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(1.河南科技大学机电工程学院 河南洛阳 471003；2.机械装备河南省协同创新中心 河南洛阳 471003)

本文作者基于气体润滑理论建立球面螺旋槽动静压气体润滑分析数学模型，采用有限差分法与导数积分法相结合，数值求解气膜动态扰动压力分布，数值计算动态特性系数；研究结构参数与运行参数对轴承动态特性系数的影响规律，优化动态特性、减小气膜涡动和振荡，为提高气体轴承运行稳定性提供理论基础。

1 球面螺旋槽气体轴承润滑分析数学模型

1.1 球面螺旋槽气体轴承的几何模型

如图1所示，轴承由定子与转子组成，供气孔加工在定子上，转子上加工有螺旋槽，供气孔的位置与螺旋槽的分布没有相互影响，采用逆切向供气。β是螺旋角；w是轴颈转速；φ是供气切向角；α0是转子小端角度；α1是螺旋槽起始端角度；α2是转子大端角度；ps是小孔供气压力；br是台宽；bg是槽宽；hg是槽区间隙；h0是台域内气膜平均间隙。

图1 球面气体轴承示意图

1.2 润滑分析数学模型

结合气体润滑运动方程、连续性方程、状态方程以及节流孔流量方程为基础，结合牛顿黏性定律和雷诺方程假设[9-10]，在图2所示球面坐标系下，推导切向供气的球面动静压气体轴承非线性动态润滑分析数学模型。

图2 球面坐标系

(1)

(2)

对式(1)进行保角变化[11-12]。取ξ=ln[tan(α/2)]， 将其变形为易于数值计算的雷诺方程形式：

(3)

式中：γ=sin2(2arctaneξ)。

2 气膜动态特性系数的数值计算

2.1 轴承刚度、阻尼系数的推导

在转子稳态位置给一个小扰动，转子偏离静平衡位置作变位运动，气膜力改变，气膜的动特性反映了气膜力的相应变化情况。图3所示是转子在φ、ξ、z方向偏离稳态平衡位置O1在做微小运动时的受力分析。

图3 轴承受力分析

将动态压力分布p在稳态平衡位置附近展开为轴心偏离平衡位置的瞬时位移和瞬时变位速度的泰勒级数(只考虑一阶小项)[11]：

(4)

气膜力对各方向位移与速度的求导得到气膜的刚度和阻尼系数：

(5)

式中：Sj代表某个方向的位移扰动；fe=cosφsin2α(对于Fe)；fθ=sinφsin2α(对于F)，fz=cosαsinα(对于Fz)。

(6)

式中： (i,j)=(e,ε),(θ,θ),(z,ε1)。

(7)

2.2 扰动压力的计算

(8)

对动态控制方程式(8)在位移与速度方向上的扰动变量进行求导，得到扰动压力控制方程。求解域分为小孔区域(连续区域)、非小孔区域(包括连续与不连续区域)。

以求解小孔区域为例，对ε求偏导数，得出关于Pε的扰动压力控制方程为

(9)

求解扰动压力时，须先求解出对应网格点上气膜厚度，由于气膜厚度不连续，气膜厚度方程在台区和槽区要分别计算。

台区量纲一气膜厚度为

H=1-ε1cosα-εsinαcos(φ-θ)

(10)

槽区量纲一气膜厚度为

H=1-ε1cosα-εsinαcos(φ-θ)+Hb

(11)

式中：θ为偏位角；Hb为量纲一槽深；量纲一轴向偏心率ε1=e1/h0，e1为轴向偏心距；量纲一径向偏心率ε=e/h0，e为径向偏心距。

同理，可以推导出气膜连续区域其他扰动压力的控制方程，非连续区域扰动控制方程的推导方法与连续区域的推导方法相同。

(Pε)i,j=

(12)

式中：Ai,j,Bi,j,Ci,j,Di,j,Ei,j,Fi,j是与气膜厚度Hi,j，及稳态气膜压力Pi-1,j,Pi+1,j,Pi,j-1,Pi,j+1有关的系数。

