(江南大学 轻工过程先进控制教育部重点实验室，江苏 无锡 214122)

永磁同步电机(PMSM)具有结构简单、功率密度高和高效节能等优点，在工业制造[1]、国防军事[2]、电动汽车[3]、航空航天[4]、船舶工业[5]等领域具有良好的应用前景。高性能的PMSM调速系统一般都需要获得准确的电机转子速度和位置信息，可以通过加入机械传感器直接获取，但是由于传感器的安装，导致电机驱动系统的成本增加、可靠性降低和体积增大，使得PMSM的使用范围受到了限制，一些特殊场合无法使用，因此电机的无位置传感器控制方法受到学者们的广泛关注[6-9]。

对于永磁同步电机控制系统，可从两方面对电机转子速度和位置信息进行估算。一是以电动机为控制对象，利用电动机本身的各种可测量物理量，来估算转子速度和位置的策略，其代表性方法有基波反电动势检测法[10]、定子磁链估算法[11]、高频信号注入法[12-13]等。文献[10]采用基波反电动势检测法，利用绕组反电动势与永磁转子速度的相互关系进行估算，其原理简单、设计方便，但在低速时容易失效。文献[12]采用高频信号注入法，通过注入特定形式的高频电流，从而获得出线端的负序电流，来估算转子的位置信息。该方法优点在于调速范围宽，但对于电机的凸极效应过于敏感，且对于高频信号的要求过于苛刻，增加了设计难度。另一面是将转子速度和位置看成一个状态变量，利用控制理论的各种方法进行的转子速度和位置估算策略，其主要方法是状态观测器法[14-15]。状态观测法不仅具有动态性能好、稳定性高的特点，而且状态观测器是一个在物理上易于实现的动态系统，它利用待观测的系统可以量测得到的输入和输出信息来估算待观测系统的状态变量，以便用该组状态变量的估计值来代替待观测系统的真实状态变量进行状态反馈设计，对系统参数依赖性相对不高。

LPV方法是将非线性系统近似线性化的一种有效方法，通过在凸集内求解Lyapunov稳定性条件，能实现参数变化时的全局鲁棒稳定性。本文结合LPV线性化方法，首先获得永磁同步电机LPV数学模型，并以Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式为基础，获得闭环系统的稳定性条件，然后借助奇异值分解，求取永磁同步电机的LPV观测器反馈增益，设计LPV观测器，实现电机的速度跟踪控制，仿真结果表明，该观测器能够快速准确地跟踪上电机转速。

1 永磁同步电机数学模型

1.1 永磁同步电机传统数学模型

永磁同步电机在旋转d-q参考坐标系下定子电压和定子磁链方程为

(1)

式中，ud、uq分别为d轴、q轴的定子电压；id、iq分别为d轴、q轴的电枢电流；Ld、Lq分别为d轴、q轴的电枢电感；ψd、ψq分别为d轴、q轴的定子磁链；Rs为定子相电阻；ψf为永磁体磁链；ω为电机电角速度，有ω=pωe，其中p为电机极对数，ωe为电机转子角速度。

由式(1)可以得出：

(2)

永磁同步电机在旋转d-q参考坐标系下电磁转矩方程为

Te=1.5p[(Ld-Lq)id+ψf]iq

(3)

永磁同步电机的转子动力学方程为

(4)

式中，Te为电机的电磁转矩；TL为电机的负载转矩；B为电机的阻尼系数；J为电机的转动惯量。

综上可得，永磁同步电机在d-q参考坐标系内的数学模型方程为[16]

(5)

1.2 永磁同步电机LPV数学模型

选取转子角速度ω为调度变量，选取状态变量x=[id,iq,ω]T，控制输入u=[ud,uq,TL]T，在表贴式永磁同步电机中Ld=Lq，则永磁同步电机的LPV凸多胞形模型可以表示为

(6)

其中，

如果转子角速度ω的取值范围已知，且ω∈[ωmin,ωmax]，满足ω=ρ1ωmin+ρ2ωmax，其中ρ1,ρ2为权重比系数，且满足ρ1,ρ2∈[0,1]，ρ1+ρ2=1，则以调度变量ω的取值边界为LPV凸多胞形顶点的PMSM的LPV模型可写为

(7)

其中，

2 LPV观测器设计

考虑以下LPV系统：

(8)

式中，u∈Rm和y∈Rn分别为系统的控制输入和控制输出；θ为调度变量；A(θ)、B(θ)、C(θ)、D(θ)均为系统矩阵。

假定系统矩阵均在凸集Ω内变化，即：

[A(θ),B(θ)]∈Ω=Co{[A1,B1],[A2,B2],…,[Ak,Bk]},k≥0

(9)

