王恩泽

(山东省淄博第一中学 255200)

在高中物理的学习过程中，我们碰到的题目往往是恒定条件问题，恒定条件问题占据了高中问题的绝大部分，即使部分题目出现变化条件往往也是多个恒定条件问题的组合.真正全程变化条件的题目较为少见，一旦出现也势必作为压轴题目困扰了很多同学.从高中物理解题条件的角度，高中物理问题可以被分为两个层次，恒定条件问题和变化条件问题.高中物理知识的设置是由力到能量，再由能量到动量.很多同学可以熟练掌握力学知识，但是涉及能量的问题就会感到棘手，如果涉及动量问题则会使大部分同学不知所措.从知识难度角度可以将高中物理问题分为三个层次，力学问题、能量问题和动量问题.如果一个题目中既涉及最难的动量知识又涉及很少见的变化条件，那么这类题目往往是整套试卷的压轴题目.本文将介绍微积分思想求解变化条件问题的方法并将其运用到动量题目中去，解决一些特定的压轴题目.

一、高中物理中的微积分思想

在研究一个运动过程时，有些条件时刻在变化，为了方便计算，我们可以将整个过程细分形成很多个相互联系的部分，类似于编程中的递归算法，将过程简化进行计算.这种处理问题的思想就是微积分思想.微积分思想在中国古代著作就有所体现，例如在庄周的著作《庄子·天下篇》中提到的“一尺之锤,日取其半,万事不竭”.到了十七世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地发明了微积分，之后作为数学工具被广泛的学习和使用.微积分思想不只是数学知识，并不仅仅存在于数学课本中，在物理课本中也有体现.在人教版教材必修一第二章《匀变速直线运动的研究》中的第三节《匀变速直线运动的位移与时间的关系》中，我们利用图象法求解匀变速直线运动的位移过程中就利用了微积分思想.我们首先接触的是匀速直线运动v-t图象，课本中写出了位移公式，然后画出v-t图象写出矩形面积也是vt，发现位移大小和面积大小相等，由此得出结论“对于匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图象下面的面积”.接下来在匀变速直线运动讨论中，画出匀变速直线运动的图象，发现匀速直线运动的图象与横轴围成的面积是梯形，不同于匀速直线运动图象中的矩形.课本中将大面积细分成小份，每一小份是一个小梯形，和矩形仍有差距.但是当份数足够多，小梯形和小矩形近似相等.这个近似相等是有充分理由的.当每一小份的时间足够小的时候，可以将每一小份的时间看成趋于零，这一份中速度变化量趋于零，匀变速直线运动也就可以看成匀速直线运动.从而小梯形近似看成小矩形.再结合初始我们从匀速运动图象中得到的经验，我们可以用匀变速直线运动中一小份的面积大小来计算这一小段时间内的位移大小.

另外，面积具有可加性，位移也具有可加性.小面积相加得到图象的总面积，小位移相加得到整个过程的总位移.小面积相加结果将对应小位移相加结果，由此就可以通过总面积算出整个过程的总位移.

以上求解匀变速直线运动位移的过程充分体现了物理学对微积分思想的运用，特别是用其处理变化条件问题.简要概括其核心步骤，首先将整个过程拆分，取极限情况，在每一个小份中将问题视为恒定条件.在这种极限恒定条件下，可以运用平时的解题经验算出这种极限情况下的结果.这种将整体拆分的过程，本质就是微分过程.之后，将所有小份内的结果累加，得到宏观整体结果.这种将小份累加的过程，本质就是积分过程.整个解题过程就是微积分过程.

二、变化条件动量定理问题

1.求电量

例1直流电动机是一种使用直流电流的动力装置，是根据通电线圈在磁场中受到安培力的原理制成的.如图1所示是一台最简单的直流电动机模型示意图，固定部分(定子)装了一对磁极，旋转部分(转子)装设圆柱形铁芯，将abcd矩形导线框固定在转子铁芯上，能与转子一起绕轴OO′转动.线框与铁芯是绝缘的，线框通过换向器与直流电源连接.定子与转子之间的空隙很小，可认为磁场沿径向分布，线框无论转到什么位置，它的平面都跟磁感线平行，如图2所示(侧面图).已知ab、cd杆的质量均为M、长度均为L，其它部分质量不计，线框总电阻为R.电源电动势为E，内阻不计.当闭合开关S，线框由静止开始在磁场中转动，线框所处位置的磁感应强度大小均为B.忽略一切阻力与摩擦.

