■河南省太康县第一高级中学 董珍珍

在高中阶段,由于利用定义法求定积分的过程(四个基本步骤:分割、近似代替、求和、取极限)比较烦琐,所以在实际的计算过程中很少使用。相反地,我们一般利用微积分基本定理来计算求解定积分。

微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的联系——导数与定积分的运算互为逆运算,同时还给我们提供了一个计算定积分的简单有效的方法。

一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x)=f(x),那么=F(b)-F(a),这个结论叫作微积分基本定理,又叫作牛顿—莱布尼茨公式。

如果F'(x)=f(x),则(F(x)+c)'=f(x)(其中c为常数),那么,F(x)+c均为f(x)的原函数,要求定积分,关键是找f(x)的一个原函数F(x),表1就是常用的基本初等函数f(x)和它的一个原函数F(x)。

表1

分析：根据定积分,找到被积函数的原函数,运用微积分基本定理,即可求解。

点评：本题主要考查了运用牛顿-莱布尼茨公式求解定积分的方法,其中解答时根据定积分公式,找出被积函数的原函数,准确计算是解答的关键,着重考查了同学们的运算与求解能力,属于基础题。

分析：通过微积分基本定理计算出a,c的值,通过定积分的几何意义可求出b的值,比较即可得出结果。

点评：本题主要考查利用微积分基本定理和定积分的几何意义来计算定积分的值。

分析：先将被积函数变形,然后根据定积分基本性质和微积分基本定理,计算即可。

点评：计算定积分的步骤：①先将被积函数变形为幂函数、正弦函数等基本初等函数的和、差等形式;②根据定积分的基本性质进行变形;③分别利用求导公式的逆运算,找到相应的原始函数;④利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值,然后求代数之和(差)即可。

例4 若函数f(x)=ln(ex+1)+a x为偶函数,则

分析：由函数f(x)=ln(ex+1)+a x为偶函数,求得,再利用微积分基本定理求解即可。

解：因为f(x)=ln(ex+1)+a x为偶函数,所以f(1)=f(-1),即ln(e+1)+a=解得所以

点评：本题主要考查由已知函数的奇偶性求参数,以及微积分基本定理的应用。已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两种：一是利用：(1)奇函数由f(-x)+f(x)=0恒成立求解,(2)偶函数由f(-x)-f(x)=0恒成立求解;二是利用特殊值：奇函数一般由f(0)=0求解,偶函数一般由f(-1)-f(1)=0求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性。

例5 求曲线y2=2x与直线y=x-4所围成的曲边图形的面积。

分析：先作图,根据图形求出交点坐标,以交点的纵坐标y为积分变量,写出积分。

解：如图1,在y∈[-2,4]上,直线x=y+4在曲线之上,所以曲线y2=2x与直线y=x-4所围成的曲边图形的面积为

图1

点评：根据具体情况,选取适当的积分变量,运用微积分定理进行简便计算。

例6 已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0所围成的平面图形的面积为,求a的值。

分析：先作出y=x2-2x的图像,根据图像分析可知,要将a分成三类讨论围成区域,当a＜0时,,当0＜a≤2时,,当a＞2时,种情况分别求出a的值,其中一个值舍去。

解：作出y=x2-2x的图像,如图2所示。

图2

(1)当a＜0时,,所以(a+1)(a-2)2=0。因为a＜0,所以a=-1。

(2)当0＜a≤2时,所以(a+1)(a-2)2=0。因为a＞0,所以a=2。

(3)当a＞2时解得a=2。因为a＞2,所以不合题意。

综上,a=-1或a=2。

点评：本题主要考查利用微积分基本定理计算定积分,考查分类讨论和数形结合的数学思想方法。由于题目要求围成图形的面积,所以首先要画出图像,看清楚围成的图像是哪一个部分。本题中当a的取值不同时,围成的图像不一样,故分成三种情况分别求解a的值。