郭晴 叶会英

摘  要： 构建光反馈自混合干涉理论模型，通过Matlab仿真分析验证理论模型的正确性。利用奇异值分解的方法确定Hankle矩阵，对矩阵进行奇异值分解，构造逼近矩阵对含噪自混合干涉信号进行降噪处理。在适度反馈机制下，选取不同的光反馈水平因子[C]值进行仿真。对降噪前后信号波形进行仿真分析，实验结果表明奇异值分解改善了信号的光滑性，起到了降噪的效果;通过对降噪前后所测位移精度的对比，精度的提高表明奇异值分解的降噪方法在自混合干涉信号噪声处理方面的有效性。

关键词： 光反馈; 自混合干涉; 奇异值分解; 降噪; OFSMI信号; 条纹计数法

中图分类号： TN247?34                         文献标识码： A                          文章编号： 1004?373X（2019）09?0026?05

Singular value decomposition based denoising method of self?mixing interference signal

GUO Qing1， 2， YE Huiying1

（1. College of Information Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou 450001， China;

2. College of Information and Electronic Engineering， Shangqiu Institute of Technology， Shangqiu 476000， China）

Abstract： The theoretical model of optical feedback self?mixing interference （OFSMI） system is constructed， and its correctness is verified with Matlab simulation analysis. The method based on singular value decomposition （SVD） is used to denoise the self?mixing interference signal with noise by means of determination of the Hankle matrix， SVD of matrix and construction of approximation matrix. By means of moderate feedback mechanism， the different optical feedback level factor [C ]values are selected for simulation， and the simulation analysis is carried out for the signal waveforms before and after denoising. The experimental results show that the SVD can improve the smoothness of the signal， and denoise the signal; in comparison with the measured displacement accuracy before and after signal denoising， the effectiveness of SVD?based denoising method is verified by accuracy improvement in the aspect of noise processing of self?mixing interference signal.

Keywords： optical feedback; self?mixing interference; singular value decomposition; denoising; OFSMI signal; fringe counting method

0  引  言

激光器输出的光在传播途中由于外部物体的阻挡，会出现反射或散射现象，导致一部分光再次折回到激光器的内腔，这部分光与激光器腔内的光相混合，影响激光器输出功率、频率，这种现象称为光反馈自混合干涉（Optical Feedback Self?Mixing Interference，OFSMI），产生的信号称为OFSMI信号。弱反馈机制下，OFSMI信号呈现类正弦波形状;适度反馈机制下，OFSMI信号为类锯齿波形状，波形向哪个方向倾斜是由目标物体向哪个方向運动决定的;强反馈机制下，半导体激光器处在不稳定的工作状态，类锯齿波出现变形，一些干涉条纹消失不见。

OFSMI信号带有外部振动物体以及激光器的信息，因而可以利用这种现象测量物体的振动、位移[1]、距离[2]、速度[3]、加速度[4]以及激光器线宽展宽因数[5]。OFSMI实验结构简单、紧凑性强、准直性高、而且成本很低，易于做成小型化产品，方便携带，所以在工业方面[6]的应用越来越多。OFSMI信号受到外部环境干扰常带有噪声，本文采用奇异值分解的降噪方法对OFSMI信号进行处理，经过Matlab仿真分析验证奇异值分解降噪方法在OFSMI信号噪声处理方面的有效性。

1  自混合干涉基本理论

OFSMI经典测量模型[7]如下：

式（1）～式（3）中参数的定义如表1所示。其中，[C]是光反馈水平因子，是反映外部光反馈强弱程度的物理量[8]。根据[C]值大小，把OFSMI系统分成3类不同的反馈机制：当[C<1]时，为弱反馈机制;当1≤[C]<4.6 时，为适度反馈机制;当4.6≤[C]<7.8 时，为强反馈机制。

