徐从云，郑近德，潘海洋，包家汉，刘庆运，丁克勤

（1.液压振动与控制教育部工程研究中心，安徽 马鞍山243032；2.安徽工业大学 机械工程学院，安徽 马鞍山243032；3.中国特种设备检测研究院，北京100029）

滚动轴承是旋转机械最重要的部件之一[1]。轴承故障可能导致其他部件损坏和机器故障[1]。因此，有必要对滚动轴承运行状态进行监测，以便及时准确地发现故障早期征兆，减少故障和事故发生。

由于滚动轴承工作环境复杂，其振动故障信号往往表现出非平稳和非线性特性[4]。非线性动力学中的复杂性特征由于能够表征系统的非线性特征变化，在机械状态表征中越来越受到关注。文献[2]对大型旋转机械振动测量产生的复杂度值的分析表明，机器中故障的起始和增长与复杂性值的变化相关联。文献[3]中建立了复杂性值与滚动轴承缺陷程度之间的定量关系，从而确定缺陷严重程度。

目前，量化非线性时间序列复杂性的方法，如样本熵(Sample entropy，SE)[5]和模糊熵（Fuzzy entropy，FE）[6]已被相关学者应用于旋转机械的故障诊断和状态监测中。文献[7]中利用多尺度样本熵有效的实现了转子故障类型的诊断；文献[8]基于多尺度样本熵构建了多尺度熵偏均值应用于轴承疲劳试验，能够有效地跟踪故障发展趋势。但SE 仍存在如下缺点：（i）对数据中不稳定的噪声敏感[10]。在SE算法中，相似性检查基于取决于幅度的切比雪夫距离，如果时间序列中存在高峰值或高幅度就会直接影响熵估计[11]，而实际数据中往往都会存在不必要的不稳定噪声。（ii）无约束的熵值。SE 的估计基于自然对数，该自然对数计算相似模式的概率范围是不可控的[10]。（iii）未定义的熵值。当数据长度超过10m时，SE 是有效的[12]，其中m表示嵌入维数。然而，随着数据长度的减小，SE 可能产生不确定的熵值，因为在重构的m和(m+1)维相空间中存在很少的相似模式[13]。为此，文献[6]提出了模糊熵（FE）的概念。文献[9]将多频率尺度模糊熵与极限学习机结合对滚动轴承剩余寿命预测取得了良好的效果。FE 在短样本长度计算方面优于SE，但不是从标准SE 中产生的熵值。

针对上述问题，本文在SE 基础上，采用角距离代替SE 中切比雪夫距离，并用香农熵代替条件熵，进而发展了余弦相似熵(Cosine Similarity Entropy，CSE)[10]，与SE相比，CSE不受幅度的影响，对数据尖峰值和小样本长度更具鲁棒性。

论文给出了CSE算法，研究了相似容限、嵌入维数和样本长度对CSE 的影响，并通过模拟滚动轴承振动时间序列和模拟机器健康状态及其退化的测试信号，将CSE与SE和FE进行了对比，结果表明CSE的熵值能够监测噪声时间序列的动态特性，且比SE和FE更稳定。最后，将CSE应用于滚动轴承退化特征的表征，实验数据分析结果表明，CSE能够比所对比的方法取得更好的效果。

1 余弦相似熵算法

(3)计算所有成对嵌入向量的角距离为

(5)计算相似模式出现的全局概率B(m)(rCSE)，即

(6)依据香农熵的形式定义余弦相似熵

由于使用香农熵来估计CSE，故熵值范围为(0、1]。当CSE接近1时，认为时间序列在结构上复杂；当CSE 接近0 时，则认为时间序列在结构上较为简单。与SE 相比，CSE 中会发生未定义的熵值，除非而在给定的相似容限水平下都会出现相似模式，这将在第2节中得到验证。

