余珮琳　崔瑶　程培*

摘    要：基于离散时间状态观测，研究混杂随机系统的几乎必然指数镇定.在扩散项和漂移项中同时加入反馈控制器，通过选取适当的Lyapunov函数，利用Markov链的平稳分布和稳定性分析的方法，得到混杂随机系统的几乎必然指数镇定，再通过含有线性反馈控制器系统的稳定性来说明所得结果的可行性.

关键词：混杂随机系统;离散时间观测;Lyapunov函数;几乎必然指数镇定;p阶矩指数稳定

中图分类号：O231                  DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2019.02.017

0 引言

随机系统，是一类受随机因素作用的时间过程的数学模型.由于实际系统中不可避免的存在随机因素，且很多实际系统也无法避免它的影响.因此在很多领域及工程实际应用中，随机系统得到广泛的应用，随机系统的理论也得到学者广泛关注[1-2].其中重要的一类是混杂随机微分方程，也被称为带有Markov切换的随机微分方程.

近年来，越来越多的学者研究了混杂随机系统的镇定性[3-5]，但是大多数学者研究的是其p阶矩指数镇定和均方指数镇定[6-9].考虑到连续时间观测费时费力，所以研究者通常采取对系统进行离散时间观测的方法.而反馈控制依赖离散时间观测值导致控制系统成为一个特殊的混杂随机微分方程.在公开的文献资料中，研究这类离散时间状态反馈控制的文献非常少，文献[10]中毛学荣老师首次对这方面开展相关研究.该研究基于离散时间观测，考虑加入混杂随机微分方程漂移项的状态反馈控制函数[u（x（t/τ）τ，  r（t） ，  t）]，使得系统达到均方指数镇定.文献[11]在此基础上做了改进，使得系统的镇定估计更加准确.后来又有一些学者在此基础上研究了系统的几乎必然指数镇定，如文献[12]研究了混杂随机系统的几乎必然指数镇定和不镇定.文献[13-14]利用M-矩阵的相关性质研究混杂随机系统的幾乎必然指数镇定.

本文将继续研究随机混杂随机系统的几乎必然指数镇定，不同于文献[13-14]的是本文运用Markov切换的平稳分布，利用Borel-Cantelli’s引理、Chebyshev’s不等式等随机分析技巧，得到系统几乎必然指数镇定的条件，即[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0]，很显然本文得到的条件保守性更小.最后通过含有线性反馈控制器系统的稳定性来说明所得结果的可行性.

1 准备知识

本文采用以下记号：记[（Ω， F， Ftt≥0， P）]为含有满足通常条件的代数流[Ftt≥0]的完备概率空间.令[B（t）=（B1（t）， B2（t）， …， Bm（t））T]为定义在该空间上的m维布朗运动.对于[x∈ℝn]，[x]表示其欧几里得范数.令[r（t）（t≥0）]为定义在概率空间上取值于有限状态空间[S=（1， 2， …， N）]的右连续Markov链，满足

[Ρr（t+δ）=jr（t）=i=γijδ+o（δ） ，        if  i≠j，1+γiiδ+o（δ） ， if  i=j.]

其中，[δ>0]且[γii=-Σj≠iγij]，[o（δ）]为无穷小量，[γij≥0]表示从[i]到[j]的转移概率.记[Γ=（γij）N×N]，[Γ]是一个[N×N]的常数转移矩阵.假定Markov链[r（⋅）]是不可约的.[π=（π1 ， π2 ， …， πm）∈ℝ1×N]为平稳分布.另外，对[j∈S]，当[πj>0]及[∑πj>0]，有[π Γ=0].

在[t≥0]上，考虑以下闭环系统

[dx（t）=f（x（t） ，  r（t） ，  t）dt+u（x（[tτ]τ） ，  r（[tτ]τ） ，  t）dB（t）].          （1）

[x0∈ℝn]为系统（1）的初始状态，[x（t;t0，x0）]为系统（1）的唯一解.[f：ℝn×S→ℝn]，[u：  ℝn×S→ℝn×m].当[τ→0]时，上述系统（1）转变成以下相关的混杂随机系统

[dy（t）=f（y（t） ，  r（t）， t）dt+u（y（t） ，  r（t）， t）dB（t）].                  （2）

[y0∈ℝn]为系统（2）的初始状态，[y（t ;  t0 ，  x0）]为系统（2）的唯一解.