表1  参数定义

有光反馈时激光器外腔的相位，[φF（n）=2πvFτ] [τ] [τ=2Lc]，[L]为激光外腔长度，c为光速 [v0] 激光器无光反馈时的发射功率 [vF] 激光器有光反馈时的发射功率 [g（n）] 归一化自混合干涉信号 [P0] 无光反馈时激光器的辐射功率 [P（n）] 有光反馈时激光器的辐射功率 [m] 调制系数，通常取[m]=10-3 [C] 光反馈水平因子 [α] 激光器的线宽展宽因子 ]

依据理论模型，设[α]=5时，仿真出3种反馈机制下不同反馈因子[C]的自混合干涉信號的波形，如图1所示。

图1  不同反馈因子[C]下OFSMI信号

从图1中可以观察到，弱反馈机制下，自混合干涉信号呈现类正弦波形状，这与传统干涉信号相似，如图1a）所示。适度反馈机制下，自混合干涉信号为类锯齿波形状，波形向哪个方向倾斜是由目标物体向哪个方向运动决定的，如图1b）所示。强反馈机制下，半导体激光器处在不稳定的工作状态，类锯齿波出现变形，一些干涉条纹消失不见，如图1c）所示。可见，图1给出的不同反馈机制下的光学输出信号的模拟波形与以往的理论分析结果相吻合，表明仿真结果是正确的。

2  基于奇异值分解的自混合干涉信号降噪算法分析

2.1  奇异值分解的算法步骤

假设测量序列信号为[X={x1，x2，…，xN}]，可进一步表示为[Xk=Sk+Wk]，[k=1，2，…，N，Sk]表示真实信号，[Wk]表示噪声信号，[N]为数据长度。

奇异值分解的降噪算法的详细步骤如下：

1） 将上述测量数据构造为[m×n]阶Hankel矩阵的步骤为：

① 选定重构矩阵的维数[n];

② 从原序列中抽取[x1，x2，…，xn]作为矩阵的首行;

③ 向后延迟一个采样间隔，抽取[x2，x3，…，xn+1]作为矩阵的第二行;

④ 以此类推，直到第[m]行的最后一个元素是[xN]，即矩阵的最后一行。构造的矩阵如下所示：

式中：[N=m+n-1];[S]是真实信号构成的[m×n]维矩阵;[W]是噪声信号构成的[m×n]维矩阵。在确定矩阵行数和列数时，依据原则[9]为：若[N]为偶数，构造的Hankel矩阵的行数取[m=N2+1]，列数取[m=N2];若[N]为奇数，构造的Hankel矩阵的行列数均取[m=（N+1）2]。

下面分别选取偶数采样点[N=]2 048和奇数采样点[N=]2 049进行信号重构仿真，对上面的结论进行验证。如图2，图3所示，其中，[m]是行数，[n]是列数。对于偶数采样点，当矩阵行数取[m=N2+1]，列数取[m=N2]，如[N=]2 048时对应行数1 025，列数1 024。从图2仿真分析可以看出，在同一采样点时，此时矩阵重构信号比其他的光滑。

对于不同的奇数采样点，当矩阵行、列数取[m=（N+1）2]，如[N=]2 049时对应行数1 025，列数1 025。从图3仿真分析可以看出，在同一采样点时，此时重构信号比其他的光滑。

图2  [N=]2 048不同矩阵行列重构信号

图3  [N=]2 049不同矩阵行列重构信号

2） 对[B]进行奇异值分解，则[B=UΣVH]。其中，[U]和[V]分别为[m×m]维和[n×n]维的酉阵，分别称为[B]左奇异阵和右奇异阵;上标[H]表示矩阵的共轭转置，[Σ]是一个[m×n]维对角阵，其主对角线上的元素[σi]称为[B]的非零奇异值，且以非增顺序排列，即[σ1]≥[σ2]≥…≥[σi]。

