林俊

教学应该有的放矢，但是知易行难！如何使教学更具有针对性、实效性，真正做到因需而教，为困而导？这就要求教师要更多地走进学生内心、了解真实学情，准确地知晓学生“现在在哪里”，从而为学生“到哪里”找到方向感，“如何到那里”设定线路图。问卷调查是学情调研的一种方式，它虽然设计技术要求较高，量化统计也费时费力，但是对于教师专业成长非常有益，值得尝试。

问卷设计时教师应该考虑不同类型的知识特点。就数学概念学习而言，概念名称、概念例证、概念属性和概念定义是概念分析的要素，是学生学习的主要内容，也是问卷设计的重要维度。当然，由于学生认知水平的制约，对这些方面的考察，只能运用一些具体、形象的直观素材，进而根据统计数据的量化分析，探明学生的数学现实和认知盲區，为调整既定的教学目标提供明确方向，为寻求有效的教学策略提供可靠依据。现以“两条直线的位置关系”教学为例，谈谈一些做法。

一、认识关系，从分类开始切入

【前测题目】

【前测分析】

平面内两条直线是否有一个公共点是区分相交和平行的依据，前测设计主要是探测学生对相交概念的认知程度。设计的前测题既有相交的一般情况，也有相交的特殊情况;既有相交的肯定例证，也有相交的否定例证。学生对每种图形的选择率如下表：

从表中可以看出，学生对相交的一般情况和特殊情况正确识别率分别高达88.1%，把平行误认为相交的只有11.9%，可见，绝大多数学生对相交是熟悉的，说明教学设计从分类开始是有基础的，是可行的。学生对看似没有相交而延长后可以相交的一组直线的正确识别率只有4.8%，说明学生对相交还停留在望文生义的浅层理解阶段。因而，教学设计时既需要对直线特征进行回忆、唤醒，又需要将看似没有相交而延长后可以相交的一组直线延迟处理，制造认知冲突，使学生能够根据已经唤醒的直线特征和业已建构的相交概念去想象和判断。

【教学片段】

师：（出示一条直线）直线有什么特点？

生：直的，可以无限延长。

师：如果两条直线（再出示另一条直线，并把它设置成陀螺旋转状，沿顺时针方向一直不停地转动），又能组成哪些图形？组成的图形又有什么特点呢？（稍等片刻）今天我们来研究两条直线的位置关系（板书课题）。你能把它们分成两类吗？（出示右图）为什么这样分？

生：①④为一类，因为它们相交了;②③为一类，因为它们不相交。

生：①④相交于一点，形成了四个角。

师：像①④这样，两条直线有一个公共点，叫作这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点。像②③这样，在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。

师：这一组直线属于哪一类？

生（意见不一致）：相交、平行。

师：明明没有相交，你为什么说是相交？

生：直线可以延长，延长以后就相交了。（课件演示两条直线延长后相交于一点）

【教学反思】

上述教学，从分类开始，建立“两条直线的位置关系”这一上位概念，为下位的派生类属学习“相交和平行”提供支撑，符合教育心理学中“渐进分化的原则”：“学习者在接触一陌生的知识领域时，从已知的较一般的整体中分化细节，要比从已知的细节中概括整体容易一些。”

通过增加一条直线，将研究对象从一条直线自然引向两条直线，同时把这一条直线设置成陀螺旋转状，使之沿顺时针方向一直不停地转动，动态旋转中可以形成相交（含垂直）和平行的位置关系。这种与已知直线的不确定关系，又为学生思考教师提出的开放问题留下了较大的空间，为直观想象素养的形成制造了契机。

通过对四组直线进行分类，使学生从整体上认识平面内两条直线的主要位置关系是相交和平行，而不是垂直和平行。然后又通过对一组看似没有相交而延长后可以相交的一组直线的讨论，深化了对直线特征的认识，丰富了相交直线的外延。

教学后，学生对相交概念掌握如何呢？下表是后测与前测的情况对比。

判断一组直线是否相交前后测正确率对比

对已经相交的两条直线（包括一般情况和特殊情况）的识别，从前测的88.1%提高到后测的100%;对看似没有相交而延长后可以相交的一组直线的识别，从前测的4.8%飙升到95.2%。而把平行误认为相交的已经从前测的11.9%降为0%。可见，教学效果十分明显。

二、认识平行，从距离开始撬动

【前测题目】

【前测分析】

设计的前测题既有平行的标准图形——横向的，也有平行的变式图形——纵向的、倾斜的;既有画出的两条直线看起来一样长的，也有画出的两条直线看起来不一样长的;既有平行的肯定例证，也有平行的否定例证。学生对每个图形的选择率如下表：

学生对平行线的识别率比较高，并且对平行的肯定例证识别率远远高于否定例证的误认率。其中，对横向的、纵向的平行线识别率远远高于倾斜的平行线，对画出的两条直线看起来一样长的平行线识别率远远高于画出的两条直线看起来不一样长的平行线。实践证明，学生对平行概念的学习需要越过直观可以感知的直线“长度”的迷障，进入感悟没有痕迹、不易察觉的两条直线间距离（即学生眼中的“宽度”）之境。

