夏强胜，李 娟

（安庆师范大学物理与电气工程学院，安徽安庆246133）

数字电路中，逻辑函数表达式是逻辑电路图的实现基础。为了使用最少的电子器件实现某一逻辑功能，最简的逻辑函数表达式是这一过程实现的前提，因此，逻辑函数表达式化简就显得尤为关键。通常，公式法和卡诺图法是逻辑函数化简的两种主要方法。然而，两种化简方法各有优势和不足[1-3]。公式法适用范围广，但化简过程较为繁琐，需要扎实的逻辑代数基础；卡诺图法化简过程直观清晰，但在逻辑变量较多时，过程也趋于复杂。

一般地，在卡诺图法化简教学中，大家习惯于从化简的步骤出发学习卡诺图法化简。这种学习过程割裂公式法和卡诺图法之间的内在联系，使得对卡诺图法化简的利用仅停留在方法的层次上，而没有上升到本质理解的层次。其实，公式法和卡诺图法化简存在紧密的联系，教学过程中可通过对两者联系的学习和分析，达到对卡诺图法化简的更好掌握。本文在卡诺图法的化简教学中通过联系公式法化简，帮助大家理解卡诺图法化简过程中的物理意义，实现对卡诺图法化简的更深层次理解和应用。

1 逻辑函数的卡诺图表示

要实现逻辑函数的卡诺图化简，先得用卡诺图将逻辑函数表示出来。一般地，卡诺图采用小方格一一对应逻辑函数最小项的方式来表示逻辑函数。2变量逻辑函数使用22个小方格表示，3变量逻辑函数使用23个小方格表示，以此类推。为了方便卡诺图的相邻项化简，这些最小项不能任意或者顺序排列，而必须按照特定的规律排列[4]。考虑到在公式法化简中，当两个最小项有且仅有一个变量取值不同时，可消除取值不同的变量进而得到更简单的与项，如。这就要求卡诺图中最小项排列应遵循的原则：几何相邻的最小项有且仅有一个变量取值不同。格雷码的编码方式正好满足此条件，所以表示最小项的卡诺图小方格采用格雷码的编码方式，进而实现几何相邻项也就是逻辑相邻项。图1所示为2到4变量情形下采用格雷码方式表示的卡诺图最小项。

图1 卡诺图的编码方式

由于逻辑函数可以表示为若干最小项之和的形式，因此任意一个逻辑函数都可以用卡诺图表示出来。具体方法：将逻辑函数表示为最小项之和的形式，并在最小项对应的卡诺图小方格中填1，其余位置填0。同时，为了使卡诺图更简洁，化简过程更清晰，此处的0可省略[5]。例如逻辑函数用卡诺图表示，如图2所示。

图2 逻辑函数Y的卡诺图表示

2 卡诺图相邻项的确定

由于卡诺图采用格雷码的编排方式，最小项的几何相邻也就是逻辑相邻，相邻项可依据规则进行化简。如图 3(a)所示，2个相邻的最小项可合并化简，消去 1个变量，消除的是取值不同的那个变量实现化简[6]。这里变量B取值不同，消去；变量A和变量C取值相同，保留。2个最小项相邻除了位置上的几何相邻，还应考虑到卡诺图上的首尾相邻，卡诺图中的首尾最小项同样是逻辑相邻，可合并化简，如图 3(b)所示。

图3 2个最小项相邻情形

图 4(a)所示为 4 个最小项相邻的情形，结合公式法化简可得化简规则：4个最小项相邻，消去取值不同的2个变量。本例中变量A和变量C有两种不同取值，消去；变量B和变量D取值相同，保留。除此之外，4个最小项相邻的情形还包括图4(b)～(d)所示情形，都可以通过消去取值不同的2个变量以获得最简表达式[7]。

图4 4个最小项相邻情形

图5 （a）所示为8个最小项相邻情形，结合公式法化简，消去取值不同的变量A、B和C，可得此外，8 个最小项相邻还有图 5（b）所示情形。综上所述，2n个最小项相邻可消去n个取值不同的变量，得到最简的与式。

图5 8个最小项相邻情形

3 卡诺图的化简规律

卡诺图化简的本质就是相邻项的确定，以上已对最小项相邻的可能情形进行了罗列，但在具体问题中，相邻项的确定还需要考虑到以下因素。下面通过具体实例对卡诺图化简中的相邻项规律进行归纳总结。

图6所示为例1逻辑函数卡诺图。先可以确定最小项m1，m3，m5和 m7，消去取值不同的变量可化简为C；同时，在这4个最小项内部，m1和m3，m1和m5，m3和m7，m5和m7两两相邻，如其中m1和m3相邻的化简结果为(图6中虚线圈所示)：可 以 发 现 ，是 C 的 子 项 ，能 为 C 吸 收因此，当2n个最小项构成的相邻项确定后，其内部所有的2n-1到21个最小项所构成的相邻项都是最大相邻项的子项，可以被吸收，无需圈出。最大相邻项确立后，还剩唯一的最小项m6，本着表达式最简的原则，将m6和m7作为相邻项圈起来进行化简可得所以，卡诺图的化简最终结果为这种利用已用过的最小项化简在公式法化简中同样能找到依据：上式第2步将最小项m7两次利用，这在逻辑函数的公式法化简中是合情合理的。在卡诺图的化简中，最小项m7被圈了2次，这和公式法化简中的最小项m7两次利用是同一机理。所以，确立相邻项第1条准则：先从最多的最小项相邻找起，一直找到所有最小项都被圈起来，同时要保证不能出现子项。

图6 逻辑函数Y1的卡诺图化简

图7所示为例2逻辑函数卡诺图。依据确立的相邻项的第1条准则，很容易圈出图7所示相邻项，化简结果为然而，这个结果并不是最简的。在公式法化简中，已知BC是AB和两项的冗余项，可以被这两项所吸收。在卡诺图化简中，处理冗余项的方法也就是确立相邻项的第2条准则：检查已圈出的相邻项，保证每一个被圈出的相邻项至少有一个独立的最小项；如果满足此条件，相邻项保留，否则略去。本例中BC项所对应的圈中的最小项都不是独立的，分别被AB和两项包含，所以BC项是它们的冗余项，卡诺图化简中必须把此相邻项略去。

图7 逻辑函数Y2的卡诺图化简

此例是余孟尝版《数字电子技术》教材中利用公式法化简的例题。这里，结合公式法和卡诺图法进行分析。先利用公式法化简，通过添加前两项的冗余项后，分别和后两项结合实现对前两项的消除，如(2)式所示；同时发现，通过添加后两项的冗余项后，分别和前两项结合实现后两项的消除，如(3)式所示。两种化简方式都正确，结果也都是最简的，但逻辑函数的形式却不尽相同。为了找出这种不同产生的原因，可借助卡诺图化简。

图8 逻辑函数Y3的卡诺图化简

4 总结

综上所述，本文在卡诺图的化简教学中结合公式法化简，把卡诺图化简的物理意义呈现出来，帮助学生从本质上理解卡诺图的化简，并通过总结给出卡诺图化简的一般规律，达到更好地理解和利用卡诺图化简逻辑函数的目的。另外，要想熟练使用卡诺图化简逻辑函数，还需多做练习，归纳总结出卡诺图化简方法的潜在规律。