朱舒

摘  要：“数学概念”是一种数学思维形式，它指人脑对客观事物的空间形式和数量关系特征的反映，是数学法则、定理等的构成基础，也是人类学习数学基础知识、发展数学思维和想象力的基本前提。文章从正例、变式和反例的运用，探析小学生数学概念的形成。

关键词：数学概念;正例;反例;变式

小学数学的数学概念，有些是从客观事物直接抽象而成，这些源自现实的数学概念，很容易让学生将它们与现实原型混淆。例如，数学概念“三角形”和现实原型“三角尺”;数学概念“射线”和现实原型“探照灯的光束”;数学概念“二分之一”和现实原型“半个物品”等。遇到这种源自客观事物直接抽象而成的数学概念，一般使用创设情境的方式，从客观事实切入，抽象出其共性内容，概括它们之间的本质特征，从而形成数学概念。小学阶段的学生主要以概念形成的方式获得数学概念。所谓的“概念形成”是指学习者根据同类客观事物的主要特征和切身体验的肯定例证概括，而获得概念 [1]。因此，可在数学概念形成的不同时期，运用正例、反例和变式，促使概念形成。

[?]一、运用正例，促使概念形成

所谓“正例”，也称“肯定例证”，是指概念里涵盖共同本质特征的适当例子或例证。教师在数学教学中，提供典型而丰富的肯定例证，引导学生从这些肯定例证中，抽象出它们的共性特点，概括它们的本质，从而形成数学概念。概念的肯定例证能够为概念的形成提供支持，帮助学生更好地理解概念。比如“认识角”的教学，可以从以下三个层面运用正例帮助学生引入“角”的概念形成。

（1）教材中展示给学生“角”的肯定例证为三角尺、剪刀、时钟等日常熟悉的现实物品。教师引导学生仔细观察这些物品，在观察与交流中找出这些物品的共性特征，抽象出“角”的图形特点，体会“角”的本质属性。这是用肯定例证即学生日常生活所接触的物品，提示“角”概念的一些属性。

（2）在上一层次的基础上，引导学生继续观察“角”图形的基本特征，抽象出它们的共性特点，明确“角”的构成要素为“一个顶点和两条边”。这是运用典型生活物品引出“角”的概念，这些典型实物则属于有价值的肯定例证。由此总结出“角”的三种基本图形（直角、钝角、锐角），又成了学生对“角”进一步研究的肯定例证，这些图形能够帮助学生构建数学意义上“角”的图形表象，形成“角”的数学概念。

（3）根据大脑中已形成“角”的概念，返回到教材中所展示的肯定例证的物品，寻找其中的“角”，进一步强化“角”的基本特征，构建“角”的知识结构;再让学生用两根直尺搭建出“角”，指出搭建出“角”的顶点与两条边。不管是在教材图片中寻找“角”，还是学生自己用直尺搭建“角”，均属于使用丰富的肯定例证强化巩固“角”概念的方法。上述肯定例证的使用，还涉及肯定例证的变式，比如各种大小不一的角、不同方向放置的角等。学生在肯定例证中认识“角”，其实是归纳和比较这些肯定例证的共同点，总结本质特征，从而形成“角”的概念。这些肯定例证不仅丰富了学生对“角”的认识，还体现出了学生对“角”概念形成的思考过程。由此可见，在数学思维发展过程中，数学概念和肯定例证是相辅相成的。若提起“角”概念，人们大脑中首先呈现的是它的一个或多个典型肯定例证（如三角尺、闹钟等），可见肯定例证在数学概念形成和保持里都发挥着举足轻重的作用。

[?]二、运用变式，凸显概念本质

所谓的“变式”是指變更同类事物的非本质特征，改变方法和角度去观察事物，突显事物的本质特点和隐蔽的要素，使学生用变式思维掌握事物的规律和本质。简而言之，“变式”指事物的正例在与特征无关方面的变化。变式的运用，能使学生的思维得到发展，从而了解事物的本质和非本质属性，比较出概念的本质特征，舍掉非本质特征。学生从不同的角度和不一样的方法研究数学概念，能够帮助他们全面认识并完善数学概念。

