姚 莉,南国防,郭 威,钱万利

（ 上海理工大学 能源与动力工程学院，上海200093）

转子作为旋转机械的重要组成部分，经常在高温、高压、腐蚀和蠕变等恶劣条件下运行，由于材料本身或者长期的使用，转子上会产生疲劳裂纹，从而影响转轴的正常使用，严重的时候会造成机毁人亡的现象。因此，开展对旋转机械裂纹故障的研究就变得尤为重要。

目前大多数学者还是以Jeffcott 模型对裂纹转子的动力学特性进行研究[1]，提出了不同的裂纹刚度模型，根据裂纹的运动特征可将其分为两大类：常开裂纹模型和开闭裂纹模型。现在比较常用的开闭型裂纹模型有方波模型、余弦波模型和综合模型等。林言丽和褚福磊[2]对现有的几种裂纹刚度模型进行了比较并提出两种新的求解刚度的方法。荆建平和陈铁锋[3-4]等利用有限元软件ABAQUS 对转子系统含有一条或两条裂纹的动力学行为进行了研究，分析了裂纹转子在铰支和油膜力支承下的振动规律，并进行了实验对比。刘桂珍等[5]则是研究了偏心量对非稳态油膜力支撑下裂纹转子的振动响应。卢子乾等[6]建立了一种在油膜力支撑作用下的单跨双盘转子模型，研究了碰摩力和油膜力对系统的影响。张顺[7]则对比研究了含有整数阶与分数阶阻尼的裂纹转子系统的动力学特性。Mohammad 等[8]通过谐波平衡法和实验验证，研究了裂纹深度对转子-轴承系统的振动幅值和旋转轨道形状的影响。Junyi Cao等[9]引入了4 阶Runge-Kutta 法和10 阶CFE-Euler 法来求解分数阶裂纹转子系统的方程，研究不同参数对系统动力学的影响。

综上所述，本文采用有限元法建立了左侧为弹性支承和右侧为非线性油膜力支承的单跨双盘转子模型，并在考虑了裂纹的时变刚度和综合模型的基础上，分别建立了当裂纹位于转子左侧（即L1处）和中间（即L2处）轴段的动力学方程，利用4 阶Runge-Kutta 方法对方程进行数值求解，研究裂纹深度、裂纹位置、转速和裂纹轴刚度变化量对转子系统振动特性的影响。为了研究该支承与其他支承的区别，本文还建立了两端均为弹性支承的裂纹转子系统模型，并对2个模型的动力学特性进行了对比分析。

1 单跨双盘裂纹转子模型

建立如图1所示的含有裂纹故障的单跨双盘转子模型，转子左侧为弹性支承，右侧为非线性油膜力支承，m1、m4分别为转子在两侧轴承处的集中质量，m2、m3分别为圆盘1和圆盘2处的等效质量，k1、k2、k3分别为轴段L1、L2、L3处的刚度，假设只考虑系统的横向振动，忽略系统所受的扭振和陀螺力矩，根据转子动力学有限元法，单跨双盘转子模型的微分方程为

式中：M、C、K、X、Fe、Fo和Fg分别为转子系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、位移向量、不平衡力向量、轴承油膜力向量和重力外激励向量。

图1 单跨双盘裂纹转子模型

1.1 裂纹刚度模型

在转子系统运行过程中随着裂纹的张开与闭合，转轴的刚度也会出现随之变化，假设无裂纹时转轴的刚度为k0，转轴的刚度矩阵可表示为

式中：kξ、kη分别为裂纹轴在ξ、η2 个方向上的刚度变化，因为裂纹的开闭过程是随时间变化的，所以本文采用高建民与朱晓梅[10]所提出的综合模型，如图2所示。

图2 裂纹模型

该模型能够比较清晰地描述裂纹的张开、闭合和半开半闭的过程，该开闭裂纹模型的数学表达式如下

1.2 油膜力模型

理论分析中采用Capone 提出的短轴承假设下的非线性油膜力模型，轴承2 个坐标方向上的无量纲非线性油膜力的表达式为

式中：

其中：非线性油膜分量Fx=sPfx，Fy=sPfy，s为Sommerfeld修正数，即润滑油黏度 ，L和r分别为轴承的长度和半径，V、S、G和a分别为油膜力参数。

