毛泽标，王瑞平，谭艳军，傅灵玲

(宁波上中下自动变速器有限公司，浙江宁波 315800)

0 引言

随着国内汽车行业的飞速发展，变速器行业得到快速发展。不管哪种形式的变速箱，渐开线花键在变速器内都得到了大量的应用，渐开线花键具有承载能力大、对中性好、加工效率高等特点，非常适合大批量的产品应用。尤其是渐开线花键的自定心作用，非常适合应用在传动精度要求较高的汽车变速箱传动装置内。目前渐开线外花键基本上都是通过轧制或搓齿成型，内花键都是通过成型拉刀拉削成型，生产效率非常高。但是由于渐开线花键具有复杂的齿廓面，所以在设计和装配时的要求较高。利用UG等高端三维软件可以建立渐开线花键复杂曲面精确模型。用精确的模型装配进行干涉和制造上的检查，可以及时发现设计制造中的问题从而进行有效的规避。大多数的CAD软件，基本上都没有渐开线花键的参数化自动建模工具箱，并且有些工具自带的渐开线花键建模工具也有一定的局限性或建模的精确度不高，故建立的模型是一种非精确的模型。本文作者基于UG软件提出一种新的直齿渐开线花键的精确建模方法，能够很好地建立精确的直齿渐开线花键模型。

直齿渐开线花键的精确模型的建模思路是：首先利用渐开线函数方程绘制出渐开线曲线，应用平面渐开线在分度圆上的对称性，求出其对称的渐开线。利用渐开线花键的大小径及齿根圆角形成一个渐开线花键齿的封闭截面，最后利用UG软件的拉伸成型功能形成一个渐开线花键齿，最后通过轴线整列而形成一个完整的渐开线花键。

1 渐开线函数方程

当直线BK沿圆周作纯滚动时，直线上的任意点A的轨迹AK就是该圆的渐开线，如图1所示。

图1 渐开线形成原理

根据渐开线的成型原理，渐开线的数学方程推导公式如下：rk为渐开线在任意点K的向径，当以此渐开线作为齿轮的齿廓，并与其共轭齿廓在点K啮合时，则此齿廓在该点所受正压力的方向与速度方向之间的夹角αk为渐开线在此点的压力角[1]。由图可见αk=∠BOK

cosαk=rb/rk

(1)

tanαk=BK/rb

(2)

又因

BK=AK

(3)

由式(1)(2)(3)可推导出渐开线函数的极坐标方程为

rk=rb/cosαk

θk=tanαk-αk

(4)

2 建模思路及具体步骤

2.1 渐开线函数方程表达式的建立

渐开线成型方法是利用UG软件来建立表达式。下面以齿数Z=32、模数m=1 mm、压力角α=30°、变位系数X=0.05、大径da=32.8 mm、小径die=30.6 mm、跨棒距Mre=35.085～35.135、量棒直径dp=2 mm、实际齿厚Smax=1.520 1 mm为例来讲解渐开线花键的精确建模过程[2]。

在UG/NX的软件内，选择模型的建模应用功能，在菜单栏里选择工具菜单，选择表达式工具。弹出软件参数化建模窗口。在表达式内输入渐开线函数的方程表达式[3]：

t=0//UG软件内部函数变量0≤t≤1

s=90*t //渐开线曲线角度起始角到终止角0°-90°

db=m*z*cos(α)=27.7128//渐开线基圆直径

xt= db/2*cos(s)+db/2*rad(s)*sin(s)//渐开线函数X轴方向的坐标

yt= db/2*sin(s)-db/2*rad(s)*cos(s)//渐开线函数Y轴方向的坐标

zt=0//渐开线函数Z轴方向的坐标

2.2 绘制渐开线曲线

定义好准确的渐开线函数后，点击确定关闭参数化建模窗口。注意所有参量必须选择不带单位的恒定数，否则会因为单位不一致而发生错误。接下来就是引用刚才建立的函数来建立空间坐标系下的渐开线曲线。

