赵 斌，封周权，陈政清

（湖南大学 风工程与桥梁工程湖南省重点实验室，长沙410082）

模态参数是表征结构动力特性的主要参数，这些参数可以用于结构有限元模型修正、结构损伤识别、状态评估和响应预测等,对于结构健康监测和振动控制等工程应用具有重要意义。为了准确获得结构的模态参数，尤其是结构的模态阻尼比，可采用人工激励的动力试验方法，然而，由于土木工程结构大多具有结构形式复杂，体型巨大和所处环境复杂多变等特点，对人工激励的设备和能量要求高，另外，对运营状态下的土木工程结构如桥梁等进行封闭测试很不现实，因此，传统人工激励方法（力锤或激振器等）往往并不适用。于是，基于环境激励（地脉动、风荷载、交通荷载等）的模态测试技术已成为土木工程结构中最常用的方法。环境激励下的模态参数识别方法大体可以分为时域、频域和时频域3种类别，其中时域方法对响应时程数据直接进行信号分析，如自然激励联合特征系统实现法（NExT-ERA）[1]，随机子空间识别法[2]等。频域方法一般是将响应数据先进行傅里叶变换再进行参数识别，主要有峰值拾取法[3]，频域分解法[4]以及基于振动响应传递比函数的系统识别方法[5-6]等，时频域方法一般是基于小波变换或希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）等信号分析技术的识别方法。其中傅里叶变换适用于处理平稳信号，而对于非平稳信号，具有自适应特点的希尔伯特-黄变换是一种不错的方法[7-8]。HHT 的核心部分为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）。

近年，王金良等人在希尔伯特-黄变换方法的基础上提出了一种数据分析的新方法——极点对称模态分解方法[9-10]（Extreme-point Symmetric Mode Decomposition，ESMD）。ESMD 不同于EMD 的地方在于：EMD 的筛选过程是构造外部包络曲线，而ESMD 是通过极点对称构造内部插值曲线，所以更能反映振动相对于其自身的局部对称性，由于内部均线幅值较小，这样就能更好地降低由插值带来的不确定性。另外，ESMD方法在筛选次数的规定上，提出了基于优化全局均线的最佳筛选次数，这样既能保证模态的对称性又能避免因为固定筛选次数而带来的盲目性,确保了最佳的筛选效果。

土木工程结构往往是多模态的，ESMD和EMD分解后的信号均存在模态混叠问题，为了避免模态混叠，在模态分解之前往往会对响应信号进行滤波[11]，对滤波后的响应信号再进行模态参数的识别，往往能得到较理想的结果。

随机减量技术（Random Decrement Technique，RDT）是环境激励下时域模态分析的常用方法[12-14]，假定系统受到一个平稳随机过程激励，此时系统的响应是由初始条件的确定性响应和随机荷载作用下的随机响应叠加而成。随机减量技术通过对响应信号进行多段截取求平均，得到自由衰减振动信号。由自由衰减振动信号，可以识别结构的频率和阻尼比。然而，随机减量法在处理多模态信号时存在问题，它不能同时识别多个模态的模态参数。

鉴于此，本文提出了一种基于ESMD 的应用于环境激励下土木工程结构的模态参数识别的新方法。该方法先利用ESMD将滤波后的窄带信号分解成单模态信号，然后利用随机减量技术提取模态参数。通过一座5层剪切框架的数值仿真分析和一座3层剪切框架模型的实验研究，分析了所提方法的有效性和可靠性。

1 基于ESMD 的结构模态参数识别方法

1.1 基于ESMD的模态参数识别算法流程

图1表示基于ESMD的模态参数识别过程。首先，对采集的响应信号按照频域信息进行滤波和降噪等预处理，接着对滤波后的信号应用ESMD 方法进行分解，得到每1 阶模态响应信号，然后对每1 阶模态响应信号分别应用随机减量技术进行处理，得到每1 阶模态自由振动衰减曲线，最后用最小二乘拟合方法对每1 阶模态自由振动衰减曲线进行拟合，得到频率、阻尼和振型等参数。

1.2 ESMD方法基本理论

1.2.1 ESMD算法流程

（1）对一组待分析数据Y的所有极大值点和极小值点进行标记，依次记为Ei(i=1,2,…,n)；

（2）找出相邻两极点连线的中点，记为Fi(i=1,2,…,n-1)，并补充数据两侧端点F0=F1,Fn=Fn-1；

（3）根据上面所得到的n+1 个中点构造m条内部插值线L1,…,Lm(m≥1,一般取值1,2,3)。当m=1时，即用所有中点构造一条插值曲线，相应称为ESMD_I，当m=2 时，分别用奇数中点和偶数中点构造两条插值曲线，相应称为ESMD_II，当m=3 时，分别用第3k+1，3k+2，3k+3(k=0,1,…)个中点构造3条插值曲线，相应称为ESMD_III；

