李平

摘 要：在解决数学问题的过程中，经过会遇到不止一个字母或变量的情况，这样的题目很多时候会让我们觉得无从下手。那么应该从何处入手，能否找到一种行之有效的方法去处理和解决这一类问题呢？下面就介绍“主元法”，对这一类问题进行浅析。

关键词：主元；变量；降幂排列

何为“主元法”？所谓“主元”，顾名思义，当出现的变量或字母个数多于1个时，选取其中一个作为主要的、真正的变量或字母，其余的字母或变量都看作常数，这就是“主元法”。正确使用主元法，能达到减元的目的，使问题化繁为简。下面，通过几个例题对此法进行浅析。

一、用“主元法”找函数的定点

例1 已知一次函数 恒过一定点，则这个定点坐标是__________

分析：我们已经习惯把 看作自变量，这里，我们变换角度，把 看成自变量， 看作常量，通过变形得： ，容易看出，当 时，无论 取何值， 的值都为3。因此，这个定点坐标就是（1，3）

二、用“主元法”分解因式

例2 分解因式：（1）

（2）

分析：这两个题的共同特点都是字母多，我们可以尝试用“主元法”。

（3）把 看作主元，按照 的降幂排列

原式

（2） 把 看作主元，按照 的降幂排列

原式

三、用“主元法”求代数式的最值

例3 实数 满足 ， ，则 的最大值是______

分析：由 ，得 ，代入 ，消去 并整理成以 为主元的二次方程 ，因为 为实数，所以判别式 .

即 ，整理得 ，

解得： ，所以 的最大值是

例4 已知 是非负实数，并且满足 ， ，

设 ， 为 的最小值， 为 的最小值，则

分析：将 作为主元，由已知可求得 ， ，因为

都是非负数，即： ， ， ，所以 且 且 ，解得： 。由 ，得 ，所以 ， ，

四、利用主元法解特殊方程或求值

例5 已知关于 的方程 ，求 的值.

解： 将方程 看作是以 为主元， 为常数的

一元二次方程.

又 ，解得

当 时，代入原方程x2-4x+y2-2y+5=0得：

解得：

五、利用主元法解高次方程

例6 解方程：

解 将方程 看作是以 为主元，

为常数的一元二次方程，整理得：

解得：

即 或

總结：

对于“主元法”的运用，前提是出现1个以上的字母或变量，当选定某一个字母或变量作为主元后，其余的字母或变量就自然成为辅元（这里可以看成常数），这时，需要将式子以选定的主元重新合并，一般是按这个主元的降幂排列。主元法的目的是为了降元或降次，使我们从另一个角度去看问题，也许会更加明了。

参考文献

[1] 黄东坡《八年级数学培优竞赛新方法》[M]湖北人民出版社 2016年6月

[2] 黄东坡《九年级数学培优竞赛新方法》[M]湖北人民出版社 2016年6月

[3] 《超级课堂八年级数学》《培优竞赛》 [M]华中师范大学出版社 2017年6月

[4] 《超级课堂九年级数学》《培优竞赛》 [M]华中师范大学出版社 2017年6月

[5] 《九年级奥数教程》[M]华东师范大学出版社 2018年6月