【内容摘要】高考物理全国卷经历了两年的调整已相对稳定。对考生的基本能力要求也在稳定的考核巩固。数学知识是学习研究物理的核心工具，运用数学处理物理问题的能力是物理教学中对学生培养的重要能力之一。高中物理需必备的数学知识包括解方程、三角函数、极值求解、微积分初步等，物理习题的解决过程很好体现学生应用数学解决物理问题的能力。

【关键词】电磁感应 非恒力做功 “微元”思想

高中物理知识体系，是一个从现象到本质，从特殊到一般的渐进过程，是符合学生认知的客观过程。恒力作用的匀变速直线运动是初高中物理衔接的基础，再过渡到曲线运动和能量。一般变力作用，高中阶段较难处理，但利用微元单元和累加求和思想，可解决一些特定的非恒力问题。所谓微元法，是基于数学微分与积分知识，在“匀速”基础上作拓展。

微元思想是将研究对象或过程进行无限细分，实现化变为恒、化曲为直。可以任选某一微小单元（质量微元、时间微元、位移微元、电量微元等），得到相关“微元”对象运动规律，再将这些“微元”规律累加求和，从而找到被研究对象或过程的具体变化规律。

“微元”思想的应用，能很好考查学生运用数学工具处理物理问题的能力， 能较好的把一般学生与优秀学生有效区分，有利于高校选拔人才，因此在高考物理中经常出现。

在以“电磁感应”为背景的题目中，因可综合考查运动、能量、电路、电量等相关概念，把牛顿运动定律、欧姆定律、法拉第电磁感应定律、能量守恒定律、动量及动量守恒定律等，在高考中常以选择题出现，也会以计算大题考查，因此该内容是高考复习的重点。模型常是单导体棒或双导体棒在外力作用下，以某一初速度进入磁场，受安培力作用，在导体棒趋于某一稳定状态过程中求运动时间、位移、速度，流过电荷量等，因安培力为变力而形成非恒力作用，可考虑用微元思想求解。

例1：如图1，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C；导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：

（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；

（2）若金属棒下滑过程中某时刻加速度大小为α，求此时金属棒受到的磁场的作用力大小；

分析：导体棒下滑中，因不断对电容器充电而形成不同的充电电流，从而使导体棒受变化的安培力作用，可用微元思想求解。

解：（1）略

（2） 设某时刻金属棒的速度大小为v，经历时间Δt，通过金属棒的电流为Δi，金属棒的速度变化量为Δν，流经金属棒的电荷量为ΔQ。

运动中金属棒受沿导轨向上的安培力： F=BLΔi，

由电流定义式：Δi=ΔQΔν，式中ΔQ为电容器在时间间隔Δt内增加的电荷量。

由加速度定义有：a=ΔνΔt

已由（1）问求得 ΔQ=CBLΔν

得金属棒受到的安培力 F=CB2L2a

此题关键的应用微元法分析金属棒的加速度，从加速度的定义式切入，应用牛顿第二定律、匀变速运动速度公式、感应电动势E=BLν等求解。

例2：如图2，两平行的光滑金属导轨安装在光滑绝缘斜面上，导轨间距为L、足够长且电阻忽略不计，导轨平面倾角为α。条形匀强磁场宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流。线框的边长为d（d

求：线框第一次穿越磁场区域所用的时间t。

解：设线框刚穿过磁场区域时速度为ν1，之后在向下运动的2d受恒力，

由动能定理：mgsinα·2d-BILd=0-12mν12

时间微元Δt内，线框在磁场中运动的速度为νi，所受合力Fi=mgsinα-F安

感應电流Ii=εR=BdνiR

安培力F安=B Iid

在Δt时间内，有Δν=FmΔt

对上式求和，即：ΣΔν=Σ（gsinα-B2d2νmR）Δt

得：ν1=gtsinα-2B2d3mR

解得t=2m（BILd）-2mgdsinα+2B2d3Rmgsinα

综上所述，导体棒在磁场中运动涉及安培力为非恒力时，可以选择微元对象，利用动量定理、牛顿第二定律和法拉第电磁感应定律综合求解。动量定理在时间微元内表达为BLΔi·Δt=mΔν，再对这段时间求和，由电荷定义式有q=I-·Δt=ΔΦΔt（R+r）Δt=ΔΦR+r=BLxR+r，从而得到BLq=m（νt-ν0） 和BLx=q（R+r）这两个求非匀变速直线运动某时刻的速度、时间和位移的方法，因此复习中让学生了解掌握微元思想很重要。

作者简介：邱继文（1972-），男，云南昭通人，中学物理高级教师，研究方向：高中物理教学.

（作者单位：云南昭通第一中学）