王 娟， 金智新,2,3， 邓存宝， 方 博

(1.辽宁工程技术大学 工商管理学院，辽宁 葫芦岛 125105; 2.山西焦煤集团有限责任公司，山西 太原 030024; 3.太原理工大学 安全与应急管理工程学院，山西 太原 030024; 4.辽宁工程技术大学 安全科学与工程学院，辽宁 葫芦岛 125105)

0 引言

多属性决策是关于多个相关属性有限方案的选择问题，由于实际决策问题的复杂性和决策者认知的局限性，对评价信息和属性权重难以用精确值表述。Zadeh[1]提出利用模糊集处理不确定性和模糊性评价信息，但模糊集是通过单隶属度刻画模糊信息，难以满足实际决策需要。此后，国外学者对模糊集进行一系列拓展，先后提出直觉模糊集[2]、type-2型和n-型模糊集[3]等。近年来，Torra[4]提出利用具有多重隶属度的犹豫模糊集，可较好地兼顾决策者意见不一致和模糊源过多的情形，更适合表达决策偏好[5]。

目前，针对解决犹豫模糊多属性决策问题的研究，主要有两类决策分析方法。一类方法是考虑决策者行为是完全理性的，这类方法已取得较丰硕的研究成果[6～15]，大致可分为三种情况：一是基于距离测度的决策方法，以TOPSIS和VIKOR等方法为典型代表。Xu等[6]研究以若干精确值和区间值表示隶属度的犹豫模糊TOPSIS决策方法，利用欧几里德距离测度各备选方案到正负理想点的相对贴近度，并依据相对贴近度的大小实现方案排序。然而，Xu等[6]选用的距离测度公式并未考虑犹豫模糊元中元素的不同隶属程度。Liao等[7]和Zhang等[8]进一步拓展VIKOR决策方法在犹豫模糊环境的应用。Zhang等[9]提出基于标记距离的QUALIFLEX犹豫模糊决策方法。二是基于集成算子理论的决策方法。Xu等[10]提出一系列犹豫模糊集成算子，并探讨算子间的相互关系。Yu[11]和Wu等[12]分别提出犹豫模糊Choquet平均算子和广义犹豫模糊Bonferroni算子，并应用于多准则决策问题。三是基于方案两两比较的决策方法。Chen等[13]提出基于级别优先关系的犹豫模糊ELECTRE决策方法。王坚强等[14]提出犹豫模糊语言Hausdorff距离公式，并建立基于优序关系的犹豫模糊语言多属性决策模型。于倩等[15]研究了基于ELECTRE方法的区间犹豫模糊多属性决策问题。

另一类方法是考虑决策者行为是有限理性，这类方法主要是基于前景理论展开[16,17]。Zhang等[16]提出一种基于前景理论的交互式TOMID犹豫模糊多属性决策方法。谭春桥等[17]将证据理论和前景理论相结合，提出一种基于证据-前景理论的犹豫-直觉模糊语言多准则决策方法。

上述研究成果极大丰富了犹豫模糊多属性决策的理论与方法，从已有研究成果看，大部分研究仅适用于以精确值或区间值表示隶属度的犹豫模糊决策方法。然而，在实际决策中，考虑到决策环境的复杂性、决策者认知的局限性和时间等限制因素，决策者往往难以给出以精确值表示的隶属度；而以区间值表示隶属度，由于区间值缺少中心，经过一系列复杂运算后很可能进一步扩大或缩小区间取值范围。为克服这一缺陷，Wei等[18]提出三角犹豫模糊集，采用若干间的三角模糊数表示隶属度，可以有效避免原始信息缺失，处理某些现实决策问题时更加便捷有效[18～21]。Wei等[18]提出一系列三角犹豫模糊平均算子，包括三角犹豫模糊加权平均(HTFWA)和三角犹豫模糊加权几何(HTFWG)算子等。Zhao等[19]将Einstein运算引入三角犹豫模糊决策分析中，建立基于三角犹豫模糊加权平均(HTFEWA)和三角犹豫模糊加权几何(HTFEWG)算子的决策模型。Zhong等[20]提出三角犹豫模糊Choquet有序平均(HTFCOA)算子，处理属性间关联影响的决策问题。梁邦龙等[21]建立基于三角犹豫模糊加权Bonferroni(HTFWBM)算子的决策模型。

需要说明的是，上述关于三角犹豫模糊多属性决策问题均建立在决策者完全理性的基础上，在实际决策中，决策者对待收益和损失持有不同的心理态度，这实际上反映决策者心理行为特征对决策的影响。因此，考虑如何将决策者心理行为特征引入三角犹豫模糊决策分析中，并给出相应方法是十分必要的。基于此，本文提出一种基于前景理论[22]和模糊结构元[23～25]的三角犹豫模糊决策分析方法。

