双联3K型行星齿轮系统固有特性分析

2019-10-22殷广强赵桂平

噪声与振动控制 2019年5期

康霞，殷广强,2，赵桂平

（1.西安交通大学航天航空学院机械结构强度与振动国家重点实验室，西安710049；2.庆安集团有限公司航空设备研究所，西安710077）

行星齿轮传动由于体积小、重量轻及承载能力强等优点而得到广泛应用，国内外学者对其动力学特性进行了研究[1-3]。

Tao Sun 等[4]考虑了啮合刚度的影响，采用集中参数法建立了2K-H行星齿轮系统平移-扭转耦合非线性动力学模型，并分析了啮合刚度对系统动力学性能的影响。宋轶民等[5]在纯扭转模型的基础上，考虑了行星轮轴承支承刚度的影响，建立了2K-H行星齿轮系统的修正扭转模型，研究了系统的固有频率与振动模式。J.LIN等[6]考虑啮合刚度的影响，建立了行星齿轮系统动力学模型，研究了太阳轮-行星轮啮合刚度变化导致的系统参数不稳定性。Wei Jing[7]等考虑啮合刚度和支承刚度影响，建立了多级行星齿轮系统集中参数模型，研究了时变啮合刚度和时变支承刚度下的系统动态性能。魏静[8]等考虑啮合刚度和支承刚度的影响，利用集中质量法建立了NGW 型两级行星轮系的弯-扭-轴耦合的三维动力学模型，研究了啮合刚度、行星轮和太阳轮支承刚度对系统固有频率的影响。宋轶民等[9]通过建立3K-Ⅱ型直齿行星齿轮平移-扭转耦合动力学模型，分析了系统固有特性及不同振型下的运动特征。双联3K行星齿轮系统通过采用行星架+双联行星齿轮的结构实现运动减速和扭矩传递，结构紧凑且具有更高的传动效率及更大的传动比范围，广泛应用于飞机高升力系统等传动装置[10]。该型行星齿轮系统的第一级和第二级行星轮是联为一体的构件，属于特殊的两级传动结构，因其较一般行星轮系结构相比的特殊性，相应影响其动力学特性的构件和因素也更复杂，研究其动力学特性对降低飞机高升力系统等的噪声和振动具有重要理论意义和工程应用价值。

本文考虑啮合刚度和支承刚度的影响，运用集中参数法建立了双联3K行星齿轮系统的平移-扭转耦合动力学模型，用MATLAB 中eig 函数求解得到其固有特性，并定性地分析了啮合刚度及支承刚度对系统固有特性的影响，为行星齿轮系统动力学设计提供理论依据和技术支撑。

1 双联3K行星齿轮系统动力学模型

1.1 系统等效动力学模型

双联3K行星齿轮传动系统如图1所示。

图1 双联3K行星齿轮传动机构简图

由太阳轮s，双联行星齿轮p1n-p2n（n=1,2,…，N），第一、二级齿圈r1和r2及行星架H构成。双联行星齿轮p1n-p2n(n=1,2,…,N)为整体构件，p1n和p2n表示双联齿轮上参数不同的两齿。系统中，第一级齿圈固定，太阳轮和第二级齿圈分别为输入、输出构件。A为输入端，B为输出端。

图2为双联3K行星齿轮系统的集中参数模型。在模型中将太阳轮、行星轮、齿圈及行星架视为刚体，各轴承的支承以及齿轮间的啮合简化为弹簧和阻尼。

图2 双联3K行星齿轮系统等效动力学模型

图2中，太阳轮、第一、二级齿圈、行星架和行星轮轴承的径向支承刚度分别为ks、k1r、k2r、kH、kn，径向支承阻尼分别为Cs、C1r、C2r、CH、Cn；第一级齿圈的周向支承刚度和阻尼为k1ru和c1ru；太阳轮和行星轮、行星轮和第一级齿圈、行星轮和第二级齿圈啮合副的啮合刚度分别为ksn、k1rn、k2rn，啮合阻尼分别为Csn、C1rn、C2rn；太阳轮、第一、二级齿圈、行星架和行星轮周向位移为us、u1r、u2r、uH、un。

1.2 构件间相对位移分析

将各构件间的相对位移沿啮合线方向投影，则可以得到各构件间相对位移表达式。

太阳轮-行星轮啮合副相对位移

第一级齿圈-行星轮啮合副相对位移

第二级齿圈-行星轮啮合副相对位移

行星架-行星轮相对位移

其中：太阳轮、行星轮、第一、二级齿圈、行星架沿x方向位移为xs、xn、x1r、x2r、xH，沿y方向的位移为ys、yn、y1r、y2r、yH，周向位移为us、un、u1r、u2r、uH，太阳轮、齿圈1、齿圈2 与行星轮n(n=1,2,…，N)的啮合角分别为αsn、α1rn、α2rn；φn为相邻行星轮中心角，φn=2π/N,φsn=φn-αsn，φ1rn=φn-α1rn,φ2rn=φn-α2rn。

1.3 各构件运动微分方程

太阳轮、行星轮、第一、二级齿圈及行星架质量分别为ms、mn、m1r、m2r及mH，转动惯量为Is、In、I1r、I2r及IH，rbs、rbn、r1br、r2br为各齿轮基圆半径，rH为行星轮轴心与行星架形心的距离。Td和TL为输入和输出转矩。假设各行星轮尺寸和质量均相同且等间距布置，各行星轮支撑刚度及阻尼相同，各行星轮与太阳轮和齿圈的啮合刚度及阻尼相同。则可得：

