裂纹对齿轮副模态频率的影响

2019-10-22刘文光丰霞瑶

噪声与振动控制 2019年5期

刘文光，丰霞瑶

(南昌航空大学航空制造工程学院，南昌330063)

齿轮传动装置广泛地应用于航空航天、车辆工程以及农业机械等领域的动力机械之中。由于齿轮传动是机械传动系统的重要组成部分，其性能优劣直接影响系统的机械性能。近年来，动力机械不断地朝着高速、高温及高压的方向发展，齿轮机构所承受的载荷环境也愈来愈复杂，由此导致的复杂工况对齿轮传动设计提出了更高的要求。

振动贯穿于齿轮传动的整个工作过程，对齿轮机构的振动稳定性以及振动疲劳强度具有不可忽视的影响。疲劳裂纹的产生会给齿轮啮合刚度造成重大影响，使得系统模态频率发生相应的变化。一旦传动系统内部激励频率或者外部激励与齿轮传动系统的固有频率相接近或者相重合，必然引起齿轮传动装置的共振，这不仅导致设备工作异常，还将加速零部件及相应结构的疲劳破坏。因此，动力机械工作过程中，齿轮传动系统不仅要承受动力源和负载引入的外部激励，而且要经受由时变刚度、齿轮传动误差以及啮合冲击带来的内部激励[1-2]。由于啮合刚度是齿轮箱振动分析研究中的重要参数，考虑齿轮几何参数和齿轮故障的影响，Chen 等[3]、Wan 等[4]和Ma 等[5]对齿轮机构的啮合刚度计算方法及其影响因素进行了探究。考虑时变啮合刚度、齿轮传动误差和轴承支撑刚度的作用，王旭等建立了含齿根裂纹的齿轮副多自由度动力学模型，通过力学方法分析了齿轮传动副在正常和含裂纹两种情况下的啮合刚度，求解了系统的振动响应，基于振动响应又研究了齿轮的故障产生机理[6]。为了探究裂纹对弧齿锥齿轮副动力特性影响，冯刚等建立了无裂纹和含裂纹弧齿锥齿轮副的有限元模型，分析了齿轮副的啮合刚度变化规律，建立了齿轮传动副的非线性振动方程，得到了无裂纹和有裂纹两种状态下的系统振动响应[7]。以圆柱齿轮为对象，唐进元等构建了含齿根裂纹齿轮副的有限元振动模型，提出了计算含裂纹齿轮时变啮合刚度的方法，分析了裂纹对齿轮副时变啮合刚度的影响[8]。为探讨含裂纹故障齿轮副的非线性振动，马锐等研究了含裂纹故障的四自由度齿轮副动力学特性，建立了含裂纹故障的耦合动力学模型，分析了裂纹故障对系统啮合刚度的影响，探究了裂纹故障及齿轮系统参数对齿轮传动副的振动特性的影响[9]。综合考虑齿轮副啮合时变刚度激励和误差激励，孙华刚等研究了齿轮副内部的动态激励曲线，对比了含裂纹故障齿轮副内部动态激励曲线，分析了不同部位和程度的裂纹故障对齿轮内部动态激励的影响[10]。基于齿轮所受转矩和啮合齿轮转角变形量，舒斌等推导出齿轮传动装置的时变啮合刚度理论模型，建立了含齿根裂纹齿轮传动副有限元模型，提出了基于有限元方法的齿轮传动时变啮合刚度计算方法，讨论了一个啮合周期内齿根裂纹对单对轮齿啮合和两对轮齿啮合时啮合刚度的影响[11]。针对单对齿轮传动建立齿轮副扭转振动的参数化动力学模型，马锐等采用平均法分析了齿轮裂纹模型的主共振及1/2 亚谐共振的动力学响应，研究了裂纹演化过程对齿轮系统啮合刚度及动力学行为的影响，分析了含有裂纹故障齿轮的振动特，建立了裂纹程度及传动误差所产生的内部激励与系统动力学分岔的关系，揭示了不同裂纹程度和传动误差所引起的不同分岔模式，提取了含有裂纹故障齿轮的振动特征，为齿轮系统裂纹故障的识别提供理论依据[12]。邵忍平等建立了齿轮的动力学模型，分析了轮齿发生裂纹后的动力特性，深入探讨了裂纹出现位置和裂纹尺寸等对齿轮动力特性的影响[13]。

动态分析表明，研究者们从齿轮传动系统的接触加载、啮合刚度和几何特性等方面对齿轮传动系统的动力学问题展开了大量研究。尤其是随着计算机技术和有限元计算方法发展的推动，齿轮机构的研究对象由简单的齿轮副逐渐过渡到包含齿轮、轴和轴承等零部件的复杂传动系统，有时甚至以整个传动系统作为分析对象，且将传动零部件之间的动态激励相互影响考虑进去。然而，有关齿轮传动系统的研究仍然存在很多问题尚待解决。例如，含裂纹齿轮副裂纹位置变化对齿轮副振动模态的影响机制仍然不明。齿轮啮合传动过程中，因为啮合位置不断发生变化，齿根位置的弯曲应力最大，节圆位置的接触应力最大，两者均可能成为裂纹萌生和扩展的主要区域。