对于随机混杂系统（1）假设以下条件都成立.

假设1.1  存在正常数[K1]和[K2]，[∀（x ，  y ，  i）∈ℝn×ℝn×S]，使得：

[f（x， i， t）-f（y， i， t）≤K1x-y]， [u（x， i， t）-u（y， i， t）≤K2x-y].

假设1.2  存在常数[αi∈ℝ，ρi≥0]和[σi≥0]，使得：

[xTf（x， i， t）≤αix2]， [u（x， i， t）≤ρix]， [xTu（x， i， t）≥σix2]，

[∀i∈S，∀x∈ℝn].令[α=maxi∈Sαi]，[ρ=maxi∈Sρi].

假设1.3  对于假设1.2中的常数[αi]，[ρi]，[σi] 及平稳分布[πi]，有以下式子成立

[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0].

定义1.1  若对[∀x∈ℝn]，都有

[limt→∞sup（1/t）logx（t; t0， x0）<0， a.s].

则称方程（1）的解几乎必然指数稳定.

2 主要结果

在证明主要定理之前，先给出以下引理.

引理2.1[2]  对于线性方程

[Γc=η]，                                   （3）

其中[c、η∈ℝm]，[Γ]是一个[n×n]的常数转移矩阵，有以下结论成立：

1）当且仅当[πη=0]时，方程（3）有解，其中[π]是关于[Γ]的平稳分布;

2）记[Im]是所有元素均为1的m维列向量，假设[c]与[c]是方程（3）的两个解，则[c-c=γ0Im，∀γ0∈ℝ];

3）[c=γ0Im+h0]为方程（3）的任意解，[γ0∈ℝ]且[h0∈ℝm]是方程（3）满足[πh0=0]的唯一解.

引理2.2   由引理2.1知方程[Γc=v+βIm]有解[c=（c1， c2， …， cm）∈ℝm]， 其中，[v=（v1， v2， …， vm）T∈ℝm]，[β=-πv].

证  定义列向量[v=（v1， v2， …， vm）T∈ℝm]，其中[vi=αi+12ρ2i-σ2i]，

令[β=-πv]，則[β=-Σi=1mπi（αi+12ρ2i-σ2i）>0].证毕.

令[cmin=min{ci}]，[cmax=max{ci}].

引理2.3  若假设1.1—假设1.3成立，则对于[∀（x0，r0）∈ℝn×S]，[∃p∈（0，1）]及[γ>0]，混杂随机系统（1）的解满足

[Εy（t; x0， r0）p≤Mx0pe-γpt， ∀t≥0]，

其中[M=1-pcmin1-pcmax].

证  由引理2.2可知：

[vi-Σj=1Nγijcj=-β].                                   （4）

故存在充分小的[p∈（0， 1）]，使得对[∀i∈S]，下面两式同时成立：

[1-pci>0]，                                     （5）

[β-pσ2i2+Σj=1Nγijcjcip1-pci>0].                             （6）

由式（4）知

[Σj=1Nγij1-pcjp（1-pci）=-（Σj=1Nγijcj+Σj=1Nγijcjcip1-pci）].                    （7）

定义Lyapunov函数

[V（y， t， i）=（1-pci）eγptyp].

其中[γ=mini∈Sγi]，[γi=β+Σj=1Nγijcjcip1-pci-p2σ2i]，由式（6）知[γ>0].

简记[y（t; x0， r0）=y（t）]，由Dynkin’s公式可得：

[ΕV（y（t）， t， r（t））=V（x0， 0， r（0））+Ε0tLV（y（s）， s， r（s））ds， t≥0]               （8）

其中，

[LV=pγ（1-pci）eγptyp+p（1-pci）eγptyp-2yTf（y， i， t）+   12p（1-pci）eγptyp-2u（y， i， t）2-p（2-p）2（1-pci）eγptyp-4yTu（y， i， t）2+   Σj=1Nγij（1-pcj）eγptyp.]

