于海英 于慧春

周末一大早，睡意被学生的短信赶跑了：

此题并不难，躲在被窝里，我就快速地把解题方法发了过去。

1÷（ ）=1÷ =5，5-1=4（次）

短信被秒回了。

（相同的时间，路程和速度成正比例，相遇一次时两人所跑的路程之比是2：3，即分别跑了环形跑道的 、 ，相遇第一次甲跑的路程比乙跑少跑跑道的 ，如果要再次在A点相遇，甲要比乙少跑1圈。）

方法有问题？爸爸也说服不了？我睡意全无，快速起床。解决这类多次相遇问题，最快速的方法应该是柳卡图。用横轴表示时间，纵轴表示路程（如下图），从图上能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”。

但是，孩子从来没有接触过，理解起来会比较困难。

怎样才能让孩子简单易懂？我想到了几何直观！它是一种常用的数学方法，又是一个重要的数学思想。通过图形可以帮助我们发现、描述题意，可以帮助我们寻求解决问题的思路，也可以帮助我们理解和记忆得到的结果。

棋棋，我想了一种很好理解的方法，你看一看：

孩子提出的问题，如此的有深度，我不敢贸然作答。她给甲乙两人速度重新赋值，竟然发现路程差的圈数不都是1圈，由此得出这种方法的特定性、偶然性！我为孩子的这种解题策略点赞！赋值法是解答数学问题的常用方法，它体现了一般到特殊的转化思想。在此题中，巧妙合理地对甲乙速度赋予确定的特殊值，是一种简洁有效的方法。

就此题而言，环形跑道，原点相遇，从上面的图可以直观地看到，最后甲乙回到原点，甲跑3圈，乙跑2圈。“甲要比乙多跑一圈”，路程差為1，所以用1÷（  - ）=5。如甲乙速度为3和5，按上面的想法，路程数为8，则甲要走3圈，乙要走5圈，才能回到原点相遇。所以路程差为2圈，2÷（ - ）=8;再如：甲乙速度为11和13，则最后原点相遇，甲乙路程比为11：13，也就是说甲要走11圈，乙要走13圈。也应该用 2÷（ -  ）=2

那有没有相差圈数为3、为4呢？有的，如甲乙速度为1和4，则甲要走1圈，乙要走4圈，才能回到原点相遇，这时路程差就为3圈了。

棋棋把速度比化简、互质后然后相加就是相遇次数。这种方法简单易行。（关于这个想法，要找它的理论依据，我请教过好多，资深的老师都没有给予我满意的答复，今天再次观看前面的圆形图，我突然领悟。） 从上面的算式，我们发现，如果甲乙要在原点相遇，则速度比转化为路程比。如速度比为2：8，其路程比为1：4，则回到原点，甲走1圈，乙走4圈，两人合起来要走5圈。我们可以发现，每合走1圈，就相遇1次，所以合走5圈，就相遇5次。

这一次解题交流，让我不得不为孩子的思维点赞！无长无少，道之所存，师之所存也！古有“一字之师”，今有“一题之师”。