采用VC++编程数值计算轴承的刚度和阻尼系数，气体轴承设计参数如表1所示，计算流程图如图4所示。

表1 气体轴承设计参数

图4 动态刚度与阻尼系数计算流程图

Fig 4 Flow chart of calculation

3 轴承转子系统失稳转速的计算

在动态特性系数的推导中，得出了气膜力和动态刚度与阻尼系数的关系式。假设所研究的轴承转子为刚性转子[16-17]，当转子高速运转时，受到微小扰动，转子将在稳定平衡位置附近作小幅度涡动，结合转子系统动力学平衡方程，可以得到：

(13)

上式其解的一般形式为

(14)

式中：e0、eθ0、z0是各方向上运动的振幅；v是特征值，v=u+iΩj，u为实部，Ωj为虚部；t为时间。将其代入到式(13)中进行求解，可以得到：

(15)

根据劳斯-霍尔维茨线性稳定性准则，转子系统能否在涡动过后重新稳定于某一点，取决于上述线性方程是否存在非零解。所以，转子重新稳定于某一点的条件是线性方程组系数的行列式为0，当特征值的实部u=0时，转子系统处于临界线性失稳状态，此时，Ωj为界限涡动频率，用Ωst表示。

(16)

将行列式(16)展开，可以得到实部与虚部分别为0，代入动态特性系数，利用编程数值求解出keq与Ωst。

将界限涡动刚度量纲一化得到：

(17)

将实部量纲一化可以得到：

(18)

式中：γst为界限涡动比；ωst为线性失稳角速度。

通过代入动态特性系数以及Keq可以求解出界限涡动比γst。

(19)

因此可以得到线性失稳角速度的计算公式，进而得到失稳转速：

(20)

4 数值计算结果及分析

4.1 结构参数、运行参数对轴承动态特性的影响

在转速n=40 000 r/min、供气压力ps=0.3 MPa及表1设计参数条件下，计算分析了槽宽比、槽深比、螺旋角、径向偏心率及相应条件下供气压力、转速等参数对气体轴承气膜动态特性系数的影响规律。

4.1.1 螺旋槽参数对气膜刚度、阻尼系数的影响

图5—7示出了槽宽比、槽深比、螺旋角等螺旋槽参数对气膜刚度、阻尼系数的影响。可以看出，刚度系数随螺旋槽各参数的增加先增大后减小，当槽宽比为0.4左右，槽深比为2左右，螺旋角为70°左右时，刚度系数达到最大值；e向阻尼系数受螺旋槽各参数的影响较弱，其他阻尼系数随螺旋槽各参数的增加先增加后减小，当槽宽比为0.4左右，槽宽比在2附近，螺旋角为70°左右时，阻尼系数达到最大值。因此，螺旋槽的设计参数应选取槽宽比在0.3～0.5之间，槽深比在1.5～2.5之间，螺旋角在60°～80°之间，以保证较大的气膜刚度与阻尼。合适的螺旋槽结构参数有利于增强气体轴承的动压效应，提高气体轴承性能，保证轴承运行稳定性。

图5 槽宽比对动态刚度、阻尼系数的影响

图6 槽深比对动态刚度、阻尼系数的影响

图7 螺旋角对动态刚度、阻尼系数的影响

Fig 7 Influence of sprial angle on the stiffness and damping coefficients

4.1.2 径向偏心率对气膜刚度、阻尼系数的影响

从图8所示的径向偏心率对刚度、阻尼系数的影响规律可以看出，刚度系数随着偏心率的增大而增大，且刚度系数的增大趋势逐渐加快；e向阻尼系数受偏心率的影响较弱，变化趋势很小，θ、z方向阻尼系数随着偏心率的增大而增大，类似地，阻尼系数的增加趋势逐渐加快。动静压气体轴承的刚度、阻尼系数随着偏心率增大而增大，阻尼对涡动能量起消耗作用，为了抑制气膜涡动，提高动静压气体轴承运行稳定性，应采用较大的偏心率下工作。

图8 径向偏心率对刚度、阻尼系数的影响

4.1.3 供气压力对气膜刚度与阻尼系数的影响

从图9所示的供气压力对刚度、阻尼系数的影响规律可以看出，z向刚度系数受供气压力的影响较弱，e、θ向刚度系数随供气压力的增大而增大，其中主刚度系数Kee与交叉刚度系数Keθ增加趋势较快，当供气压力超过0.4 MPa时，各刚度系数的增大趋势变缓；e向阻尼系数受供气压力的影响较弱，其他阻尼系数随着供气压力的增加而逐渐增加，其中主阻尼系数Bθθ、Bzz的增加趋势明显。