2 参数的选择

相似容限、嵌入维数和样本长度都是影响熵值的重要参数。本文使用仿真信号研究不同的参数对CSE计算的影响，并给出合理参数范围。

2.1 相似容限rCSE

为了研究相似容限rCSE对CSE的影响，考虑4种合成信号[10]：(1)高斯白噪声WGN；(2)1/f噪声；(3)由x(t)=0.9x(t-1)+ε(t)生成1 阶自回归模型AR(1)；(4)由x(t)=0.85x(t-1)+0.1x(t-2)+ε(t)生成2 阶自回归模型AR(2)，其中：ε(t)～N(0,1)。自回归模型是常用的平稳序列的拟合模型，其系统随着时间的增长渐进稳定。虽然WGN比1/f噪声的不规则程度高，但1/f噪声比WGN结构复杂。

由于角距离的边界值范围是0到1，故实验采用的rCSE值从0.01 增加到0.99，步长为0.02，嵌入维数m=2，时延τ=1，样本长度N=2 048。通过30 次独立实验获得CSE 均值随rCSE变化情况，结果如图1所示。

图1 不同相似容限下30次独立实验的CSE均值

由图1可知，在rCSE=0.01～0.49范围内，4种信号的CSE 随着rCSE增大而增大，而在rCSE=0.51～0.99 范围内，他们的CSE则随着rCSE增大而减小。比较发现CSE 熵值，发现它们在rCSE=0.05～0.2 之间最能够区分4种信号。虽然rCSE的范围也能够在0.5～1之间，但本文考虑较低区域，因为容限越小，相似性越大[10]，因此，本文选择rCSE=0.07。

2.2 嵌入维数m

嵌入维数是影响熵值结果的重要参数，选择不同的维数m=[1，2，3，…，10]，时延τ=1，容限rCSE=0.07，n=2，样本长度N=4 096，通过30 次独立实验观察嵌入维数对CSE均值熵的影响，结果如图2所示。

图2 不同嵌入维数下30次独立实验的CSE均值

由图中可以看出，CSE在m=[2，3，…，10]均产生了有效的熵值，且熵值随着m的增加而减小，这表明，随着m的增加，重构嵌入向量轨迹越来越趋于确定性，结构复杂性越来越低[10]。m=1时CSE没有值，因为至少包含两个元素的向量的角距离才有效。因此，m=2 是用于计算CSE 的最小嵌入维数。由于嵌入维数m越大，CSE值越接近于0，因此，一般使用较小的嵌入维数，本文取m=2。

2.3 样本长度N

样本长度同样是影响熵值的重要因素。本文选择样本长度N从10 增加到2 000，步长为10，选择m=2，时延τ=1，容限rCSE=0.07，n=2，通过30次独立实验观察不同的样本长度CSE 均值，结果如图3所示。

图3 不同样本长度30次独立实验的CSE均值

由图3可以看出，CSE 从样本长度N=20 开始产生有效熵值，当N≥600 时4 种信号的CSE 均值达到分离且逐渐趋于稳定，因此，CSE可以在小样本长度产生有效熵值，本文选择N≥1 000。

3 CSE与SE、FE对比分析

3.1 滚动轴承振动仿真

自回归模型（AR）函数能够模拟滚动轴承振动时间序列[14]，创建1 阶自回归模型AR(1)：x(t)=αix(t-1 )+ε(t)，其中ε(t)～N(0,1)，αi在+0.9到-0.9 之间线性变化，采样频率为150 Hz，采样时长为100 s。采用6.667 s的滑动窗口，按80%的重叠沿着时间序列移动取样。在嵌入维数m=2，时延τ=1，容限rSE=rFE=0.15，rCSE=0.07，n=2 的条件下，分别计算AR的SE、FE 和CSE结果如图4所示。

图4 线性变化参数的自回归模型的SE、FE和CSE值

由图可知，只有CSE和FE的熵值能反映信号在不同位置的变化，但CSE产生的结果更稳定。

3.2 滚动轴承状态仿真

为了定量表征机器的健康状态及其退化（随着结构缺陷的严重程度增加），基于从滚动轴承测量的信号，本文采用文献[15]测试信号s(t) 模拟滚动轴承的运行状态，即

其中：x(t)是仿真原始轴承时间序列的4 个频率分量的叠加，e(t)是噪声。

分别计算7 个不同的信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）模拟信号的SE、FE 和CSE，结果如表1所示。