因此，本文以含齿根圆裂纹和含分度圆裂纹齿轮副为对象，探讨不同位置裂纹对齿轮副模态频率的影响，研究结果可为齿轮传动的裂纹故障诊断提供理论支撑。

1 含裂纹齿轮副模态频率方程

忽略裂纹对齿轮副质量的影响，裂纹主要通过啮合刚度影响齿轮副模态频率。假设不含裂纹时齿轮副的啮合刚度为K0，裂纹引起的啮合刚度改变量为KL，则含裂纹齿轮副的啮合刚度为

将齿轮传动副离散为多自由度系统，可将齿轮副的振动方程建立为[14]

式中M，C和K分别代表系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；{u(t)}和{f(t)}分别为系统的位移向量和激振向量；{(t)}和{(t)}分别代表系统的加速度向量和速度向量。矩阵和向量的阶次，取决于系统的自由度数。

分析含裂纹齿轮副模态时，齿轮副的啮合接触力转化为啮合刚度的变化中，忽略外部激励力和阻尼对模态频率的影响，得到齿轮副系统的无阻尼自由振动方程为

因此，含裂纹齿轮副的模态频率计算可转化为求解方程的广义特征值的问题

求解的特征值有若干个，f代表着齿轮副的模态频率。因为低阶次的振动模态对齿轮副的动力响应贡献相对较大，本文主要讨论裂纹位置对齿轮副低阶模态频率的影响。

2 含裂纹齿轮副的有限元建模

2.1 齿轮副几何模型

考虑图1所示的齿轮副模型，齿轮副的几何参数及齿轮材料的力学特性如表1所示。

对于标准渐开线直齿圆柱齿轮而言，齿轮啮合的重合度在1～2之间。根据重合度的定义，啮合过程中最多有两对轮齿参与啮合。为了减少模型的计算量，不失一般性地采取齿轮副一个啮合周期内的3齿模型代替齿轮副来建立有限元计算模型。同时，为分析单个啮合周期内各种裂纹存在的合理性，只研究包含双裂纹的齿轮副。由齿轮啮合的受力特点可知，疲劳裂纹最易发生在轮齿根部和分度圆位置，分别简称齿根圆裂纹和分度圆裂纹。

表1 直齿齿轮副的基本参数

图1 齿轮副几何模型

齿轮副工作时，同一啮合周期内存在裂纹数量不同和裂纹位置多种情况，本文仅选取双裂纹模型开展研究。图2给出了齿轮啮合状态下，单个轮齿出现分度圆裂纹与齿根圆裂纹（裂纹工况a）、相邻轮齿分别含齿根圆裂纹（裂纹工况b）、相邻轮齿分别含分度圆裂纹与齿根圆裂纹（裂纹工况c）和相邻轮齿分别含分度圆裂纹（裂纹工况d）4 种几何模型。aA表示齿根圆裂纹深度，aB表示分度圆裂纹深度，θA表示齿根圆裂纹角，θB表示分度圆裂纹角。本文不讨论裂纹角对齿轮副频率的影响，设置裂纹角分别为θA=60°，θB=90°

2.2 含裂纹齿轮副的有限元建模

划分齿轮副啮合模型网格时，考虑到轮齿间的非线性接触及大变形的需求，选取八节点六面体塌缩单元类型C3D8I。同时对轮齿接触部分及裂纹扩展区域进行网格细分，图3是计算用的齿轮副有限元模型。

利用ABAQUS 建立有限元网格模型时，采用C3D8R 2阶缩减积分单元，并采用自由划分进行计算。在求解模态时，约束齿轮内圈6个自由度，如图4所示。

为了便于力矩在齿轮的加载，分别取两齿轮内径中心点O1、O2，并对齿轮对内径表面进行耦合约束。

通过对中心点加载力矩和制订边界条件模拟齿轮啮合受力情况。由于在啮合过程中，集中表现为啮合轮齿部分发生变形，故采用三轮齿接触模型进行啮合计算。而轮齿之间的接触为非线性接触，故需建立面-面接触对，如图5所示。

