陈然 熊一珊 周悦

摘要：各种错综复杂的因素导致数据表现出不确定性，区间型数据为取值在一定边界的现象提供了强有力的分析工具。为提高区间型观测信息的预测精度，本文结合相关系数和诱导有序加权平均（IOWGA）算子给出一类区间值时间序列的组合预测模型。通过最大化实际值和基于IOWGA算子的组合预测值区间中心和半径序列的相似性程度，给出组合预测的一类客观权重信息确定方法。最后，结合实例表明本文所提出的区间型信息组合预测模型能够有效提高预测精度。

Abstract： All kinds of complicated factors lead to the uncertainty of the data. The interval data provides a powerful analytical tool for the phenomenon of taking value at a certain boundary. In order to improve the prediction accuracy of interval type observation information， this paper presents a combined prediction model of interval value time series by combining correlation coefficient and induced ordered weighted average （IOWGA） operator. By maximizing the similarity between the actual value and the combination predicted value based on IOWGA operator， a kind of objective weight information determination method of combination forecast is proposed. Finally， an example shows that the interval information combination prediction model proposed in this paper can effectively improve the prediction accuracy.

关键词：预测精度;相关系数;IOWGA算子;组合预测

Key words： prediction accuracy;correlation coefficient;IOWGA operator;combination prediction

中图分类号：TP273                                     文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2019）21-0207-04

0  引言

在对对象进行预测时，由于数据产生的速度不断加快以及体量的不断增加，那么预测就存在不确定性，单一的预测方法可能只考虑了一部分的信息，缺少部分重要性的信息。因此，Bates和Granger[1]在1969年首次对组合预测方法进行系统研究，其研究成果引起许多学者的重视。此后，组合预测方法的研究受到高度重视，并且在组合预测方法上取得了许多研究成果[2-7]。

文献[8]中提出了有序加权平均（OWA）算子的概念，之后一系列信息集成算子理论的提出都是基于OWA算子的概念之上[9-11]，随着社会的进步，学者们将视觉从实数预测转变到区间组合预测，探究到区间组合预测具有更强的实用性。陈华友[11]等提出了诱导有序加权几何平均算子（IOWGA），后续学者们将IOWGA算子用于区间组合预测，取得了很好的效果。文献[12]中研究了基于相关系数的IOWGA算子的关于实数的最优组合预测。

在现有的组合预测方法中，给出了基于有效度、灰色关联度、基于相关系数[13-15]，等等，与各种算子相结合的组合预测方法，这些方法都被证明了是可以提高预测精度的。本文在此基础上，结合IOWGA算子，进行了区间值的组合预测，首先对原本的区间值进行简单的变换，使用区间中点和区间半径来刻画区间值，区间中点可以反映区间的均值信息，区间半径可以用来反映区间的波动情况，将区間中点和半径的预测精度作为诱导值带入IOWGA算子中，从相关系数层面对区间中点和区间半径进行研究，建立相应的组合预测模型，并通过实例验证了本文提出的模型是有效可行的。

1  预备知识

在这里，首先给出一些关于区间值信息与相关运算的定义，后文中会运用到相关的定义与运算，具体如下：

定义1[16] 设 为非负区间数，区间数a就可以用区间中点ma和区间半径ra来表示，即 。其中

为对相似的预测区间进行集成，给出IOWGA算子的定义：

定义2[6] 设 为n个二维数组，则称

为IOWGA算子，ui为ai的诱导值。其中 是 按从大到小的顺序排列的第i大的数的下标， 是与IOWGA有关的加权向量，满足 IOWGA算子是对诱导值 按照从大到小的顺序排序后对应的 进行有序加权平均，？棕i与？琢i的大小和位置无关，而是与其诱导值所在的位置有关。

2  基于相关系数的IOWGA算子的区间组合预测模型

由于现实生活中各种错综复杂的因素，导致了数据的不确定性，所以，在这里假设某个指标序列为区间数时间序列，可将其设为 。设有m种单项预测方法对其进行区间预测，第i种单项预测方法在第t时刻的预测区间值可表示为 。本文提出的基于相关系数的IOWGA算子的步骤如下：

