摘 要：关于多面体外接球的表面积、体积的计算问题成为这几年高考题型中的一个热点和难点问题，也是很多考生最为头疼的问题，往往感到无从下手。而解决这一问题的难点就在于正确找出球心，算出球的半径。本文通过对近年高考试题的大量研究，以及连续多年高三一线的教学经验，就这一问题总结一些自己的经验，希望能使广大在高三苦战的莘莘学子拨云见日。

关键词：多面体外接球;解法策略;计算问题

一、 规则多面体外接球半径的计算方法

（一） 长方体的外接球问题

由于长方体是一个规则几何体，并且各个面都是中心对称图形，所以它的八个顶点在球面上关于球心中心对称，所以它的外接球的直径就是长方体的体对角线，其公式为2R=a2+b2+c2（R为外接球半径，a，b，c为长方体的长、宽、高）。

例：（2017天津，文11）已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 。

（二） 可补成长方体的多面体外接球问题

这类问题必然有三条侧棱互相垂直。这时就可以直接用补体法，补成长方体，然后转化为长方体的外接球问题解决就行。

例：如图，四边形ABCD是边长为23的正方形（图1），点E，F分别为BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P（图2），若四面体PAEF的四个顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）

分析：因为本题有三个直角B、C、D重合于点P，所以在同一点处有三条两两垂直的直线，这为构造长方体提供了有利的条件，这时，可以将图形转化成图3。

（三） 正棱锥的外接球问题

因为正棱锥的顶点在底面上的摄影正好是底面正多边形的中心，所以正棱锥的外接球的球心在它的高线上。这样基本就确定了球心的位置，再设球心，运用勾股定理就能算出球的半径。

（四） 棱柱的外接球问题

由于球的对称性，棱柱的外接球的球心必然是和棱柱的两个底面都平行，且和两个底面距离都相等的大圆圆心。然后结合底面图形的特点就能求出外接球的半径。

（五） 可以建立空间直角坐标系的问题

这是这类问题的代数解法，其基本的解题思路是：建系，设球心，列等式（多应用勾股定理或两点间的距离公式），计算。这种做法思路简单，但往往运算量比较大。

二、 不规则多面体外接球半径的计算方法

解决这类问题的关键在充分研究多面体，尽量能求出各棱长以及个别面之间的关系，如垂直等。

（一） 球心在该多面体的某一条棱上的

这种题一般是这个多面体有一条棱最长，且它所對的角是直角。通过验证其中点到各个顶点的距离相等就可以了。

例：已知三棱锥A-BCD中，AC=AD=2，BD=2，BC⊥BD，∠BDC=π3，则此三棱锥外接球的表面积为。

（二） 球心不在该多面体的任何面或棱上，但球心、小圆圆心能构成平行四边形或矩形

它是这类问题中最难，最让人头疼的。解决它的关键是通过棱的关系推出面的关系，尤其是垂直关系或夹角为30°、45°、60°最好。

例：已知一个四面体的一条边长为6，其余边长均为2，则此四面体的外接圆的半径为（）

分析：本题的关键是由边的关系，得出面ACD与面DBC垂直，球心在△DBC中心正上方，与△DBC中心，BC的中点构成矩形（平行四边形）。

（三） 涉及最值的问题

例：（2015年高考全国卷Ⅱ，9）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点。若三棱锥O—ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）

A. 36π

B. 64π

C. 144π

D. 256π

分析：本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键。

解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，V=13×12×R2×R=36。

得出R=6，所以S=4πR2=144π。

例：（2018年全国卷Ⅲ理）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为（）

A. 123

B. 183

C. 243

D. 543

这类问题的关键是高是多少时，体积最大。如本题中当高为球的半径加球心到△ABC的距离时，体积最大。

作为数学教师，要立足方法育人，作为学生学习数学更要讲方法，解一道题不是能力，应该通过解题培养自己的空间想象能力和识图能力等数学基本素养，以达到由点到面、逐渐辐射的学习模式，达到触类旁通的目的。以上是本人对多面体外接球的表面积、体积的计算问题的一点经验，总结如上，希望对各位学子在以后的学习和高考中有所帮助。

作者简介：

郭喜宏，甘肃省平凉市，甘肃省平凉市灵台县第一中学。