（4）计算均值曲线L*=(L1+…+Lm)/m；

（5）记经验模为Y-L*，重复以上步骤直至 ||L*小于目标误差或者筛选次数达到预定值K时，第一个经验模M1即被分解出；

（6）依上述步骤对Y-M1进行分解可得到M2，同理可得到M3,M4…直至最后余量R（具有若干极点）；

图1 基于ESMD的模态参数识别算法流程图

（7）引入方差比率的概念，定义σ为Y-R的标准差，σ0为原始数据Y的标准差，σ/σ0为方差比率。画出σ/σ0随筛选次数K的变化图，其中K在一个预定的整数区间内变化。

（8）找出最小方差比率σ/σ0对应的筛选次数K，以此作为本次分解的筛选次数，重复前六步得到最终模态分解结果。

1.2.2 ESMD方法的特点

（1）经验模态分解方法（简称EMD 方法）的筛选过程是通过构造两条外包络线实现的，一条外包络线由数据所有极大值点构成，另一条由所有极小值点构成。而ESMD方法的筛选过程则采用的是内部插值曲线，这些插值曲线由相邻极值点的中点构成，一般选取1至3条内部插值曲线；

（2）EMD 方法采用的是“包络线对称”的概念，ESMD方法采用的“极点对称”的概念。ESMD方法的思想基础是物质运动的振动过程总是围绕不断变化着的平衡点进行的；

（3）ESMD方法放宽了EMD方法中对本征模态函数对称性的要求；

（4）ESMD 方法提出了最佳筛选次数的概念，优化了筛选过程，相较于EMD 方法，这一概念的引入既避免了设置固定筛选次数的盲目性又通过设定一个最高筛选次数N避免程序出现死循环；

（5）因为ESMD 方法不采用先验基函数，而是采用数据自适应的方式，因此相较于傅里叶变换和小波变换，ESMD 方法在处理非平稳信号方面具有独特的优势。

1.3 随机减量技术

随机减量技术假定一个受到平稳随机激励的线性系统，从该系统的平稳随机响应样本中获得该系统的自由振动响应[12-14]。

对于线性系统，假设两个均值为零的高斯分布随机响应样本X1(t)与X2(t)，按触发条件CX1(tm),X1(t)与X2(t)的自相关和互相关随机减量函数为

其中：E[·]表示随机变量的数学期望。

当采用正点触发条件时

式中：0 ≤α1＜α2≤+∞，σX1是X1(t)的标准差。式(1)和式(2)也可以写成

式 中：RX1X1(τ)=E[X1(t)X1(t+τ)]和RX2X1(τ)=E[X2(t)X1(t+τ)]分别是自相关函数和互相关函数，并且

式中：pX1(x)为X1(t)的概率密度函数。一般地，随机减量函数可以按下式估算

式中：D^XjXi(τ)为Xj(t)关于Xi(t)的随机减量函数；N为触发事件的总数目；CXi(tm)为指定的正点触发条件；tm为第m个时刻。

随机减量法在实际应用中，比较重要的两个参数是截取幅值的大小和截取段的数据长度。截取幅值较小的情况下可以得到较多的样本用来总体平均，以降低随机响应的影响。不过,较小的截取幅值也会使自由衰减信号由于低信噪比而易受噪声污染，影响最终的分析结果。因此合适的截取幅值的选取就显得尤为重要[12]。另外，截取段数据过短会因为数据量不充分而使得识别结果不理想，而截取段数据过长有时会在尾端出现异常的非衰减段，所以也需要选择合适的截取段长度。

1.4 模态参数识别

得到单模态自由衰减曲线后，结构的模态参数可以根据最小二乘拟合方法得出。单模态有阻尼自由衰减曲线可以表示为[15]

此处j为自由度编号，n为模态阶数编号。Ajn为模态振幅，ξn为模态阻尼比，ωn为无阻尼体系的自振频率，ωdn为有阻尼体系的自振频率。并且

通过分析不同自由度的响应数据，可以获得第n阶模态的各自由度振幅Ajn，进而可得到N个自由度第n阶模态的归一化振型为

2 数值模拟分析

以一座5层剪切框架为数值模型进行了数值仿真分析，5层剪切框架力学模型如图2所示。模拟剪切框架各层质量取m1=m2=m3=m4=m5=400 t，层间刚度k1=k2=k3=k4=k5=2×105kN/m，系统阻尼采用Rayleigh 阻尼，定义前2 阶阻尼比均为0.01。可以计算得出构成阻尼矩阵的比例常数α=0.094 8 s-1，β=8.018 5×10-4s。结构的模态参数理论值见表1。环境激励仅考虑风荷载，由谐波合成法[16]模拟生成，环境激励作用时间为8分钟，采样时间间隔为0.02秒。

图2 5层剪切框架力学模型

计算得到各层的加速度反应时程数据后，对数据再加上噪信比为2%的噪声，并以叠加噪声后的结果作为风振响应原始数据。针对风振响应原始数据进行功率谱分析，可得到结构前5 阶频率的大致范围，5层响应数据的功率谱峰值范围基本一致，以m1加速度响应数据y1(t)的功率谱为例，示于图3。