由假设1.2、式（4）和式（7）可得：

[LV≤p（1-pci）eγptyp（γ+αi+12ρ2i-σ2i+p2σ2i-Σj=1Nγijcj-Σj=1Nγijcjcip1-pci）≤    p（1-pci）eγptyp（γ-β-Σj=1Nγijcjcip1-pci+p2σ2i）≤0.]

代入式（8）中有：

[ΕV（y（t）， t， r（t））≤V（x0， t0， r0）]，

因此

[（1-pcmax）eγptΕy（t; x0， r0）p≤（1-pcmin）x0p].

引理2.3得证.

引理 2.4[12]  令假设1.1和假设1.2成立.

[Εx（t; x0， r0）2≤x02e（2α+ρ2）t]，

[Εx（t; x0， r0）-x（δt; x0， r0）2≤2τ（K21τ+ρ2）e（2α+ρ2）t≥0].

[∀（x0， r0）∈ℝn×S]，[∀t≥0].

引理2.5 [12]令假设1.1和假设1.2成立且[p∈（0， 1）]，对于[∀（x0， r0）∈ℝn×S]，[∀t≥0]

[Εx（t; x0， r0）-y（t; x0， r0）p≤x0pep（K1+1.5K22）t（H（τ）[e（2α+ρ2）t-1]）p/2].

其中 [H（τ）=6K22[τ（K21τ+ρ2）+2（1-e-γτ）]2α+ρ2].

类似于文献[12]中的引理5，有以下引理成立.

引理 2.6  若假设1.1—假设1.3成立且存在自由参数[ε∈（0， 1）]，[τ>0]是下列方程的唯一解

[ep（K1+1.5K22）（τ+log（Mε）/pγ）（H（τ）[e（2α+ρ2）（τ+log（Mε）/pγ）-1]）p/2=1-ε].

其中[γ， M]和[H（τ）]由引理2.3和引理2.5给出.对于[∀τ∈（0， τ]]，存在正整数[k， λ]使得系统（1）满足

[Εx（kkτ; x0， r0）p≤x0pe-λkkτ， ∀k=1， 2， 3， ….]

[∀（x0， r0）∈ℝn×S].

定理2.1  若假设1.1—假设1.3成立，存在正常数[τ]，假设[τ≤τ]，则称系统（1）几乎必然指数镇定.

证 令[τ∈（0， τ]]且[∀（x0， r0）∈ℝn×S]，简记[x（t; x0， r0）=x（t）]，对[∀t≥0]，存在唯一的整数[k]使得[t∈[kkτ， （k+1）kτ）]，由系统（1）的时齐次性和引理2.4有

[Ε（x（t）2Fkkτ）≤xkk2e（2α+ρ2）（t-kkτ）≤xkk2e（2α+ρ2）kτ].

利用Hölder不等式知

[Ε（x（t）pFkkτ）≤C1xkkp].

其中[C1=e（α+0.5ρ2）pkτ].应用引理2.6可得：

[Εx（t）p≤C1Εxkkp≤C1x0pe-λkkτ≤C2x0pe-λt] .                    （9）

其中[C2=C1eλkτ].则系统（1）p阶矩指数稳定，接下来由系统（1）的p阶矩指数稳定推出其几乎必然指数镇定.

由式（9）可知：

[Εsupkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ≤C2Εx0pe-λkkτ].

再由Chebyshev’s不等式可知

[Ρsupkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ≤C2Εx0pe-λkkτ].

令[Ak=supkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ]，則：

[Σk=0∞Ρ（Ak）=Σk=0∞Ρsupkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p≥e-0.5λkkτ≤C2Εx0pΣk=0∞e-λkkτ<∞.]

由Borel-Cantelli’s引理有[Ρlimk→∞Ak=0]，即[supkkτ≤t≤（k+1）kτx（t）p<e-0.5λkkτ].

对[∀ω∈Ω， ∃k0=k0（ω）]使得：

[supkkτ≤t≤（k+1）kτx（t，ω）p<e-0.5λkkτ， ∀k≥k0（ω）].

因此，对于[kkτ≤t≤（k+1）kτ，k≥k0（ω）]有

[1tlogx（t，ω）<-0.5λkkτp（k+1）kτ=-0.5λkp（k+1）].