1 基础理论

1.1 三角犹豫模糊集

1.2 模糊结构元

定义4[23]设E为实数域R上的模糊集，其隶属函数记为E(x)，x∈R。若E(x)满足下述性质：

(1)E(0)=1；

(2)在区间[-1,0)上是单增右连续函数，在区间(0,1]上是单降左连续函数；

(3)当x∈(-∞,-1)或x∈(1,+∞)时，E(x)=0，则称模糊集E为R上的模糊结构元。

若模糊结构元E满足以下性质：

(1)对于∀x∈(-1,1)，E(x)>0。

(2)在区间[-1,0)上是连续且严格单调增函数；在区间(0,1]上是连续且严格单调降函数，则称模糊集E为正则模糊结构元。若E(x)=E(-x)，则称模糊集E为对称模糊结构元。

及对于模糊结构元E，其隶属函数E(x)为：

结构元加权序不仅考虑模糊数承集元素的大小关系，还综合考虑元素的隶属程度，即隶属程度较大的元素在比较中起更重要的作用[25]。

1.3 前景理论

前景理论[22]以决策者有限理性为前提，能够较好地刻画决策者的心理行为特征。前景价值函数是决策者根据实际收益或损失产生的主观感受，定义如下：

其中，Δx为偏离某一指定参考点的程度，若Δx≥0，表示决策者的心理感受为收益；若Δx<0，表示决策者的心理感受为损失。α，β为决策者的风险态度，且0<α，β<1 ，α和β越大，表明决策者越倾向风险寻求；θ为决策者对待损失的风险规避态度，θ>1，表示相对收益而言，决策者对待损失更敏感。

前景理论的核心思想是决策参照点的选定，在实际决策中，可考虑将正负理想点作为决策参照点。决策者将属性值超过负理想点的部分视为收益；而将属性值低于正理想点的部分视为损失，且对待收益和损失分别持不同的风险寻求和风险规避态度，这实际上体现决策者心理行为对决策结果的影响。

2 三角犹豫模糊元的结构元形式和距离公式

2.1 三角犹豫模糊元的结构元形式

=H{f1(E),f2(E),…,fl(E)}

=H{fλ(E)|λ=1,2,…,l}

(1)

2.2 三角犹豫模糊元的海明距离

(2)

这里，式(2)是由定义5的结构元加权序诱导出。容易证明，式(2)满足下述性质1。

3 前景理论下的三角犹豫模糊决策方法

考虑含有三角犹豫模糊信息的多属性决策问题，具体描述如下。

Step1构造标准化三角犹豫模糊决策矩阵M=(hij)m×n。

(3)

(4)

其中，j=1,2,…,n，lj为第j项属性的长度。

Step3依据式(1)计算标准化属性值的结构元形式，计算公式为：

(5)

其中，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，lj为第j项属性的长度。

Step4构建优化模型，确定属性权重。

在属性权重信息完全未知的情况下，文中利用离差法[29]确定属性权重，即通过求解属性间距离离差最大化的优化模型计算权重。该方法的核心是利用距离公式计算某一属性下所有备选方案的离差值，该值越大，表示该属性对备选方案的排序起较大作用，则应赋予较大权重；反之，若某一属性关于备选方案的离差值很小，表示该属性对决策方案的排序基本不起作用，则可令其权重为0。

首先，构造距离离差最大化的优化模型为：

(6)

其中，dH(hij-hkj)为hij和hkj的海明距离，由式(2)确定。

进一步，为求解上述优化模型，需构造拉格朗日函数：

(7)

其中，L(w,ξ)是拉格朗日函数，ξ为实数，表示拉格朗日乘子变量。对式(7)求偏导：

求解上述方程组得：

(8)

方便起见，对式(8)作归一化处理，得最优权重为：

(9)

依据式(9)计算属性权重向量w=(w1,w2,…,wn)T。

Step5依据式(2)计算标准化属性值到正理想点和负理想点的距离，计算公式为：

(10)

(11)

Step6分别构造收益矩阵和损失矩阵，计算公式为：

(12)

(13)

其中，i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，α，β和θ分别为给定参数[22]。

需要指出的是，在实际决策中，依据前景理论，若以负理想点作为决策参照点，则构造收益矩阵，如式(12)所示；若以正理想点作为决策参照点，则构造损失矩阵，如式(13)所示。

Step7应用TOPSIS方法，计算各备选方案的相对贴近度，计算公式为：

(14)