选择菜单栏内的插入工具条，选择插入曲线，选择插入规律曲线。在弹出的对话框内选择根据方程式来产生规律曲线，方程的变量选择根据t的变化来产生曲线，然后点击确定就会得到三维坐标系下XY平面内的渐开线曲线，如图2所示。

图2 渐开线曲线

2.3 渐开线花键齿草绘截面的形成

接下来便是在XY平面上来进行草绘，首先选择草绘平面XY，在UG的草绘模式下选择投影曲线，把刚才建立的渐开线曲线引用到草绘平面上来。按计算的分度圆，绘制渐开线花键的分度圆。分度圆与渐开线曲线相交形成交点。利用快速剪切工具，剪切分度圆之内的曲线，这样找出渐开线曲线上的分度圆的点。利用分度圆心点和渐开线分度圆上的点作曲线，然后把曲线固定住。接下来利用数学函数式来求其对称的渐开线曲线。其数学函数关系如下式：

s=rθ

(5)

其中：s为分度圆的齿厚；r为分度圆的半径。根据齿厚可求得分度圆齿厚对应的角度。其角度的一半所作的直线便是分度圆齿厚的对称中心线。求出θ=5.443 457°。作渐开线齿厚的对称中心线，如图3所示。

图3 渐开线曲线投影示意

利用UG软件的投影引用功能，继续把渐开线引用到草绘视图中来，利用UG软件的镜像对称功能，把渐开线对称过去，这样就可以得到两个齿廓面的渐开线了。而后在草绘视图中画出花键的大小径和齿根圆角，就可以得到单个渐开线齿的一个截面形状，如图4所示。

图4 渐开线花键单齿截面

2.4 渐开线花键轮齿的形成

按上述得到渐开线花键的草绘截面，利用三维软件的拉伸成型功能，对草绘平面进行拉伸就可以得到渐开线花键的一个完整的齿，如图5所示。

最后再利用UG软件的阵列功能，选择单个实体渐开线花键，选择阵列的中心轴线，选择沿轴线均匀分布的圆周阵列形式，输入阵列的角度θ=360/Z=360/32=11.25°，并选择阵列后的实体相加模式。这样就可以得出整个精确的渐开线花键，如图6所示。

图5 单齿渐开线花键图

3 精确模型在设计中的应用

精确的渐开线花键不仅可以校核花键的设计干涉情况，还可以对花键量棒的选择进行分析校核。例如用相同的原理可以做出渐开线花键的内花键的精确模型。进行精确的装配模拟可以知道花键齿厚方向的干涉情况，如图7所示。

图7 精确剪开线花键装配示意

有了精确的渐开线花键模型还可以知道渐开线外花键和内花键配合(大径定心配合)时，其齿顶与齿根的干涉情况，从而校核出内外花键的齿根圆角设计是否合理、齿厚和齿槽宽的设计是否合理等复杂情况，避免后续实际生产装配时出现压装力过大无法压装或者齿侧间隙过大出现花键的蠕动损伤等情况的发生，如图8所示。

有了精确的模型后，还可对渐开线花键的量棒直径选择做出精确的校核判断，尤其是量棒直径过小时，会造成量棒与齿根圆直径直接干涉的情况[4]，如图9所示。

图8 渐开线花键齿根圆角检查示意

图9 渐开线花键量棒直径检查示意

4 结束语

从渐开线的原理出发，建立渐开线的函数方程。利用渐开线的函数方程及UG软件的方程曲线成型原理绘制渐开线曲线。这是一种精确的渐开线曲线绘制方法。而后利用数学的曲线弧长与弧度的对应关系计算出渐开线花键的分度圆齿厚的对称中心线，利用中心对称原理求出渐开线花键齿廓另外一面的渐开线来形成一个花键齿截面。最后利用UG软件的常用三维建模功能拉伸和圆周阵列来完成整个精确渐开线花键模型的建立。这是一种新型的数字化精确建模方法，它不仅仅可在UG软件上应用，也是一种可用于所有CAD三维软件的精确建模方法。

本文作者还就精确渐开线花键模型在设计校核领域的一些常见应用展开了讨论，对一些很难用计算方法校核的情况进行了深入的分析和说明。