信噪比SNR的降低表明噪声越来越大，类似于机器系统的恶化[15]。在表1中的“频谱”列可看出，噪声信号被添加到测试信号中，随着SNR 的降低，对应信号中包含的频率分量增加。通过模拟机器健康状态的恶化，CSE 与SE、FE 值都提供了表征动态信号退化的定量测量，SNR增大不改变3种熵值，这表明它们对噪声不敏感，但在SNR=25 dB时，SE和FE的值明显变化，CSE 则在SNR=15 dB 时熵值明显变化，说明CSE比SE和FE对噪声更不敏感，表明CSE提供了一种有力的措施来监测噪声时间序列的动态变化。

4 实验数据分析

本小节使用数据由美国辛辛那提大学、美国智能维护中心(IMS)Jay Lee 教授课题组提供。实验台与整体结构如图7所示。试验台主轴装有4 个Rexnord ZA-2115 双列滚柱轴承，两端轴承固定，通过中间2个轴承由杠杆机构向主轴施加2721.6 kg正常大小的径向载荷。试验过程中各轴承均强制润滑，4个轴承座上各装有一个热电偶测量轴承外圈温度，以监视润滑情况。数据采集期间每隔10分钟采集一次振动信号，采样频率为20 000 Hz，各传感器每次采集20 480 个数据点，总共采集984 个数据文件。

图7 实验台与整体结构图

选取数据库第二次实验的第二个滚动轴承的振动加速度信号，取数据库984 个文件中每个文件的前8 192 个点作为样本。在m=2，τ=1，rSE=rFE=0.15，rCSE=0.07，n=2 的条件下，分别计算SE、FE、CSE、均方根（Root Mean Square，RMS）值得到退化趋势和对应的多项式（阶数均设置为5）拟合曲线如图8所示。

RMS值是系统的一般指标，其值变化能够指示系统产生变化可能是出现缺陷导致[16]。文献[17]指出，通常，熵曲线不显示轴承退化的独特行为，但能够说明熵值及其变化是不规则分析和监测退化的有用措施。在每种情况下，将前两百个点作为健康轴承参考，根据经验设置阈值等于平均值±3 倍标准差，即thres=mean+3×SD（FE 的阈值设为thres=mean-3×SD）[16]。由图8可知，RMS、SE、FE 和CSE分别在超过831、860、849 和827 点处的阈值时检测到存在故障，CSE 能比其它3 种方法更早地检测出故障的发生。

表1 具有不同SNR的模拟信号的SE、FE和CSE

图8 滚动轴承表征及对应多项式拟合曲线

此外，为了更加直观地观察熵曲线所反映的轴承退化趋势，对RMS、SE、FE 和CSE 对应的多项式拟合曲线求1 阶导，RMS、SE 和CSE 对应的导数值取负值，得到结果如图9所示。

图9 不同特征的对应的1阶导数曲线

结果显示，RMS、SE、FE 和CSE 分别在694、680、716和672点之后导数均开始小于零，表明轴承性能开始持续衰退，CSE 要比RMS、SE、FE 能更早地发现退化，说明CSE 能够作为表征轴承性能衰退的一种量度。

5 结语

（1）研究了一种新的非线性动力学参数余弦相似熵（CSE），研究了参数对其计算的影响，并给出了合理的参数范围。

（2）通过滚动轴承的仿真和实验数据对分析，将CSE与SE、FE进行了对比，结果表明CSE不仅能够监测噪声时间序列的动态和表征轴承性能衰退特征，而且能够取得比RMS、SE 和FE 更好的表征效果。

尽管如此，本文方法仍有不足之处，如依赖参数过多。接下来将考虑如何对参数进行优化以及如何建立多尺度CSE的滚动轴承性能衰退评估指标。