其中，若Ci(i=1,2,…,m)越大，说明方案Yi越远离负理想点，接近正理想点，则方案Yi越优。因此，可依据Ci值的大小对备选方案进行排序和优选。

4 算例分析

4.1 基于前景理论的三角犹豫模糊决策方法

为验证本文提出方法的正确性和有效性，引用文献[19]的算例进行验证和分析。

Step1构造标准化三角犹豫模糊决策矩阵M=(hij)5×4。设决策者为风险厌恶型，则选择重复添加三角犹豫模糊元中最小的模糊数至该属性长度相等[27]。则构造标准化三角犹豫模糊决策矩阵，如表2所示。

Step2依据式(3)和(4)计算标准化决策矩阵的正负理想点，计算结果如下:

Y+=(H{(0.7,0.8,0.9)},

H{(0.7,0.8,0.9),(0.8,0.9,1.0)}

H{(0.4,0.5,0.6),(0.6,0.7,0.8)}

H{(0.5,0.6,0.7),(0.5,0.6,0.7),

(0.6,0.7,0.8)})

Y-=(H{0.3,0.4,0.5},H{(0.2,0.3,0.4),(0.2,0.4,0.5)},

H{(0.1,0.2,0.3),(0.1,0.2,0.3)},

H{(0.2,0.3,0.4),(0.2,0.3,0.4),(0.2,0.3,0.4)})

Step3依据式(5)计算表2中标准化属性值hij(i=1,2,3,4,5,j=1,2,3,4)结构元形式，例h11=H{(0.4+0.1E)}，h12=H{(0.7+0.1E),(0.8+0.1E)}。其他标准化属性值结构元形式的计算方法依此类推。

Step4由于属性权重信息完全未知，依据式(9)计算权重向量，则w=(0.2255,0.3154,0.2661,0.1930)T。

Step5依据式(10)和(11)计算标准化属性值到正负理想点的距离，计算结果如下：

表1 三角犹豫模糊决策矩阵

表2 标准化三角犹豫模糊决策矩阵

Step6依据式(12)和(13)分别构造收益矩阵和损失矩阵，计算结果如下：

其中，α=β=0.88，θ=2.25[22]。

Step7依据式(14)计算各备选方案的相对贴近度为C1=0.1951，C2=0.2932，C3=0.6008，C4=0.3285，C5=0.2553。因此，确定供应商的排序为Y3≻Y4≻Y2≻Y5≻Y1，最优供应商为Y3。

4.2 对比分析

为验证本文方法的正确性，与文献[16,18,19]的决策方法进行对比分析，排序结果见表3。比较分析以上不同方法可得结论如下：

(1)根据文献[6]区间犹豫模糊海明距离公式，给出三角犹豫模糊海明距离为：

(15)

利用TOPSIS方法得到备选方案排序与本文方法略有不同，主要原因为：一是文献[6]的方法仅以备选方案到正负理想点的距离作为决策尺度，并未考虑决策者对待收益和损失持有相同的风险偏好。而本文方法充分考虑决策者心理行为特征对决策的影响，放大决策者面对收益和损失的风险偏好，本文方法更符合决策实际。二是文献[6]利用的距离公式，并未考虑犹豫模糊元中元素的不同隶属程度，而本文方法通过结构元序诱导出的海明距离，不仅实现三角模糊数元中元素承集的大小比较，还考虑元素的不同隶属程度，简洁地实现三角犹豫模糊元的排序和选择问题，避免决策信息缺失，计算过程更科学客观。

(2)使用基于集成算子方法进行决策时，与本文方法相比，得到方案排序顺序略有不同。主要原因在于文献[18,19]的集成算子方法均是建立在决策者完全理性基础上，并未考虑决策者心理行为对决策结果的影响。而本文方法充分考虑决策者心理行为特征对决策的影响，显然本文方法更符合决策实际。此外，文献[18,19]得到备选方案的综合评价值均为三角模糊数，需选择相应方法[28]实现模糊数的排序，决策结果具有一定主观性和不确定性。

表3 基于不同方法的方案排序结果

5 结论

本文提出一种基于前景理论与模糊结构元的三角犹豫模糊多属性决策分析方法。首先，给出三角犹豫模糊元的结构元形式，并通过结构元加权序诱导出三角犹豫模糊元海明距离公式，进而将三角犹豫模糊元的复杂变换关系转化为上同序单调有界函数的运算，简化其运算和变换，避免有效信息缺失，为犹豫模糊元的比较和排序提供一条有效途径。其次，将前景理论引入三角犹豫模糊决策分析，克服传统多属性决策方法完全理性的缺陷，考虑决策者面对收益和损失时具有不同的风险偏好，符合人类本身非理性的决策模式。

运用本文方法，不仅能够较好地处理与融合决策过程的三角犹豫模糊信息，同时决策结果有效反映决策者的心理行为特征，为进一步利用模糊结构元理论处理犹豫模糊多属性决策问题并应用至其他模糊决策领域开拓了新思路。