图3 m1加速度响应数据功率谱

根据功率谱对原始数据进行带通滤波处理，以利于模态分解的顺利进行。滤波处理采用FIR带通滤波器，针对第1～5阶模态的带通频率范围分别为[0.8 Hz，1.5 Hz]，[2.5 Hz，3.5 Hz]，[4.3 Hz，5.0 Hz]，[5.7 Hz，6.3 Hz]，[6.7 Hz，7.0 Hz]。对经过滤波后的数据应用ESMD 方法进行模态分解，得到响应分解信号数据，这些数据包含明晰的模态参数信息[9,17]。仍以m1数据为例，分解结果见图4。

此时，ESMD 将响应信号分解成一系列单模态信号，得到模态分解信号后应用随机减量技术对分解信号进行处理，以第1 个自由度（m1）为参考自由度，随机减量法的截取振幅定为1.4σ，其中σ是参考自由度加速度的标准差。每1阶模态对应数据长度根据信号衰减结果选取，去除结尾明显的非衰减区段，m1前5阶模态衰减信号示于图5。

图4 m1加速度响应数据ESMD分解信号

图5 m1各模态自由衰减曲线

利用最小二乘拟合方法，即可得到结构的模态频率和阻尼，同时分析结构的5层响应数据，则可以得到结构各阶模态的振型。

对于数值模拟剪切框架结构，可以通过求解特征方程得到模态参数理论值。同时，本文应用NExT-ERA 法[1]分析了这一数值模拟剪切框架结构的加速度响应数据，同样可以得到结构的模态参数（频率，阻尼，振型）。理论分析得到的结构5阶频率分 别 为1.013 Hz，2.957 Hz，4.661 Hz，5.988 Hz，6.829 Hz。而NExT—ERA法得到的结构前8阶频率为1.013 Hz，1.269 Hz，2.959 Hz，3.228 Hz，4.662 Hz，4.874 Hz，5.989 Hz，6.824 Hz。对比发现NExT—ERA 法识别出的第2 阶，第4 阶，第6 阶模态应为虚假模态，需要剔除掉。可以发现，基于ESMD方法的模态识别方法，识别结果不存在虚假模态。

将理论值结果，ESMD 法分析结果以及剔除掉虚假模态后的NExT-ERA 法分析结果对比于表1。其中振型的识别精度采用模态置信度（Modal Assurance Criterion，MAC）来判别

式中：Φ1,Φ2表示2 个待评估的振型向量，MAC 介于0和1之间。假设Φ1为理论振型，Φ2为识别振型，MAC越接近1，即表示识别精度越高。

根据表1可以看出基于ESMD的模态参数识别方法在频率和振型的识别方面精度很高，频率的识别结果与理论值几乎一致，振型的识别结果与结构的理论振型在MAC标准下也基本吻合，识别精度达到了1.00。NExT-ERA 法的识别结果在剔除掉虚假模态后，在频率和振型的识别方面也表现出很高的精度。两者在阻尼方面的识别误差也都在10%以内，考虑到阻尼识别的不确定性较大，这样的识别精度在实际应用中是可以接受的。

3 实测数据分析

为了研究提出的方法的有效性，用1个3层实体剪切框架模型进行了试验研究（如图6所示）。

图6 3层实体剪切框架模型

该实验模型由铝合金制成，模型尺寸为401×314×1158 mm(宽×厚×高)。通过在模型基底施加白噪声激励模拟环境激励，采用无线传感器测量结构的加速度响应。采样频率为100 Hz。采样时长为10分钟。加速度响应时程数据见图7。

图7 3层剪切框架加速度响应时程

采用本文提出的方法识别了这一结构的模态参数，并与NExT-ERA识别的结果进行了对比。2种方法识别的结果如表2所示。可以看出2 种方法的识别结果比较接近，进一步验证了本文所提出的方法在模态参数识别方面的可靠性。其中MAC 值接近1，说明2 种方法识别出的振型基本一致，振型识别结果示于图8。

表1 5层剪切框架结构模态参数识别结果比较

表2 实验实例模态参数识别结果

图8 结构振型识别结果

4 结语

本文提出了一种环境激励下识别结构模态参数的新方法，即基于ESMD 和随机减量技术的模态参数识别方法。根据此方法分析了一座5层剪切框架数值模型的风致振动响应数据，将识别结果分别与理论结果和NExT-ERA 方法识别结果做了对比，可以发现，由所提方法识别出的结构频率和振型拥有很高的精度，阻尼比识别误差也在合理范围内，并且有效地避免了NExT-ERA方法识别结果中存在的虚假模态的情况。另外，应用此方法识别了一座3 层实体剪切框架的模态参数，识别结果再次表明了这种新方法在环境激励下结构模态参数识别方面的可行性和可靠性，可以作为结构模态参数识别的有效新工具。