比如“认识平行与垂直”的教学，除了使用例证协助学生形成数学概念，还要适当地加用变式，完善学生对垂直和平行的概念的理解。如下图：

一般情况下，图①是最典型的认识和形成“平行”概念的样例，在这部分内容的教学中，若教师一直惯性使用图①这个最典型的样例，很容易导致学生误解为，只有图①这种水平方向的直线关系互相平行，而类比图②、图③、图④中的直线关系不是互相平行的。同样，图⑤是最典型的认识“垂直”概念的样例，图⑥是改变图⑤垂直方向的变式，图⑦和图⑧是其他不同角度的垂直变式。很明显，与图①和图⑤类似的标准形式，对“平行”和“垂直”概念形成，有明显的帮助作用。但是，惯性刺激在不断强化概念本质特征的同时，也容易限制学生对概念外延的思维，从而强化概念非本质特征。因此，在学生数学概念形成过程中，要加以非标准变式，从概念非本质特征的变换中，更加凸显概念的本质特征。学生的数学概念一旦形成，就能通过概念的内涵，确定具体的事物是不是在概念外延范围内。因此，协助学生运用“变式”形成数学概念，是把数学概念的外延和其所涵盖的对象分别作为变异空间和变式，通过不同变式的共同特征凸显概念的本质属性。

[?]三、运用反例，完善概念认识

所谓的“反例”是从反面论证数学概念的例子。数学概念的反例对深化和完善概念的认识有重要作用，它是非概念性变式，它的使用可以让学生更准确地理解数学概念，排除一些无关特征的干扰，构建数学概念间的联系，有效地防止学生概念理解过程中模糊不清的情况。

比如“认识圆”的学习，“圆”概念形成过程中，不少学生容易把球体和圆混为一谈。根据这种情况，教师在课前可以准备一个乒乓球，跟学生强调这个乒乓球是立体的“球体”，而不是平面图形的“圆”。同时用美工刀截取乒乓球的任意面，让学生体会乒乓球的横截面是我们所学习的平面图形的“圆”。这个乒乓球就是教师引导学生认识圆的“反例”，让学生从反面增强对圆形平面图的认识。而乒乓球的切割，其横截面加强了反例与概念之间的联系。

再比如“因数与倍数”的学习，质数（素数）和合数、奇数和偶数这两组概念，学生常出现概念模糊和混淆的情况。其中，学生思维最不清晰，容易出现错误认识的内容有：所有质数全是奇数，所有奇数全是质数，所有偶数全是合数，所有合数全是偶数，等等。在这些容易出现模糊不清的概念形成期，运用具有说服力的典型反例，协助学生清晰、完善概念的认识。如“所有的质数全是奇数”和“所有的偶数全是合数”的模糊错误认识，可运用“2”这个反例，2既是偶数也是质数;“所有合数全是偶数”和“所有奇数全是质数”的模糊错误认识，可运用9、15、21等既是奇数，又是合数的反例。但是，反例的使用必须建立在学生对概念已经有了一定理解之后才可以，若反例运用在学生接触数学概念的初始阶段，学生尚未形成质数和合数、奇数和偶数的概念，直接用反例进行辨析，反而容易误导学生，干扰学生对概念的理解和形成 [2]。

数学概念形成的过程一般为：

（1）运用不同样例，辨别并概括样例的共同属性;

（2）根据共同属性的不同假设，在特定的情境里检验;

（3）挑选出所有情境都适合的共同本质属性，并与大脑中原有认知结构的内容相联系，区分新数学概念与原有的相关概念;

（4）将新构建的概念的本质属性，运用到所有同类事物，以确定概念的外延;

（5）重新组织或扩大已有的数学认识结构;

（6）使用恰当的言语，表达新的概念。

由学生数学概念形成的过程容易看出，恰当地将肯定例证（正例）、变式与反例运用在数学概念形成的不同阶段，能够有效地促使学生形成数学概念，发展数学思维，从而提升数学核心素养。

参考文献：

[1]  史蓉芬. 刍议小学数学概念教学[J]. 开心素质教育，2015（09）：61.

[2]  华应龙. 我这样教数学——华应龙课堂实录[M]. 上海：华东师范大学出版社，2009.