1、x1表示；阻尼减振器的质量、刚度、阻尼和位移分别用k2、m2、c2、x2表示。

引入符号：静位移δs=F/k1，主系统固有角频率减振系统固有角频率质量比μ=m2/m1，减振系统与主系统固有频率比α=ω2n/ω1n，激励频率与主系统频率比γ=ω/ω1n，主系统阻尼比ζ1=c1/2m1ω1n，减振系统阻尼比ζ2=c22m2ω2n，得到系统振幅的无量纲形式为

图4 主系统有阻尼减振器模型

图5给出了主系统参数一定时，α=1，m=0.3时的位移幅值曲线。

图5 主系统振幅比曲线

从图5可以看出，在g=1 附近（激励频率接近系统固有频率）时，主系统附加阻尼减振系统的振幅倍率远小于未加减振器的主系统振幅倍率。表明当附加系统的固有频率接近主系统的激励频率时，便可有效降低由激励力引起的系统振动幅值，这就是减振器的工作原理。

2.2 道床板制振阻尼减振器设计

在设计道床结构时，采用上述被动式阻尼减振器原理，在原道床结构上附加与原道床系统激励频率相同的动力吸振器系统，利用动力吸振器系统吸收道床板的振动能量，降低原固有频率附近道床板的振动。

在组合式道床系统上增加多组辅助系统（质量单元）和对应弹性垫层（弹簧和阻尼单元）后，可利用质量单元和弹性垫层形成的质量-弹簧-阻尼动力减振系统。质量-弹簧-阻尼动力减振系统的固有频率与原道床主系统固有频率保持一定同调比，即可利用该阻尼减振系统吸收道床板的振动能量，降低道床板的振动。其原理图如图6所示。

图6 组合式道床系统阻尼减振器原理示意图

2.3 阻尼减振器参数设计原则

阻尼减振器包括3个部分：质量单元、弹簧系统和阻尼单元，根据主系统为小阻尼（＜5%）系统的阻尼减振器的最优设计准则（定点理论），在主系统参数一定条件下，设计的主要原则如下：

1）根据主振系统的质量m1和固有频率ω1n，选择适当质量比μ=m2/m1，并计算减振器质量m2。一般情况下减振器质量越大减振效果越好，但过大的质量会给安装和施工带来困难[4-6]。

2）最佳阻尼比条件

3）最佳频率比条件

2.4 阻尼减振器参数确定

根据模态分析，组合道床道床板的1 阶垂向模态（26.336 Hz）和扭转模态（31.236 Hz）与列车激励频率（35 Hz）接近，阻尼减振器针对该2阶模态进行设计。应用质量感应法得到1 阶垂向模态和1 阶侧向扭转模态质量分别为5 519.4 kg和5 465.7 kg。根据式(7)－式(9)计算不同质量比的最优设计参数，如表1所示，其中μ1和μ2分别为垂向和扭转模态的的系统质量比。

2.5 阻尼减振器结构设计及安装

文献[4-6]表明主振系统上并联安装多个阻尼减振器比安装单个减振器减振效果更好，根据道床板尺寸（4.93 m×2.4 m），选取质量比μ1=0.20，μ2=0.10时的阻尼减振器进行产品设计，质量单元采用混凝土材质，和其对应弹性垫层（弹簧和阻尼单元）采用橡胶阻尼材料，道床板上共安装12 个阻尼减振器，I型减振器（共4个）单个质量为136.6 kg，和其对应弹性垫层刚度为17.98 kN/mm，阻尼为5.81 kN·s/m，II型减振器（共8个）单个质量为138.0 kg，和其对应弹性垫层刚度为24.96 kN/mm，阻尼为10.82 kN·s/m。其中控制1阶垂向模态的附加阻尼减振器安装在道床板的中心位置（振动最大），控制1 阶扭转模态的附加阻尼减振器安装在道床板的两侧位置（扭转位移最大）。图7和图8给出了质量比μ1和μ2为0.20和0.10时的阻尼减振器结构图，图9为被动式阻尼减振器的安装示意图，附加质量块与道床板之间在垂向弹性连接，横向和纵向自由度建立约束。