1.3 系统运动微分方程

设该单跨双盘裂纹转子系统两侧轴承的轴心径向位移分别为（x1，y1）、（x4，y4），两个转盘的径向位移分别为（x2，y2）、（x3，y3），根据转子动力学有限元法分别建立当裂纹位于L1和L2轴段的动力学方程，如式（9）和式（10）所示。

当裂纹位于转子左侧轴段（即L1段）时，在考虑裂纹的时变刚度和综合模型的情况下，根据转子动力学有限元法，则系统的动力学方程为

当裂纹位于转子中间轴段（即L2段）时，根据转子动力学有限元法，则系统的动力学方程为

2 裂纹转子动力学特性分析

为了研究单跨双盘裂纹转子的振动特性，利用4阶Runge-Kutta法求解上述式（9）和式（10）的振动微分方程，研究裂纹轴刚度变化量、裂纹深度、转速和裂纹位置等对转子系统振动特性的影响，利用时域图、频谱图等分析裂纹转子系统的振动特性。设定系统的各参数值为：m1=0.055 kg、m2=m3=0.8 kg、m4=0.11 kg，k1=k2=k3=2.5×107N/m，重力加速度g=9.8 m/s2，c1=c4=1.1×103N·s/m，c2=c3=2.1×103N·s/m，转轴自转初始相位角φ0=0，转子的偏心方向与裂纹开闭方向的夹角β=0，两盘的轴心垂直于转盘方向的夹角γ=π/4。

2.1 转速对转子系统响应的影响

转速作为反映转子系统运动的一个重要因素，它对系统的影响是必须要考虑的。图3至图6为eˉ=0.1、裂纹轴刚度变化量K=kξ/k0=0.1，裂纹深度h/R=0.5，转速分别为370 rad/s、740 rad/s、1 850 rad/s 和3 700 rad/s时裂纹转子系统的时域图和频谱图。

从图3至图6的时域图中可以看出，不管裂纹位于L1段还是L2段，系统的运动周期基本相似。而从图3至图6的频谱图上可以看出，当转速为370 rad/s时，频谱图上会出现除1X频以外的nX倍频等成分，当裂纹位于L1段时，2X倍频的峰值最高为主要成分，而当裂纹位于L2段时却是1X倍频为主要成分；当转速为740 rad/s，频谱图上出现1X、2X、3X等倍频成分，3X以后的谐波分量都很小，无论裂纹位于L1还是L2段，频谱图上1X倍频的峰值最大为主要成分；当转速为1 850 rad/s 和3 700 rad/s 时，频谱图上出现1X倍频为主要成分，其他倍频分量都极小，且随着转速的增加，裂纹位于L2段时的振幅和位于L1段的振幅也越来越接近。因此，当转速为370 rad/s、740 rad/s时，无论裂纹位于L1还是L2段，系统的振动响应主要是由裂纹引起的，频谱图上会出现高频分量，即会在nX倍频处出现峰值；当转速为1 850 rad/s和3 700 rad/s 时，系统的振动响应主要是由偏心量引起的，频谱图中仅包含1X成分，其他谐波分量都很小。

2.2 裂纹深度对转子系统的影响

裂纹深度作为转子系统的一个重要参数，对转子系统振动特性也有着重要的影响。图7为eˉ=0.1、K=kξ/k0=0.1，转速分别为370 rad/s 和740 rad/s 时系统的振幅随裂纹深度变化的曲线。

图3 转速为370 rad/s时系统的时域图和频谱图

图4 转速为740 rad/s时系统的时域图和频谱图

图5 转速为1 850 rad/s时系统的时域图和频谱图

图7（a）是当转速为370 rad/s 时，转子系统横向振动响应中1X和2X倍频成分随裂纹深度变化的曲线。无论裂纹位于L1还是L2段，当裂纹深度h/R为0.1～0.2 和0.9～1 时，1X倍频分量的对应的幅值大于2X倍频对应的幅值，而不同的是在0.1～0.2区间，倍频成分的幅值随着裂纹深度的增加而减小，而在0.9～1区间倍频成分的幅值却随着裂纹深度的增加而增大；当裂纹深度h/R为0.2～0.8 时，2X倍频分量的对应的幅值大于1X倍频对应的幅值，倍频成分的幅值都随着裂纹深度的增加而减小。图7（b）是当转速为740 rad/s时，转子系统横向振动响应中1X和2X倍频成分随裂纹深度变化的曲线。无论裂纹位于L1还是L2段，1X倍频分量的对应的幅值大于2X倍频对应的幅值，当裂纹深度h/R为0.1～0.2 时,倍频成分的幅值随着裂纹深度的增加而增大；当裂纹深度h/R为0.2～0.7 时，倍频成分的幅值随着裂纹深度的增加而减小；而当裂纹深度h/R为0.8～1时，倍频成分的幅值随着裂纹深度的增加而增加。