图2 齿轮副裂纹工况

图3 齿轮啮合有限元模型

图4 齿轮副的约束

图5 齿轮面-面接触对

这种接触对类型在加载大力矩时计算收敛难度增大，本文在以线弹性力学为基础的赫兹接触理论上采用一种新的载荷施加方式。轮齿啮合接触时存在相比轮齿表面的曲率半径较小量的接触面，通过ABAQUS可以获取啮合周期内的接触面大小、接触面位置以及接触力的大小、方向，故齿轮在力矩作用下的啮合可转化为对含裂纹齿轮接触面施加面载荷的形式，从而降低计算时间。先对主动轮约束6 个自由度，对从动轮约束，除围绕自身轴向方向自由度外的5 个自由度，并施加微小位移使之与主动轮接触。打开主动轮绕自身轴向方向自由度，并施加1×105N·mm转矩，给从动轮施加位移载荷0.45 rad，计算所需施加面载荷的值。

3 裂纹深度对齿轮副模态频率的影响

由于齿轮啮合过程中模态频率是变化的，本文选取的是啮合过程中同一转角位置的第1 阶～第9阶模态频率。

为了直观地揭示裂纹深度对齿轮副模态频率的影响，将裂纹扩展后的模态频率与无裂纹时的模态频率比值定义为

式中：fij表示含列纹时齿轮副的第i阶模态频率，fA和fB分别为aA=0和aB=0时的模态频率。

3.1 分度圆裂纹深度对齿轮副模态频率的影响

当单啮合周期内同时存在两个轮齿均含分度裂纹时，图6和图7研究了双分度裂纹深度从1 mm 增至2 mm 下的前9 阶固有频率。结果表明，前9 阶模态频率均随裂纹深度的增加略有下降，裂纹深度对高阶模态频率的影响相比对低阶模态频率的影响较为明显。

图6 分度圆裂纹深度对模态频率的影响

图7 模态频率随分度圆裂纹深度的变化

分析表明，双齿均含分度圆裂纹时，齿轮副模态频率均有降低，但是裂纹深度的变化对模态频率的影响不尽相同。分度圆裂纹对第1、2、5、7、9阶模态频率影响较大，而对第3、4、6、8 阶模态频率影响较小。随着裂纹的增大，同一模态频率的下降率也在增大。原因在于，裂纹存在降低了轮齿弯曲刚度，导致模态频率降低，同时由于设置裂纹存在不可避免的质量损失使得固有频率增大。随着裂纹扩展增大，降低的弯曲刚度与质量损失对固有频率的影响差距也逐渐增大。

3.2 齿根圆裂纹对齿轮副模态频率的影响

图8和图9研究了不同裂纹深度时，含双齿根圆裂纹齿轮副的模态频率变化规律。

结果表明，齿根裂纹的存在使齿轮各阶次模态频率下降。随着裂纹深度的增大，模态频率均下降，第1、2、3 阶模态频率下降趋势显著。究其原因，计算过程中齿根裂纹的存在，致使轮齿弯曲刚度的减小比质量损失对模态频率的影响要大，这就反映出齿根裂纹的存在对齿轮前几阶次模态频率影响要大。

图8 齿根圆裂纹深度对模态频率的影响

图9 模态频率随齿根圆裂纹深度的变化

3.3 组合型裂纹对齿轮副模态频率的影响

图10研究了无裂纹和3种组合裂纹情况下相邻齿分别含不同深度单裂纹齿轮副的模态频率。结果表明，裂纹处于稳定扩展阶段时齿根裂纹尺寸比分度圆裂纹尺寸要大。再加上计算过程中不可避免的质量损失误差，出现了如第4、5、6 阶的含裂纹缺陷模态频率不降反增的情况。

图10 组合型裂纹在不同裂纹深度比下的模态频率

从整体上看，考虑齿轮副质量损失与弯曲刚度损失，随着裂纹的不断扩展，齿轮模态频率逐渐下降。图11研究了组合裂纹在3种不同裂纹深度比下齿轮副模态频率随齿根裂纹的变化规律。

图11 组合型裂纹在不同裂纹深度比下的模态频率比

4 裂纹位置对齿轮副模态频率的影响

基于不同组含裂纹齿轮下对齿轮模态频率的影响，随着裂纹深度的增大，同一模态频率均逐渐降低。从而可知，各组含裂纹齿轮对其模态频率下降率也有所不同。

图13研究了不同裂纹深度下各组含裂纹齿轮副模态频率下降率规律。结果显示，随着裂纹深度增大，模态频率均有所下降，不同模态频率的影响趋势具有显著差异。最大裂纹相同时，双轮齿含齿根裂纹比双轮齿含分度裂纹对模态频率下降率的影响大，且随着裂纹深度的增加，模态频率之间的差距不断增大。双轮齿含不同裂纹齿轮，相较于另外两种含多裂纹齿轮模型，裂纹深度对齿轮副模态频率的影响规律相同。第1、2、3 阶模态，双轮齿裂纹深度对齿轮模态频率的影响介于双轮齿含齿根裂纹与分度圆裂纹齿轮副模态频率之间。第4、5、6 阶模态，齿轮模态频率在3 种含多裂纹齿轮模态频率中最大。第7、8、9 阶模态，齿轮模态频率为三者中最小值。