Step1. 对于给出的实际观察序列 和各单项预测序列区间值 由式（2）计算区间值的中点和半径表示形式。

Step2. 计算每个时点各单项预测值中点和半径的精度，并按照由大到小的顺序排列[16]：

uit称为第i种单项预测方法在第t时刻的预测精度，其中 。我们将预测精度uit作为诱导值，与单项预测序列可组合成m个二维区间数组 。

Step3. 对于每个时点的各单项预测值的中点和半径按照对应精度的排列顺序分别赋予相应的权重值 ，可以求得区间组合预测值的中点和半径分别是 。

其中 是uit按照从大到小的顺序排列的第i大的数的下标，

Step4. 分别计算区间组合预测值中点和半径与实际观测值之间的相关系数：

Rm是基于IOWGA算子的区间组合预测方法中预测值的中点序列 与实际区间观测值中点序列 的对数相关系数，Rr是基于IOWGA算子的区间组合预测方法中预测值的半径序列 与实际区间观测值半径序列 的对数相关系数。其中

，当Rm和Rr越接近于1，即预测值与实际值的对数相关系数越大，预测值与实际值越接近，两者之间的误差越小，预测值越可靠。令：

，则称 分别为基于相关系数及IOWGA算子的区间组合预测模型的中点和半径误差信息矩阵。有：

将式（6）分别记为 ，我们所期望的是预测值具有更高的可靠性，这里就要求对数相关系数足够大，则应使得区间组合预测值的中点和半径序列的对数相关系数最大化，则有：

上面的目标函数模型是多目标的非线性最优化问题， 求解比较复杂，为了简化问题的求解，这里需要引入一个变量？籽，使得多目标规划问题变为单目标的非线性规划问题。最终的目标函数为：

3  实例分析

为了验证基于相关系数的IOWGA算子下的连续区间组合预测值的有效性，利用文献[14]的数据，对于本文提出的模型进行了实例分析，表1给出了实际观测值与各单项预测值的信息。

这里取参数？籽=0.5，使用软件处理工具（lingo），求出该区间组合预测模型的最优权重解为？棕1=0.3427，？棕2=2865，？棕3=0.3708。

下面从4种误差指标进行模型效果分析，各指标结果如表2。

我们可以看到本文提出的基于相关系数的IOWGA算子的组合预测模型（？籽=0.5）的MSEP和MSEI值都是比较小的，相对单项预测方法来说，这2项指标明显降低，而MSEL和MRIE值并非最小，但也不是最大的，说明本文提出的方法是非劣性的。综合来看，基于相关系数的IOWGA算子的组合预测方法可以很好地提高预测精度。

下面对最优化模型中的参数？籽作灵敏度分析，参数？籽是对组合预测区间中点和半径的重要性程度的度量。由目标函数的表达式可知，最优权重随着？籽的变化而变化，因此，得到的预测值也不是唯一的。为了分析对所有的参数？籽的取值，模型是否具有有效性，这里需要对参数？籽的取值作灵敏度分析。取？籽∈[0，1]，分别计算其对应的最优权重？棕1，？棕2 ，？棕3以及相应的误差指标的值。

由灵敏度分析图可知，随着的增大，MSEP值是由稳定值逐渐减小到0.1附近，而MSEL值的变化则是和MSEP完全相反，MSEL值随着？籽的增大而增大，MSEI先逐渐减小到最小值后迅速增大，MRIE先趋于稳定值后再减小，类似于MSEP的变化。总体观察4个指标的变化趋势，当？籽？燮0.5时，变化都很平稳，当？籽>0.5时，变化比较剧烈，因此，当我们选取？籽？燮0.5時，预测都会得到不错的效果。

4  结论

本文首先将区间值用区间中点和半径来表示，计算出区间中点和半径所对应的区间精度作为IOWGA算子的诱导值，结合相关系数和诱导有序加权平均（IOWGA）算子给出一类区间值时间序列的组合预测模型。通过最大化实际值和基于IOWGA算子的组合预测值之间区间中心序列和半径序列的相似性程度，给出组合预测的一类客观权重信息确定方法。最后根据4个误差指标，通过实例分析验证了本文提出的基于相关系数的IOWGA算子的区间组合预测方法是有效的。但本文是简单地基于区间中点和区间半径进行求解，缺乏基于区间值两端点的讨论，对于区间值两端点的研究结果与本文的结果是否会有出入还需要进一步研究。

参考文献：

[1]Bates J M， Granger C W J. The Combination of Forecasts[J]. Journal of the Operational Research Society，1969，20（4）：451-468.

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[6]陈华友.组合预测方法有效性理论及其应用[M].科学出版社，2008.

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