2.3 裂纹轴刚度变化对转子系统的影响

在转子系统运行过程中随着裂纹的张开与闭合，转轴的刚度也会出现随之变化，因而研究刚度变化量K对转子系统的影响也是非常重要的。

图8为裂纹深度h/R=0.5，=0.1，转速为740 rad/s 时，转子系统横向振动响应中1X和2X倍频成分随刚度变化的曲线。

图8 振幅随裂纹轴刚度变化曲线

不管裂纹位于L1段还是L2段，当裂纹轴的刚度变化量K为0.2～0.7之间时，无论是1X倍频还是2X倍频分量对应的幅值变化不太显著；但当裂纹轴的刚度变化量K为0.7～1 之间时，随着刚度变化量K的增加，转子系统的振幅越来越大，在相同刚度的条件下，裂纹位于L1轴段的振动响应幅值增加的幅度比裂纹位于L2轴段的幅值增加的快，表明裂纹位于L1轴段的振动比位于L2轴段的振动剧烈，系统越来越不容易稳定。

3 不同支承类型下裂纹转子系统的振动响应对比分析

图7 振幅随裂纹深度变化曲线

为了研究该支承与其他支承的区别，本文还建立了两端均为弹性支承的裂纹转子系统模型，并对2种模型的动力学特性进行了对比分析。类型一为两端均为弹性支承的裂纹转子系统模型，类型二为左侧轴承为弹性支承，右侧轴承为非线性油膜力支承的裂纹转子系统模型，如图9所示为2种不同类型下系统的振动特性曲线。图9（a）是转速为740 rad/s时，两种类型下系统的频谱图，可以看出两种系统的振动响应特征差异不大，均在频谱图上出现1X、2X、3X等倍频成分。图9（b）是在转速相同条件下，不同支承转子系统的振幅随裂纹深度变化的曲线。无论是类型一还是类型二，转子系统横向振动响应中1X和2X倍频成分都是随着裂纹深度的增加先减小后增大的。图9（c）为裂纹深度h/R=0.5，eˉ=0.1，转速为740 rad/s时，转子系统横向振动响应中1X和2X倍频成分随刚度变化的曲线。随着裂纹轴刚度变化量K的增大，无论是类型一还是类型二，转子系统振动响应的分量基本是随着K的增加而增大的。

由图9可知，2种支承类型转子系统的振动响应特征差异不大（最大变化为9.15%），且类型一的振动响应均大于类型二的振动响应。

图9 不同支承类型下转子系统的振动特性曲线

4 结语

建立了单跨双盘转子的动力学模型，通过Runge-Kutta法求解系统的振动微分方程，研究裂纹刚度变化量、裂纹深度、转速和裂纹位置等对转子系统的振动特性的影响。结果表明：

（1）无论裂纹位于L1还是L2段，当转速较小时，系统的振动响应主要是由裂纹引起的，频谱图上会出现高频分量，即会在nX倍频处出现峰值；当转速较高时，系统的振动响应主要是由偏心量引起的，频谱图中仅包含工频成分，其他谐波分量都很小。因此，可以通过响应中是否含有谐波分量来判断系统是否出现裂纹故障。

（2）随着裂纹轴刚度变化量K的增大，裂纹位于L1和L2轴段的两个振动响应的分量基本是随着K的增加而增加的。因此，当转子系统上存在裂纹时，要时刻观察转轴的变化，避免发生意外。

（3）在转速、裂纹深度和裂纹轴刚度变化相同的条件下，裂纹位于转子左侧轴段的振动总是比裂纹位于转子中间轴段的振动剧烈。

（4）通过对左侧为弹性支承、右侧为非线性油膜力支承和两端均为弹性支承的单跨双盘裂纹转子的动力学特性进行对比分析可知，两种支承类型转子系统的振动响应特征差异不大，且类型一的振动响应均大于类型二的振动响应。