【摘  要】自适应滤波是信号处理的重要基础，近年来发展速度很快，在各个领域取得了广泛的应用。尽管使用用于白噪声输入的RLS算法获得快速初始自适应收敛速率，但是对于彩色输入信号观察到慢收敛。在本文中，我们推导出一种新的比例型RLS算法，该算法采用小波变换和稀疏自适应子滤波器，数字网络回波消除器应用的仿真结果说明了当采用该方法时所提出的收敛性改善。

【关键词】自适应滤波;RLS算法;小波变换;收敛性

众所周知，当系数的数量非常大时，自适应滤波算法的收敛变慢。然而，在诸如数字网络和声学回声消除器的许多应用中，被建模的系统具有稀疏脉冲响应，即，其大多数系数具有小幅度。传统的自适应技术，例如最小均方（LMS）和递归最小二乘（RLS）算法，没有考虑这种系统的稀疏特性。为了改善这些应用的收敛性，最近提出了采用小波变换改进递归最小二乘（RLS）算法，它采用各个步长来更新不同的系数。对于具有较大幅度的系数，适应步长变得更大，导致最重要系数的更快收敛。

RLS（递推最小二乘法）算法的关键是用二乘方的时间平均的最小化锯带最小均方准则，并按时间进行迭代计算。对于非平稳信号的自适应处理，最合适的方法是采用最小二乘自适应滤波器。它使误差的总能量最小。RLS算法的优点是收敛速度快，其收敛性能与输入信号的频谱特性无关，但其缺点是计算复杂度很高，对于N阶的滤波器，RLS算法的计算量为O（N2）[1，2]为了对非平稳信号进行跟踪，RLS算法引入了数加权遗忘因子λ。该遗忘因子的引入，使RLS算法能够对非平稳信号进行跟踪。

由于设计简单、性能最佳，其中RLS滤波器具有稳定的自适应行为而且算法简单，收敛性能良好。

这里讨论RLS算法收敛特性两个方面的问题：一是从均值的意义上讨论 的收敛性;二是从均方值的意义上讨论误差 的收敛性。为了讨论进行这样的讨论，必须对输入过程的类别作出规定。

在最小二乘法（RLS）算法引入了 的意义。统计量的计算是从零时刻开始的，如果不引入遗忘因子，所有采样点数据对当前估计量估计的贡献是相等的，在时变条件下，这显然不合理，因为离当前时刻比较远的数据，其信道与当前信道时域相关度越低，而通过引入0到1之间的取值 ，可以令离当前时刻越远的采样数据对统计量估计的贡献越小，由此可以实现对时变信道的有效跟踪。另外，通过调节 的大小，可以使算法适用于不同的信道时变速率环境。例如，信道时变速率较慢时可选用较大的 ，反之则选用较小的 。

结论

递推最小二乘法即RLS算法，是最小二乘法的遞推形式引出一种自适应算法，它是严格以最小二乘方准则为依据的算法。其主要优点就是收敛速度快，其收敛性能与输入信号的频谱特性无关。主要缺点是每次迭代计算量很大（对于 阶横向滤波器，计算量数量级为 ）。

RLS算法与LMS算法的基本差别如下：LMS算法中的步长参数 被 （即输入向量的相关矩阵的逆）代替这一改进对平稳环境下RLS算法的收敛性能有如下深刻的影响。指数加权因子 的作用和 的作用类似：RLS算法的收敛速度比LMS算法快一个数量级。RLS算法的收敛速度随着 的变小而加快，但稳定性相对减弱。反之，收敛速度减慢，稳定性加强。在本文中，我们提出了一种新的比例自适应算法，它采用小波变换和稀疏子滤波器。步长标准化考虑了每个子滤波器系数的值以及相应频带中的输入信号功率。仿真结果表明，所提出的方法比NLMS具有明显更快的收敛速度。

参考文献：

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[4] GAO Junshan，DENG Liwei，SONG Shenmin.Fractional order nonsingular terminal sliding mode control for flexible spacecraft attitude tracking[J].Instrumentation.2016（01

作者简介：

肖伟，湖南怀化人，1971年10月出生，国防科学技术大学博士研究生，湖南师范大学信息科学与工程学院副教授，研究方向为移动计算与智能计算。

湖南省自然科学基金项目，编号：2018JJ3351