刘 阳，李团结，陈聪聪，唐雅琼

(西安电子科技大学 机电工程学院，陕西 西安 710071)

在卫星通信、对地观测、深空探测等航天领域，空间可展开天线起着重要的作用，其应用十分广泛。随着空间技术的发展，许多科学应用领域对大口径和超大口径空间可展天线的需求越来越高。由于受火箭载荷及空间的限制，口径大、质量轻、收缩比高的可展开天线成为各航天大国的研究重点[1-3]，为此各国学者提出了形式众多的空间可展开天线结构概念，环柱天线是其中最具潜力的结构形式之一[4]。

可展开天线的结构形式多样，对于大口径天线，最常用的反射面结构为网状反射面。网状反射面具有曲面成型精度高、收拢体积小、天线的展收比大等优点，在卫星通信及遥感等领域得到了广泛应用，受到各航天大国普遍关注，具有制作大口径和超大口径天线的前景[5-7]。文中所研究的环柱天线是可展开索网天线的一种重要形式，美国国家航空航天局(NASA)的兰利研究中心(Langley Reseacherch Center)与Harris公司在1980年前后共同提出环柱天线的概念[8]，它是一种预拉压结构，主要分为周边圆环、中心伸展立柱、索网系统和金属丝网反射面几部分，当天线收拢时，周边圆环在电机的驱动下向中心收拢，收拢体积可以很小[9-10]。为了验证这种方案的可行性，美国国家航空航天局制作了口径为15 m的环柱天线样机[11-12]，其收拢直径为0.9 m，收拢高度为2.7 m，天线总重为291 kg，并对其性能进行了测试[13]，这类天线的展开结构较为简单，但索网系统复杂，网面设计和调整难度比较大[14]。

为此，笔者根据环柱天线结构组成，确定了环柱天线索网的几何构型，采用分步求解的方式计算其预应力分布，并修正节点坐标，得到环柱天线的最终节点坐标和预应力分布。最后通过有限元仿真验证了所述索网结构设计与分析方法的有效性。

1 索网结构几何设计

环柱可展开天线的主要结构如图1和图2所示。主要包含周边圆环、中心伸展立柱、索网系统和金属丝网反射面。

图1 环柱天线三维图

图2 环柱天线结构图

天线的中心立柱由可伸缩的套管组成，分为中心毂和上下立柱。周边圆环是由48节杆件铰接而成，通过上下各48根环支撑索分别与上下立柱端点相连，给周边圆环提供支撑，天线网面固定在周边圆环与下立柱之间，起着支撑和定位周边圆环的作用，前网面采用三角形拓扑，通过竖向和斜向张紧索与背索相连，使前网面的节点落在理想抛物面上，网面的背后连接着调整索，用以形面精度调整。这些索是由高刚度低热膨胀系数的石墨材料组成的，给金属丝网提供了一个非常稳定的支撑结构。馈源支架是一个独立的结构，用以支撑馈源阵列。收拢时，周边环可以折叠起来收缩到中心柱周围一个很小的体积内。

图3 1/2片索网结构示意图

文中的重点是研究环柱天线的索网系统设计，对于这种正馈旋转抛物面可展开天线的网面设计，可以从单片索网入手，首先确定单片索网节点坐标与拓扑，然后将单片索网进行坐标旋转得到完整索网，完成其几何设计。整个索网分为48片。1/2片索网结构如图3所示。

1.1 前网面设计

前网面是一焦距为60 m的抛物面，以抛物面最低点为坐标原点，前网面的节点位置与编号如图4所示，前网面内圈和外圈半径分别为8 m和48 m，单片网面对应圆心角为7.5°。为了使索网在静力平衡时张力分布均匀，应使前网面节点尽量呈对称分布。将边界拉索AB沿弧长方向均分为27份得到AB间节点坐标，其他节点坐标由边界拉索AB上节点旋转相应角度得到。引入垂跨比调整环连接索节点位置，用以降低环连接索对周边圆环的拉力，减小周边圆环变形。

图4 单片索网结构前网面示意图

1.2 背网面节点坐标设计

图5 背网面结构示意图

背网面节点分布如图5所示，调整索连接悬链线索与下立柱端点，调整索与x轴的夹角分别为68°、46°、36.2°和32°，竖向张紧索连接边界索与悬链线索，使前网面位于理想抛物面上，方向沿抛物线在该点处的法线方向。

综上所述，可以得到单片索网的节点坐标与拓扑，天线反射面为正馈抛物面，由对称特性将单片索网旋转阵列即可得到索网整体坐标与拓扑。

2 索网结构预应力分析

索网天线的形面精度由前网面节点位置决定，而索网结构只有在施加预应力后才具有刚度，天线在这组预应力的作用下保持平衡且前索网节点均位于理想抛物面上，因此索网结构的预应力设计是否合理直接影响着天线的形面精度。索网预应力求解问题中，常用的方法有力密度法、有限元法和动力松弛法等，文中采用力密度法求解环柱天线索网预应力。

2.1 力密度法基本原理

力密度法是一种常用的索网结构找形方法，最初由Schek等提出[15]，力密度定义为索段的张力和索段长度的比值。通过力密度的概念对索网结构力平衡方程进行变形，解决了原来求解非线性方程组较复杂的问题，极大地降低了求解的难度，更加有利于运算[16]。在力密度法中，网面的平衡位置与力密度值是相对应的，只要已知一组力密度，对应的网面节点坐标就能够直接求出。

对索网结构列节点力平衡方程，以x方向为例，节点i的平衡方程如下所示：

(1)

其中ci为与节点i相连的所有点，节点i、j构成的索段称为索段ij，Tij、Lij分别为索段ij的张力和长度，Pix为节点i在x方向上所受的合力。力密度qij=Tij/Lij，则式(1)变换成