太阳轮运动微分方程

第一级齿圈运动微分方程

第二级齿圈运动微分方程

行星架运动微分方程

行星轮运动微分方程

1.4 系统动力学模型

综合各构件的运动微分方程，可得双联3K行星齿轮系统动力学模型。每个构件有3 个自由度，则整个系统有3×(4+n)个自由度。该行星齿轮系统动力学方程为

其中：q为广义位移向量，M、Cb、Cm、Kb、Km分别为系统质量矩阵、支撑阻尼矩阵、啮合阻尼矩阵、支撑刚度矩阵、啮合刚度矩阵，T为驱动力矩和阻力矩与相应构件半径相除后得到的当量力向量，F为激励力向量。

忽略外部激励和阻尼，可以得到系统自由振动方程

设fi为系统固有频率，φi=[pc，p1r，p2r，ps，p1，…，pN]为振型，pc=[xc，yc，uc]，p1r=[x1r，y1r，u1r]，p2r=[x2r，y2r，u2r]，ps=[xs，ys，us]，pn=[xn，yn，un]，n=1，…，N。

2 系统固有特性分析

双联3K行星齿轮系统参数如表1[10]所示。

运用MATLAB中eig函数求解系统自由振动方程（7），即可得到其固有频率和振型，系统固有频率如表2所示。

表2中，双联3K行星齿轮系统的行星轮个数从3增加到7时：重根数m=1，2及N-3的固有频率个数不变；根据飞机的振动环境，频率一般低于2 000 Hz。着重研究2 000 Hz以下的低阶固有频率变化可知，m=1时的固有频率值变化很小，m=N-3时的固有频率值不发生改变，仅m=2 时的3 阶固有频率值有较明显的减小，减幅分别为12.63 %、8.80 %及16.58%。

图3列出行星轮个数N=4，频率分别为1 112.80 Hz,614.80 Hz 及1 158.93 Hz 时的振型图。其中，虚线为初始位置，实线为振动后位置，实线段为构件横轴线。为简化图形，未画出行星架振动后的位置。

图3中，频率为1 112.80 Hz 时，中心构件（行星架、第一、二级齿圈及太阳轮）在x和y方向位移为零，只存在扭转振动；频率为614.80 Hz时，中心构件周向位移为零，只存在x和y方向的平移振动；频率为1 158.93 Hz 时，中心构件各向位移均为零，只有行星轮发生振动。依据中心构件及行星轮的不同振动状态，系统的振动模式分为中心构件扭转振动模式、中心构件平移振动模式及行星轮振动模式，分别对应系统动力学方程的重根数m=1，2及N-3。

综合表2和图3可知，系统3种振动模式对应的固有频率个数为定值，与行星轮个数无关；2 000 Hz以下的中心构件平移振动模式的固有频率受行星轮个数的影响最大，中心构件扭转振动模式和行星轮振动模式的固有频率不受行星轮个数影响。

3 刚度对固有频率的影响分析

啮合刚度和支承刚度是影响行星齿轮系统动力学性能的重要参数。表1中其余参数不变，改变支承刚度ks、k1r、kp及啮合刚度ksn、k1rn、k2rn，行星轮个数为4的双联3K行星齿轮系统低阶固有频率随刚度的变化曲线如图4所示。

表1 双联3K行星齿轮系统基本参数

表2 双联3K行星齿轮系统固有频率/Hz

图3 双联3K行星齿轮系统振型图

由图4可知，刚度值由107N/m 变化到109N/m时，ks使系统8～12阶固有频率发生改变，k1r使系统4～9阶固有频率改变，kn使系统6～12阶固有频率改变，ksn、k1rn和k2rn使系统10～12阶固有频率改变，综上可知支承刚度对系统低阶固有频率的影响大于啮合刚度。此外，着重研究图3中2 000 Hz 以下的系统固有频率，可知支承刚度k1r是其主要影响因素。这为该型双联3K 行星齿轮系统的动力学优化设计提供了依据。

图4 固有频率随刚度的变化曲线

由图4（a）中A 处局部放大可知，f10和f11为中心构件平移振动模式的两条重合固有频率轨迹，随着ks的微小变动，2 条轨迹迅速分离，同时振动模式变为中心构件扭转振动模式。之后，f11的轨迹与原为中心构件扭转振动模式的固有频率轨迹f12合并为新的重合轨迹，同时振动模式也变为中心构件平移振动模式，而另一条轨迹f10则由中心构件平移振动模式转为中心构件扭转振动模式。与一般行星齿轮传动系统中存在的模态跃迁相比，二者均使系统固有频率发生突变。区别在于，一般行星齿轮系统的模态跃迁，两条轨迹在距离很近的位置以较大曲率迅速转向分开而不发生重合或交叉，相应的未发生振动模式的改变。而图4（a）中，双联3K行星齿轮系统2条原来重合的轨迹在A处分开后，其中一条与第三条轨迹合并，组成新的轨迹。在这个过程中，振动模式发生改变，其中f10实现了平移-扭转振动模式的转变，f11实现了平移-扭转-平移振动模式的转变，f12实现了扭转-平移振动模式的转变。同样的还有B（图4（b））、C（图4（c））、D（图4（d））、E（图4（e））点。这些点处刚度值的变化使双联3K 行星齿轮系统固有频率和振动模式发生突变，系统处于不稳定状态，在设计过程中需要避开。