图7 I型阻尼减振器结构图

图8 II型阻尼减振器结构图

3 减振效果分析

图9 阻尼减振器安装示意图

为理论分析道床板上被动式阻尼减振器对轨道系统的低频减振降噪效果，建立普通轨道系统（无道床隔振垫）、组合道床系统、组合道床加装被动式阻尼减振器（μ1=0.20、μ2=0.10）3 种轨道结构的有限元模型，在有限元模型中施加相应轮轨载荷，道床响应点在道床板中间位置，进行动力学求解，分析道床板的振动特性。

1）1/3倍频程对比

一般来说，地基的振动水平直观地反映在列车荷载作用下振动由轨道系统向周围传递的特点。针对地基响应点的振动频程进行1/3倍频程分析，计算采用振动加速度Z计权方式，比较普通道床、组合道床、安装阻尼减振器（μ1=0.20、μ2=0.10）的组合道床地基振动水平，如图10所示。

图10 地基振动加速度级1/3倍频程图

从图10可以看出：由于普通道床轨道结构与地面基础刚性连接，道床板与基础之间没有隔振，而组合道床轨道与地基之间铺设有道床隔振垫，起到良好的隔振减振，组合道床地基的振动明显低于普通道床基础的振动加速度级；组合式道床系统安装阻尼减振器后，在20 Hz～40 Hz 频率范围内地基的振动水平降低。

表2 阻尼减振器最优设计参数

表3给出了3 种轨道结构相同工况下道床板和道床基础的振动加速度总振级（4 Hz～200 Hz，z 计权），从表中可以看出：组合式道床系统的道床板振动要大于普通道床道床板振动，安装被动式阻尼减振器后，道床板振动降低4.5 dB(z)；组合式道床系统具有良好的减振效果，相对普通道床系统基础垂向减振19.1 dB(z)，加入被动式阻尼减振器后，基础垂向减振21.5 dB(z)。

表3 振动加速度总振级/dB(z)

3 结语

本文基于被动式阻尼动力减振原理设计了组合式道床系统道床板上的阻尼减振器，并重点解决了道床板阻尼减振器的最优设计参数、结构设计、安装方式及安装数量，可得出以下结论：

（1）根据模态分析可以看出组合道床系统的1阶垂向振动在26.336 Hz，绕中心线扭转1 阶模态在31.236 Hz，阻尼减振器的设计频率与此保持一致，通过共振吸收道床系统的振动能量；

（2）基于质量感应法得到组合式道床系统1 阶垂向模态和1 阶侧向扭转等效质量M1和M2分别为5 519.4 kg和5 465.7 kg；

（3）根据阻尼减振器的最优设计准则（定点理论）计算不同质量比的最优设计参数，并根据道床板的尺寸安装空间及最优设计等因素，选取质量比μ1=0.20，μ2=0.10时的阻尼减振器进行产品设计，道床板上共安装12个阻尼减振器，I型减振器（共4个）单个质量为136.6 kg，和其对应弹性垫层刚度为17.98 kN/mm，阻尼为5.81 kN·s/m，II型减振器（共8个）单个质量为138.0 kg，和其对应弹性垫层刚度为24.96 kN/mm，阻尼为10.82 kN·s/m；

（4）控制1 阶垂向模态的附加阻尼减振器安装在道床板的中心位置（振动最大），设计成凸台形式以更好与道床板空心结构配合；控制1 阶扭转模态的附加阻尼减振器安装在道床板的两侧位置（扭转位移最大）；

（5）安装阻尼减振器后，组合式道床系统的道床板振动降低4.5 dB(z)；组合式道床系统具有良好的减振效果，相对普通道床基础减振19.1 dB(z)，加入被动式阻尼减振器后，基础减振量达21.5 dB(z)。