孙恩慧，杨 威，汪 巍，李 博，郭敬民

（中海石油（中国）有限公司天津分公司渤海石油研究院，天津 300452）

水平井的产能是确定水平井合理工作制度的重要参数，目前，水平井广泛用来开采底水油藏，如何预测底水油藏水平井产能显得格外重要。很多学者提出了水平井的产能预测公式[1-14]，主要基于单相流体地下稳定渗流理论的基础之上，对于底水油藏，当油井产水后，渗流出现了油水两相流动，产水对水平井产能产生很大的影响，该因素的影响不能忽略。一些学者研究了产水对水平井产能的影响[15-20]，主要依靠油水相对渗透率比与含水饱和度指数式的线性关系，结合Darcy 方程，得到预测底水油藏水平井产能公式，但生产进入高含水期开发阶段，油水相对渗透率比与含水饱和度指数式不再呈线性关系，因此，推导的水平井产量公式不合适预测高含水期的水平井产能。

本文以水平井油水两相的渗流原理为基础，把水平井渗流区域分为水平平面和垂直平面2 个区域，运用保角变换原理，结合高含水期新的油水相渗表征关系，获得高含水期下油水两相水平井产能公式，可为水平井的产能预测及动态分析提供新的研究思路。

1 底水油藏水平井油水两相产能公式的推导及求解

1.1 底水油藏水平井油水两相产能公式的推导

假设一口水平井位于均质、等厚的底水油藏中，流动符合达西定律，油水互不相溶，忽略重力及毛管力的影响。

文献[16，17]中将水平井的渗流区域分成两个区域：（1）流体在水平平面上的椭圆渗流；（2）流体在垂直平面上的径向渗流。再利用水电模拟原理，获得油水两相水平井产能公式。

1.1.1 水平平面渗流区域 假设渗流椭圆长半轴为a，短半轴为b，水平井长度为L，引入儒柯夫斯基变换，把长半轴为a，短半轴为b 的椭圆形区域转化为半径为的圆形区域，将线段转化为单位圆周（见图1）。

图1 水平平面保角变换关系Fig.1 Horizontal plane conformal transformation figure

根据文献[16]，得到水平井在水平平面的产油量为：

式中：Qoh-水平井在水平平面的产油量，m3/s；fw-含水率，%；Kh-储层水平渗透率，mD；h-油藏厚度，m；ψi、ψwf-地层压力和井底流压下的油水两相拟压力函数：ψi=；pi-地层压力，MPa；pwf-井底流压，MPa；Kro-油相渗透率；Krw-水相渗透率；Bo-油的体积系数；Bw-水的体积系数；μo-原油的黏度，mPa·s；μw-水的黏度，mPa·s；a-长半轴的长度，其中；reh-泄油半径，m。

图2 垂直平面保角变换关系Fig.2 Vertical plane conformal transformation figure

根据文献[16]，水平井在垂直平面的产油量为：

式中：Qov-水平井在垂直平面的产油量，m3/s；fw-含水率，%；Kv-储层垂直渗透率，mD；h-油藏厚度，m；ψi、ψwf-地层压力和井底流压下的油水两相拟压力函数；L-水平井长度，m；rw-井筒半径，m。

应用电模拟概念，得到油水两相条件下水平井的产油量为：

转为矿场实际单位：

式中:Qo-水平井产油量，m3/d；β-储层各向异性系数，β=。

公式（4）即为底水油藏油水两相的水平井产能公式。

1.2 产能公式的求解

由式（4）看出，要计算油水两相水平井产能公式，关键是拟压力函数ψi和ψwf的求解。由ψi和ψwf的计算公式dp 可知，假设不考虑Bo（P）的变化，水的各参数变化很小，可以忽略，此时只需要知道Kro、Krw与压力P 的关系式，便可通过数值积分得到ψi和ψwf。

根据理论达西稳态公式有：

水平井进入高含水期，含水饱和度大于0.8 后，传统的油水相对渗透率比与含水饱和度半对数曲线不再呈线性关系（见图3）。

图3 特高含水期相对渗透率比与含水饱和度关系Fig.3 The relation between relative permeability ratio and water saturation in the high water cut stage