当系统状态量不可直接获取时，可以选择以下形式的状态观测器估计其状态向量：

(10)

图1为状态观测器结构框图，利用原系矩阵A(θ)、B、C，实现对系统状态信息的重构，并通过增益矩阵L(θ)调节输出误差，使得观测系统与原系统的逐步逼近。

图1 状态观测器结构框图

根据式(8)和式(10)，则系统的状态误差的动态方程可以描述为

(11)

因此，观测器的设计问题可以转化为一个寻找能够使系统(11)鲁棒渐进稳定收敛于零的参数L(θ)的问题。

定理1 对于给定的正可调参数γ∈R，如果存在对称的正定矩阵P(θ)、矩阵Y(θ)以及单位矩阵I∈Rs×s和一个正定因子ε∈R，满足下列不等式条件[17-18]：

P(θ)=PT(θ)，ε>0

(12)

(13)

其中,

Π(θ)=P(θ)A(θ)+AT(θ)P(θ)-Y(θ)C-CTY(θ)+εγI

则设计的LPV观测器能够确保观测矩阵A(θ)-L(θ)C稳定，同时具有较快的估计速度和估计精度。其中，* 表示矩阵对称，从而得到LPV观测器增益为

L(θ)=P-1(θ)Y(θ)

(14)

证明:根据式(10)中状态误差表达式，结合式(8)，并对其求导可得：

=[A(θ)-L(θ)C]ex

(15)

考虑误差扰动φ，式(15)可重写为

(16)

(17)

将式(16)带入式(17)，有：

(18)

引理1[19]如果存在适维矩阵M、N和不确定矩阵F，以及正定标量ε，且对于F有FFT≤I，则

(MFN)T+MFN≤ε-1MMT+εNTN

(19)

令φ=γex，γ是正可调参数，使用引理1，不等式

(20)

等价于：

(21)

其中ε>0。

则只要：

AT(θ)P(θ)-CΤLΤ(θ)P(θ)+P(θ)A(θ)-
P(θ)L(θ)C+ε-1P2(θ)+εγI<0

(22)

3 仿真分析

针对永磁同步电机数学模型，设计LPV观测器，其观测器模型为

(23)

以永磁同步电机转速范围边界为工作点的观测器LPV顶点模型为

(24)

式中，L1、L2分别为凸多胞顶点ω=ωmin和ω=ωmax处的观测器反馈增益矩阵，ρ1、ρ2表达式为

永磁同步电机参数表如表1所示，根据表1参数，带入式(24)，利用定理1中的不等式条件式(12)和式(13)，分别求得电机工作在ωmin=-1000 r/min和ωmax=1000 r/min处的反馈增益矩阵：

表1 永磁同步电机参数设置

仿真选取期望转速n=1000 r/min，在t=0.25 s时跳变为n=-1000 r/min，负载转矩初始值为1 N·m，在t=0.1 s时跳变为4 N·m，仿真时长0.4 s，并在工作点处设计线性观测器进行比较，对两种方法观测到的跟踪曲线进行比较分析。其仿真系统框图如图2所示。

图2 仿真系统框图

图3、图4分别为所设计无LPV结构的线性观测器的转速跟踪曲线和误差曲线，图5、图6分别为LPV观测器的转速跟踪曲线和误差曲线。

图3 无LPV结构观测器转速跟踪曲线

图4 无LPV结构观测器转速跟踪误差曲线

图5 LPV观测器转速跟踪曲线

图6 LPV观测器转速跟踪误差曲线

由图3、图4可以看出，无LPV结构的观测器在负载扰动变化时，观测转速误差峰峰值在4 r/min左右，转速变化时转速误差峰峰值可达10 r/min以上，能较为准确地观测出电机转速信息，且恢复稳定时间较长。由图5、图6可以看出，所设计LPV观测器观测到的转速在负载扰动变化时转速误差峰峰值仅在1 r/min，转速变化时转速误差峰峰值在4 r/min以内，不仅观测误差小，而且在负载变化和转速变化时也能快速跟踪上实际转速，且超调小。通过图7两种方法的观测误差比较，更能直观地看出所设计LPV观测器在t=0.1 s转矩变化和t=0.25 s转速变化时依然保持对转速的高精度跟踪，且调节时间短，达到设计要求。

图7 转速跟踪误差对比曲线

4 结束语

针对永磁同步电机无速度传感器矢量控制，提出了一种基于LPV结构的转速观测器设计方法。所提出的基于LPV模型的观测器相对于传统观测器而言，有效解决了系统参数不确定性问题，提高了抗负载扰动能力，且通过仿真结果表明，该观测器在负载扰动变化、转速变化时依然能保持系统鲁棒性，可快速、准确地观测出系统转速信息。