【教学片段】

师：为了便于叙述，我们把在同一个平面内的两条直线分别叫作直线a、直线b。直线a与直线b互相平行，既可以说直线a是直线b的平行线，也可以说——

生：直线b是直线a的平行线。

师：“直线a是直线b的平行线，直线b是直线a的平行线”合成一句话就是——

生（众）：直线a与直线b互相平行。

师：（依次把一组平行线平移、旋转、缩短两条直线、拉开两条直线间的距离）这两条直线还互相平行吗？

生（众）：平行。

师：为什么这两条直线始终互相平行？

生：因为它们延长后不会相交。

师：为什么两条直线延长后也不会相交？（先出示两组平行线，让学生独立思考，在学生百思不得其解之时，再覆盖上方格图）

生（恍然大悟，激动地指左边）：这两条平行线左边、中间、右边都一样宽。

师：（边比画边提问）这两条平行线左边相距几格？中间、右边呢？

生：都是相距两格。

师：《墨子》中说：“平，同高也。”这里的“平”指什么？“同高”又是什么意思？

生：“平”指平行，“同高”指高度相等。

师：你们太厉害了，和古人想得一样！（把一条平行线向下平移一格）现在呢？

生：相距三格。

师：左边这一组平行线可以看作是一条直线向下平移两格、三格得到的。右边这一组呢？

生：可以看作一条直线向右平移两格得到的。

师：现在你知道两条平行线延长后，为什么不会相交了吗？

生：两条平行线之间的宽度是一样的。

生：一条直线平移以后与原来的直线平行。

【教学反思】

后测发现学生对平行的否定例证误认率极低，只有1人认错一个图形。对平行的标准图形和变式图形，教学后测与前测正确识别率对比如下表。

判断一组直线是否平行前后测正确率对比

后测学生对平行的标准图形和变式图形的识别率都非常高，说明学生对平行概念的认知已经从外在的直观表象进入到内在的数学本质，达到范·希尔夫妇提出的几何思维水平2——描述、分析水平。显然，教学中的变式、追问、辨析功不可没！如果说教学中对平行线的变式（平移、旋转、缩短、拉开等），只是触及外在的形式，那么教师的追问“为什么两条直线延长后也不会相交”则是击中了概念的本质。在学生愤悱之时，教师适时伸出援助之手，设置问题的背景图（在平行线上覆盖方格），提供思维的脚手架，为学生思维的放飞创造了条件、提供了可能。这样，学生对平行的概念既可以理解为两条直线之间的“宽度”一样（即平行线之间的距离处处相等），又可以看作一条直线平移后形成的。如此教学，就把两条直线永不相交的根源讲清晰、讲透彻、讲全面、讲深刻了。

三、认识垂直，从位置开始变化

【前测题目】

【前测分析】

与平行类似，设计的垂直前测题既有肯定例证，也有否定例证;既有标准图形，也有变式图形。其中，垂直的变式图形多种多样：按位置分，有水平放置的，有倾斜放置的;按形状分，有十字形的，有倒T形的，有L形的。学生对每个图形的选择率如下表。

学生对垂直的肯定例证识别率按照十字形、倒T形、L形依次递减。这对教学设计的启示是学生对垂直的认知程度不高，远远低于对平行的认知。教学中要投入更多的时间，设计丰富的活动，逐步帮助学生理解垂直概念，特别是要通过标准图形的变式帮助学生把握概念的内涵。

【教学片段】

师：（出示下图）这两组直线都相交了，有什么不同？

生：右边的两条直线相交成直角了。

师：是吗？怎么验证？

生（众）：是的，用三角尺上的直角去比一比。（课件演示）

师：（指右边一组直线）两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。

师：左边一组直线的交点能称为垂足吗？

生：不能，因为这两条直线不互相垂直。

生：它们没有相交成直角。

师：直线a与直线b互相垂直，我们可以怎么说？

生（众）：直线a是直线b的垂线，直线b是直线a的垂线。

师：这两句话合成一句就是——

生（众）：直线a与直线b互相垂直。

师：你能把一张正方形的纸折两次，使两条折痕互相垂直吗？

学生活动后展示两种典型的折法，对绝大多数人没有想到的折法（沿对角线折）再集体操作一次。

师：（出示一组垂线，然后分别延长它的一条直线、缩短一条直线成T形，如下图）这两条直线还互相垂直吗？

生（众）：垂直。

师：（分开两条直线）现在呢？

生（众）：垂直。

师：（把两条L形直线整体平移、旋转）现在呢？

生（众）：还互相垂直。

师：为什么它们始终互相垂直？

生（众）：因为它们相交成直角。

师：（旋转一条直线）现在这两条直线还互相垂直吗？

生（众）：不互相垂直了，不成直角了。

【教学反思】

为了帮助学生更好地建构垂直的概念，把握垂直的内涵，教学时，教师可在对比中凸显垂直的本质属性，在操作中外化垂直的本质属性，在变式中恒定垂直的本质属性，在辨析中运用垂直的本质属性。这样做便于学生理解判断两条直线是否垂直的依据在于“两条直线是否成直角”，而与两条直线的长短、是否相交、摆放位置等非本质属性无关。对垂直的标准图形和变式图形，前测与后测正确识别率对比如下表。

判断一组直线是否垂直前后测正确率对比

后测较之于前测，学生对垂直的各种肯定例证、变式图形识别率均大幅度提高。同时，不难发现，水平放置（横平竖直）的十字形、倒T形肯定例证识别率略高于倾斜放置的十字形、L形肯定例证识别率，说明位置是学生认识垂直概念的一个重要干扰因素。教学中抓住了这个要素，不断变化其形态，效果非常明显。

四、概念表征，从类型开始鉴别

【前测题目】

【前测分析】

根据图形识别是概念再认的过程，根据要求作图是概念表征的过程，两者呈现不同的認知水平。概念再认答案是封闭的、唯一的，概念表征形式是开放的、多样的。从学生不同形状、不同类型的表征中，可以透视学生概念掌握的水平、洞察学生思维水平的层次。