卢树强

【摘要】近年来，分段连续型随即分方程被广泛应用在经济、物理、天文、生物、工程、信号等领域，因而普遍受到专家学者的关注。分段连续型随机微分方程不仅具有理论价值，还具有应用价值。本文主要分析分段连续型随机微分方程的重要意义，又解析分段连续型随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性，并且给出了数值方法应用在分段连续型随机微分方程稳定的条件，证明这种数值方法保持和实现了精确解的稳定性。

【关键词】分段连续型随机微分方程;数值方法;收敛性;稳定性

一、分段连续型随机微分方程的重要意义

分段连续型随机微分方程与动力系统相对应，主要分为超前型、向前型、振动型等分段连续型微分方程。在现实生活中，对事物变化描述，主要分为两大类，一类是被内在规律支配，被描述为与时间t有关的一个确定性函数的确定性过程，另一类受外界环境影响，没有确定表达形式，是一种随机过程，例如花粉在液体中的无规则运动。

因此，分段连续型随机微积分方程作为一种有效工具，能够更加真实的对物理现象、生物进化过程以及控制理论等进行真实的描绘。

二、解析随机微分方程数值方法的收敛性和稳定性

（一）数值方法的收敛性

Maruyama最早讨论和研究随机微分方程数值方法的收敛性，在1955年他给出最简的收敛方法是Euler法：

2000年，C.T.H Baker和E.Buckwar在文献中证明，在全局Lipschitz条件和线性增长条件下用于方程的Euler数值方法是0.5阶收敛的。……