笔者对传统的公式修正，定义新的油水相渗表征的公式如下：

式中：Kro-油相的相对渗透率；Krw-水相的相对渗透率；a、b、c-常数。

针对公式（6），令：

根据最小二乘法原理，当且仅当系数a、b、c 能使R 最小，即系数使数据点的误差平方和最小时，它们的值为原方程的解。根据这个原理，可建立如下偏微分方程组：

根据公式（9）求出a、b、c 的值。

把公式（6）代入式（5），得到：

拟压力函数ψi和ψwf求解步骤如下：（1）根据式（10），μw、a、b、c、fw是常量，当压力高于饱和压力时，原油黏度μo与压力P 呈线性关系，进而获得Sw关于压力P 的函数；（2）根据油藏相渗曲线，油水两相的相对渗透率Kro、Krw可以表示为含水饱和度Sw的函数；（3）结合（1）和（2）的计算结果，Kro、Krw表示为压力P 的函数；（4）把Kro（P）、Krw（P）代入拟压力ψi和ψwf的表达式，通过数值积分求出拟压力函数ψi和ψwf。上述求解步骤如下关系链：P→μo（P）→Sw（P）→Kro（P）、Krw（P）→ψ（P）。

2 实际计算与分析

渤海地区BZ 油藏为北东走向背斜构造，构造幅度低，圈闭幅度30 m，油藏储层埋藏浅，海拔深度-950 m～-940 m，岩性较疏松，沉积为曲流河沉积，储层储集空间以原生扩大粒间孔为主，油藏类型为典型的底水油藏，探明地质储量为2 416.84×104m3，油藏平均厚度为10 m，储层平均孔隙度32.7 %，储层平均渗透率2 600 mD，为高孔高渗储层，原始地层压力Pi=9.4 MPa，饱和压力Pb=4.7 MPa，水体能量充足，油藏各向异性系数β=3，原油体积系数Bo=1.058，井筒半径rw=0.1 m，泄油半径reh=500 m，水的黏度μw=0.5 mPa·s，水的体积系数Bw=1.0，油藏采用水平井生产。BZ 油藏于2008 年投产，目前，该油藏共有生产井5 口，综合含水93 %。通过高压物性实验数据，得到不同压力下BZ 油藏的黏度数据（见图4）。

图4 BZ 油藏的μo与P 的关系曲线Fig.4 Relative curve of μoand P of BZ reservoir

从图4 中可知，BZ 油藏的黏度μo与压力P 呈线性关系，即μo=8.22P+72.76。

BZ 油藏相对渗透率曲线（见图5）。由图5 可知，采用二次多项式拟合，相关系数为0.999，准确性较高，分别得到0.274Sw+0.024。

根据公式（10），根据BZ 油藏相对渗透率散点回归出a=-43.6，b=-77.6，c=115.8，采用新的油水相渗表征公式（见图6），此时拟合程度高，为0.976。

把μo的关系式以及a、b、c 的值代入公式（10），得到Sw（P）关于P 的函数关系，即：

把Sw（P）代入Kro、Krw关系式中，可分别得到公式如下：

将上式Kro（P）、Krw（P）以及μo（P）代入公式（4）中，得到如下公式：

上述公式为计算底水油藏油水两相水平井产能公式，通过数值积分方法，可对公式求解。

利用笔者推导的公式对BZ 油藏5 口水平井产能计算，与实际生产数据对比（见表1）。由表1 可以看出，本文公式计算出5 口水平井的产能与实际的产量相对误差最小，仅为6.2 %，利用Borisov 公式、Joshi 公式、Renard-Dupuy 公式、Giger 公式、陈元千公式以及赵春森公式计算出的产量与实际产量的相对误差为-29 %～-9.1 %，这是因为水平井产水后，渗流由单相渗流转为油水两相渗流，含水对水平井产能影响很大，而常规水平井产能公式没有考虑产水对水平井产能的影响，赵春森公式考虑含水对水平井产能影响很大，但采用传统的油水相渗关系，不适用高含水期水平井产能的预测，本文考虑到水平井进入高含水期，随着含水饱和度的增加，油相由连续相变非连续相，导致油水相对渗流能力会发生较大变化，导致此时含水对水平井产能影响很大。因此，本文公式在计算高含水期水平井油水两相产能预测方面具有较高的准确性与实用性。

图5 BZ 油藏的相对渗透率曲线Fig.5 Relative permeability curve of BZ reservoir

图6 新的相渗表征曲线与传统相渗表征曲线对比图Fig.6 Comparison between the new permeability curve and the traditional permeability curve

表1 各种方法计算水平井产量的结果对比Tab.1 Comparison of productivity calculated

3 结论

（1）通过最小二乘法原理，得到高含水期下新的油水相渗表征公式，结合水平井产能预测公式，提出了一种预测高含水期水平井油水两相产能公式的方法。

（2）通过实例分析，与常规的水平井产能公式计算结果相比，利用本文公式计算出结果与水平井实际产量的相对误差最小，仅为6.2 %，对高含水期下水平井的产能预测具有一定的实用性。