(2)

对环柱天线所有节点列平衡方程，如下所示：

CTQCx=Px,

(3)

其中C为索网结构的拓扑矩阵，维数为m×n，m、n分别为索段和节点的数目；Q为索段力密度矩阵，维数为m×m，它是一个对角阵，对角线上每一个数值分别对应相应索段的力密度。索网节点可分为自由节点和边界固定节点两类，数量分别为nf和ng，因此可以将拓扑矩阵C拆分为Cf和Cg，分别对应自由节点和边界固定节点；同理，节点的x坐标也可以分为xf和xg，分别对应自由节点和边界固定节点的x坐标。索网平衡时，自由节点所受的合力为零，边界固定节点所受的合力为支撑框架给索网的支反力，设其大小为Pxg，则式(3)可变换为

(4)

(5)

在索网力密度已知的情况下，求解式(5)可以解出所有自由节点的x坐标。运用同样的方法，可以计算出它们y、z方向的坐标。通过此方法，给定一组力密度，无需迭代，可以快速求解与之对应的自由节点坐标。文中索网结构的几何拓扑已知，需要寻找与之对应的预应力，所以需要对力密度法进行改进。首先假定一组初始预应力，通过力密度法求解出与之对应的平衡状态下的自由节点坐标，通过节点坐标计算得到当前索段长度。为了得到新的力密度，可以通过下式进行迭代[17]：

qi+1=qili/l0，

(6)

式中,li为通过平衡后坐标计算得到的当前索段长度，l0为给定的初始索段长度。

2.2 预应力求解

进行索网预应力求解时，将周边圆环结构和中心立柱作为刚性结构，不产生变形，相关节点固定。整个索网结构共有346×48=16 608根索，每一根索对应一个力密度值，如果对索网整体进行力密度迭代，则变量太多，求解较为复杂，甚至有可能找不到解。为此，将索网拆分为前、后索网两部分分步求解。前索网包含前网面、张紧索和悬链线索，其余索为后索网。首先由力密度法计算前索网的预应力，然后根据求得的预应力由节点力平衡计算剩余索预应力。考虑到旋转抛物面索网结构的对称性，此处仅需对其2/48分块的索网进行预应力求解，图6为索网结构2/48分块的示意图。

图6 前索网结构示意图

2.2.1 前索网预应力求解

图7 修正节点示意图

前索网的结构如图6所示，对索网结构进行预应力优化设计时，将前索网的边界节点作为固定节点处理，固定节点的位置如图6中圆点标记所示。上下两个分块关于竖直平面P3对称，上分块与下分块自身分别关于竖直平面P1和P2对称。为了进一步减少变量，同时保证由分块旋转得到整体时索力能够平衡，选取P1和P2之间的索力密度为设计变量，其余索力密度由对称特性直接赋值。

图7所示为前网面中需要修正的节点位置，受到结构的限制，这些节点背后并没有连接张紧索，故结构平衡时会偏离抛物面。由于这些节点所在的三角形面片尺寸明显小于其他面片，所以节点的偏离带来的误差可以归于面片拟合误差。在预应力设计阶段，为了使索网结构更容易达到稳定平衡状态，在迭代过程中，根据有限元软件计算结果更新索网中需要修正节点的坐标。

为了索网结构的预应力分布更加合理，悬链线索的节点坐标也需要进行调整，采用的方法与前网面中节点修正方法一致。

综上前索网预应力求解流程如图8所示，求解程序编制的步骤如下：

(1)给定所有索段初始力密度q0，单步迭代次数n；

(2)求解式(5)得到第i次节点平衡坐标(初次计算时i=0)；

(3)根据平衡后节点坐标更新索段力密度qi+1=ti/l0，并给对称索力密度赋值；

(4)解式(5)得到第i+1次节点平衡坐标；

(5)判断迭代次数是否达到单步迭代次数n。若达到，则转入(6)，若未达到，则i=i+1，重复(2)～(4)；

(6)将所求得的索力代入ANSYS软件中进行静力分析；

(7)判断当前索网节点是否满足精度要求。若满足，则输出此时索段力密度，退出计算；若不满足，则根据ANSYS软件计算结果修正无张紧索和悬链线索节点坐标，重复(2)～(6)。

2.2.2 后索网的预应力求解

图8 前索网预应力求解流程图

如图5所示，前索网的预应力已经计算得到，针对剩余索段列节点力平衡方程，只需给定其中一根索的预应力，即可计算出其余索的预应力。文中指定下轮毂索力密度值，求解平衡方程得到剩余索段力密度。

2.3 仿真验证

利用上述方法计算得到所有索段预应力。为了验证文中方法的有效性，将分析所得的预应力作为初始应变导入索网结构有限元模型中，周边圆环和中心立柱作为刚性结构处理，不考虑重力的影响，进行非线性有限元分析，分析结果如表1所示。

表1 仿真分析结果

图9和图10分别为位移云图和索力分布云图。可以看到最大的节点位移为1.93×10-7m。该节点位移已经很小，可以认为有限元仿真中出现的节点位移来自于预应力计算过程中的截断误差。也就是说，通过该方法得到的预应力是正确的，且具有较高的精度。

图9 位移云图

图10 索力分布云图

3 结束语

环柱天线具有构建大口径和超大口径天线的潜力。文中根据环柱天线结构特点确定了环柱天线索网结构的成形方法，将索网拆分为前后索网两部分分别进行预应力求解。对于前索网，根据对称特性进行变量归并，采用力密度法求解预应力，并修正节点坐标；由节点力平衡求解后索网预应力。最后通过仿真分析，验证了文中所提方法的可行性与有效性，为今后复杂索网的找形提供了一种思路。