求：闭合开关后，线框由静止开始到转动速度达到稳定的过程中，电动机产生的内能Q内.

解线框从静止到稳定转动的过程中，其速度一直在变化，不能利用恒定电流公式求解内能.对于这类变化条件问题，从能量守恒的角度可以写出一个式子，设在这个过程中通过杆横截面的电量为Q，稳定时两杆的速度为vm′，

其中EQ是电源提供的全部能量，它来源于电动势的定义.

开关闭合后，电源提供能量使线框中产生电流，线框受到安培力作用开始加速旋转，旋转的线框切割磁感线又产生感应电动势，感应电动势与电源电动势方向相反，当二者相等时，线框中没有电流不再受安培力，转速达到最大并稳定下来.稳定时，电源电动势等于感应电动势，

E= 2BLvm′

将这个式子与前面式子联立，可以看出如果能够求解这一过程中传输的电荷量Q，就可以算出内能.但是，由于线圈中电流一直在变化，不能用恒定电流求解电量的方法直接求解.对于这类变化条件问题，根据微积分思想，首先将全过程分成很多份小时段，在很短的时间Δt内可认为电流不变.但是，电流的大小并不容易求出，需要借助其他条件来引入电流这个物理量.而在线圈转动这个过程中，能够和电流联系起来的物理量即安培力BIL，在安培力的作用下，线框的动量发生变化，根据动量定理，以ab为研究对象得到

BILΔt=ΔMv

其中BLIΔt=BLΔq，由此得到了一小份时间段内传输的电量.根据微积分思想解题方法，最后宏观结果源于所有微观极限的累加，对整个过程求和，得到

BLQ=Mvm′

与能量守恒式子联立求得

2.求位移

例2在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动.若两平行金属板水平放置，电场强度E与磁感应强度B相互垂直，在上极板中间开一小孔，如图3所示.将粒子源产生的离子束中速度为0的离子，从上极板小孔处释放，离子恰好能到达下极板.已知离子质量为m，电荷量为+e.不计离子重力以及离子间的相互作用力.求离子到达下极板时的速度大小v，以及两极板间的距离d.

解离子恰好到达下极板说明离子到达下极板时的速度方向为水平方向.根据动能定理可以求得到达下极板的速度v，

这个式子中具有d和v两个未知量，还缺少一个方程来求解.

能量式子已经使用，接下来应该着眼于动量式子或运动学式子.从动量的角度，离子初始在水平方向速度为零，但是在后期具有水平方向速度，这是水平方向的洛伦兹力分量造成的，竖直方向的洛伦兹力和电场力均不能改变水平方向的速度.由于在运动过程中速度的大小和方向一直在变化，对于这类变化条件问题应该选取某一个极小时间段并将这段时间内的物理量视为恒量来讨论.设某时刻离子竖直方向速度为vy，水平方向的洛伦兹力分量为evyB.在很短时间内，在水平方向受到的冲量为evyBΔt，这一时段动量定理可以写成

evyBΔt=Δmv

而与此同时，离子在竖直方向通过的距离为

Δd=vyΔt

按照微积分思想，在得到了极限小份内的结果后，整体的宏观结果可以通过将小份结果相加得到.下面对整个运动过程求和.在水平方向上，

∑evyBΔt=mv

在竖直方向，

∑vyΔt=d

将∑vyΔt代入水平方向方程中得到

eBd=mv

又得到一个d和v的方程，和能量式子联立即可求得结果，得

变化条件动量定理问题这个高中物理最难的问题，可以借助微积分思想先将其转变为恒定条件问题处理来降低难度，然后再结合洛伦兹力和安培力的各种形式，引入电流或速度物理量，再借助电流或速度与时间结合形成电量或位移，求出小份时间内的结果，最后利用微积分思想中的整合思想，得到整个过程的电量或位移.这类题目看似复杂，但是一旦掌握了微积分思想后，解题思路固定，反倒是比较容易得分的题目.能否得分的核心即在微积分思想的运用.