对[∀ω∈Ω]，令[t→∞]

[limt→∞ sup1tlogx（t，ω）≤-λ2p<0].

系统（1）几乎必然指数镇定.证毕.

注： 文献[12]在假设1.2的成立条件下研究混杂随机系统的几乎必然指数镇定.该文献指出在         [γiu>0（i≠u）]成立的条件下，假设1.3即[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0]等价于以下式子

[-（α1+0.5ρ21-σ21） -γ12 … γ1N-（α2+0.5ρ22-σ22） -γ22 … γ2N ⋮                ⋮-（αN+0.5ρ2N-σ2N）      -γN2 …    γNN>0].

文献[14]在假设1.1—假设1.2成立的条件下，运用条件[γiu∨（σ2i-0.5ρ2i-αi）>0]以及M-矩阵

[Α（p）=diag（θ1（p） ， …， θN（p））-Γ]，其中[θi（p）=（p（2-p）σ2i）/2-pρ2i/2-pαi]，得到系统（1）的几乎必然指数镇定.而本文仅需假设1.3成立，显然限制性更小.

接下来将研究线性反馈控制函数为[u（x， i）=A（i）x]的系统的稳定性.

假设 3.1存在常数[K1>0]，[αi∈ℝ（i∈S）]，使得：

[f（x， i， t）-f（y， i， t）≤Kx-y]， [xTf（x， i， t）≤αix2]， [∀x， y∈ℝn].

避免记号上的重复，先令[B（t）]为一个标量布朗运动.考虑以下闭环系统

[dx（t）=f（x（t） ， r（t） ， t）+A（r（t/τ））x（（t/τ））dB（t）]，                    （10）

其中[A（i）∈ℝn×n（i∈S）].记[A（i）=Ai]，[u（x， i）-u（y， i）≤Aix-y ，] [∀x， y∈ℝn].

对[∀i∈S]存在矩阵[Di∈ℝn×n]使得

[Di=1]， [λmin（Di+DiT）≥3].                           （11）

对于非负实数[δi]有：

[δ2i>4αi].       &nbsp;                              （12）

令[Ai=δiDi（i∈S）]，对[∀x∈ℝn]，记

[u（x， i）=Aix≤δix]，

[xTu（x， i）=xTAix=0.5xT（Ai+ATi）x≥34δix2].

所以当[ρi=δi， σi=34δi]，[u（x，i）≤ρix]，[xTu（x，i）≥σix2].

由式（12）可得[σi2-0.5ρ2i-αi=0.25δ2i-αi>0].即

[Σi=1mπi（αi+0.5ρ2i-σ2i）<0].

简单来说，若选择上述[Di]和[δi]满足条件式（11）式（12）且令[Ai=δiDi（i∈S）]，就可以通过定理2.1的结论得到系统（10）几乎必然指数镇定.

3 结论

本文对随机混杂系统进行离散时间状态观测，在扩散项和漂移项中加入反馈控制，运用Markov切换的平稳分布，利用Borel-Cantelli’s引理、Chebyshev’s不等式等随机分析技巧和建立特殊的Lyapunov函數，先得到混杂随机系统的p阶矩指数稳定，再由p阶矩指数稳定推出混杂随机系统的几乎必然指数镇定，最后给出含有另外一种反馈控制函数系统的几乎必然指数镇定.

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Almost surely exponential stabilization of stochastic hybrid system based on discrete-time state observations

YU Peilin， CUI Yao， CHENG Pei*

（School of Mathematical Sciences， Anhui University， Hefei 230601， China）

Abstract： The paper studies the almost surely exponential stabilization of hybrid stochastic systems， based on the observations of discrete-time state and the control function which is embedded into the drift part and diffusion part. We get the almost surely exponential stabilization of the hybrid random  system by choosing appropriate Lyapunov function， using Markov chain stationary distribution and methods of stability analysis. The stability of the system with linear feedback controller is used to        illustrate the feasibility of the results.

Key words： hybrid random system; discrete time observation; Lyapunov function; almost surely        exponential stabilization; the pth moment exponential stabilization