总体上，随着供气压力增加，刚度和阻尼系数不断增加，使气膜具有较高动态刚度及阻尼特性，有利于减小涡动，提高气膜的稳定性。但过大的供气压力也会促使气膜振荡产生，易与系统固有振动耦合产生共振，使轴心运动的振动幅度加大，加大了碰磨发生的可能性，可能因此引起轴承失效。由以上分析可知，当供气压力超过0.4 MPa时，刚度系数的增加趋势变缓，综合考虑供气压力在0.4～0.6 MPa之间，可以保证较大气膜刚度及气膜阻尼以及轴承运行安全性。

图9 供气压力对刚度、阻尼系数的影响

4.1.4 转速对动态刚度、阻尼系数的影响

从图10所示的转速对动态刚度、阻尼系数的影响规律可以看出，刚度系数随着转速的逐渐升高而逐渐增大，主刚度系数Kθθ、Kzz与交叉刚度系数Kze、Kθe、Kez增加趋势较快，当转速超过20 000 r/min，刚度系数的变化趋势逐渐加大；e向阻尼系数受转速的影响较弱，其他方向阻尼系数随着转速的增大而迅速减小，阻尼系数Bθθ、Bzθ、Bzz、Bθz的减小的趋势明显。

由轴承转子系统稳定性临界转速分析，在文中采用的结构参数和运行参数条件下，转速在25 000 r/min以后促涡因素加强，出现涡动失稳。此时气膜涡动力大于气膜阻尼，导致线性失稳，出现半频涡动现象。从刚度阻尼的变化规律可以得到气膜的稳定状态取决于刚度与阻尼的综合作用。

图10 转速对动态刚度、阻尼系数的影响

4.2 失稳转速数值分析

采用表1给定参数并对相应参数进行变化分析供气压力、径向偏心率对失稳转速的影响规律。从图11所示的供气压力、径向偏心率对失稳转速的影响规律可以看出，随着供气压力的上升，失稳转速增加；供气压力大于0.4 MPa，失稳转速增幅变缓，供气压力超过0.6 MPa时，失稳转速基本保持不变。提高供气压力，有利于消除涡动，可以提高转子临界失稳转速，改善转子运行稳定性，但较大的供气压力也会引起自激振动现象，进而导致轴承失效。因此，在保证较高的失稳转速条件下，选取尽可能小的供气压力，会更有利于运行的稳定。在文中给定参数条件下，供气压力选取应在0.4～0.6 MPa是较为合理的。

失稳临界转速随着径向偏心率的增加而增加，增幅逐渐变小，当偏心率大于0.4时，失稳转速逐渐趋近于不变。大偏心轴承具有良好的稳定性，但过大的偏心率要求加工精度很高、安装和调试困难，因此，在文中给定参数条件下，径向偏心率应选取在0.4～0.6。

图11 供气压力、径向偏心率对失稳转速的影响规律

5 结论

(1)气膜的稳定性取决于气膜的刚度与阻尼的综合作用。对于动静压混合气体轴承，提高供气压力，增大偏心率，选取合理的结构参数，有利于优化动态特性系数，抑制涡动，提高转子涡动失稳临界转速，改善轴承转子系统稳定性。

(2)随各结构参数(槽宽比、槽深比、螺旋角、偏心率)的增大，轴承刚度系数总体上先增大后减小；随着偏心率、供气压力、转速的增大而增大，各刚度系数的增长趋势不同。值得注意的是，z向刚度系数受供气压力的影响较弱，当供气压力超过0.4 MPa时，各向刚度系数的增长均有减缓；当转速超过20 000 r/min，刚度系数的变化趋势逐渐加大。e向各阻尼系数受各参数的影响较弱，其他各阻尼系数随螺旋槽各参数的增大先增大后减小，随着偏心率、供气压力的增大而增大，随着转速的增大而迅速减小。

(3)对于文中给定参数的气体轴承，取供气压力在0.4～0.6 MPa，径向偏心率在0.4～0.6，可以保证轴承气膜有较大的刚度与阻尼，同时也具有较好的运行稳定性。