3） 确定奇异值对角阵[Σ]的有效秩，即前[p]个最大的奇异值，然后重构[B]的逼近矩阵[Yp]，即不受噪声干扰的信号分量组成的矩阵。

式中：[Up]是前[p]个较大奇异值对应的左奇异向量;[Vp]是前[p]个较大奇异值对应的右奇异向量;[Σp]为前[p]个较大奇异值对应的对角阵：

4） 将得到的矩阵[Yp]中不受噪声干扰的信号分量按照Hankel矩阵的形式构造矩阵：

即对矩阵[Yp]中反对角线上的元素求平均得到真实信号的一种估计，即降噪后的信号。

综上所述，基于SVD的自混合干涉信号的降噪算法流程如图4所示。

图4  SVD的降噪算法流程图

2.2  奇异值分解在OFSMI信号的仿真分析

假设外部物体的运动规律为[x0（t）=am0+][am?sin（2πft）]，其中，[am0=30]，[am=19]，[f=ftfs]，[ft=195]，[fs=200  000]，[n=2  000]。

在适度反馈下，固定线宽展宽因子[α=5]，水平因子[C=2.8]，依据自混合干涉理论模型并对其加入高斯白噪声，其信噪比为10 dB，对应的时域频域如图5所示。

图5  含噪信号时域频域图

从图5中可以看到，原始信号的时域特征明显，频域非常干净;含噪信号时域特征被噪声淹没，而频域中信号比较集中，噪声均匀地分布在频域中。

经过奇异值分解进行降噪之后的信号波形时域频域如图6所示。将图5～图7进行对比分析，从直观图中可以看出，降噪后时域信号的毛刺变少了，波形变得平滑，频域图中噪声部分的含量减小了，表明起到了降噪的效果。

图6  降噪后信号时域频域图

图7  降噪前后误差信号波形

取采樣点[n=]2 000，故重构Hankel矩阵的行数[m]取1 001，列数[n]取1 000。对构造的矩阵进行奇异值分解得到以奇异值为对角线的对角阵，通过实验调试选取前若干个较大的奇异值构造成Hankel矩阵，对反对角线上的元素求平均得到真实信号的估计。在适度反馈下，选取[α=4]，[C=1.5];[α=3.5]，[C=2.5]对含噪自混合干涉信号的降噪处理仿真如图8，图9所示。

从图中可以看出：

1） 对适度反馈下的含噪OFSMI信号进行奇异值分解降噪处理后得到的OFSMI信号的高频部分有了较大改善，波形变得较为平滑，表明噪声在信号中的含量有所减少，基于奇异值分解的降噪方法在含噪OFSMI信号的噪声处理方面起到了一定的作用，对含噪OFSMI信号有一定的滤波效果。

图8  [α]=4，[C=]1.5降噪前后信号波形图

图9  [α]=3.5， [C=]2.5降噪前后信号波形图

2） 奇异值分解降噪处理后的信号与降噪前的信号波形形状相吻合，保留了有用信号的特征，而且不存在偏移现象。

3  奇异值分解降噪方法在位移测量中的实验验证

为了验证奇异值分解降噪方法在位移测量中的有效性，本文参照条纹计数法精确测量外腔振动位移的方法，如表2所示。

表2  条纹计数法对奇异值分解降噪前后的位移测量结果

选取10组信号进行仿真分析，用条纹计数法测出无降噪时各信号的相对位移，计算出相对误差;再计算出利用奇异值分解降噪后信号的相对位移，得出相对误差。假定[C=2.5]，[α=]3，叠加10 dB的噪声，进行位移测量，测量相对误差平均为0.47%左右;在相同条件下，先利用奇异值分解的降噪方法对OFSMI信号进行降噪处理，之后利用条纹计数法精确测量外腔振动位移的方法进行位移测量，测量相对误差平均为0.22%左右。

从表2中可以看出，降噪后的相对误差是0.22%左右，降噪前是0.47%左右，相对误差有所减小，进而达到了提高测量精度的目的。进一步从侧面说明奇异值分解降噪的有效性。

4  结  语

本文在自混合干涉的理论基础上利用Matlab仿真出自混合干涉信号，并通过奇异值分解的降噪方法对含噪自混合干涉信号进行降噪，经过Matlab仿真分析可知，奇异值分解的降噪方法实现了含噪OFSMI信号的降噪，达到了抑制噪声、重构有用信号的目的。

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