胡文豪

(甘肃省临夏县田家炳中学 731801)

二次函数是最重要的初等函数，通过它可以研究函数的很多性质，并且与方程、不等式、三角函数、数列等有着广泛的联系.高考很多问题都要转化为二次函数来处理，因此在学习过程中，要对这一内容引起足够的重视，并且要通过深入的研究到达必要的广度和深度，才能顺利的处理相关的高考试题.

一、含有参数和绝对值符号的二次函数问题

(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围；

(2)①求F(x)的最小值m(a)；

②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).

解析(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0;M(a)=max{f(0),f(2)}=2.

当x>1时，(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(x-2a).所以使得等式成立的x的取值范围为F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围是[2,2a].

②当0≤x≤2时，F(x)=f(x)，此时

M(a)=max{f(0),f(2)}=2;

当2≤x≤6时，F(x)=g(x)，此时

M(a)=max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}.

点评(1)分别对x≤1和x>1两种情况讨论F(x)，进而可得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x取值范围；(2)先求f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2的最小值，再根据F(x)的定义可得F(x)的最小值M(a)；(3)分别对0≤x≤2和2≤x≤6两种情况讨论F(x)的最大值，进而可得F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).

“穷则思变”解题中要注意思维的变通，数学问题的变化性大，条件稍微有所变化，就会引起“狂风波澜”，因此，在解题中重视“转化与化归、数形结合、分类讨论”等核心数学思想方法学习的基础上，多注意解题后反思，做到思想方法的灵活运用.

二、可转化为二次函数性质求解的问题

点评本题通过换元，直接把问题转化成了一个二次函数的最大值问题.