郑敏 秦翠

摘 要：运动学是理论力学中非常重要的内容之一，它不仅是分析动力学的基础，而且可以结合虚位移原理解决很多静定问题。运动学解题方法非常灵活，初学时往往不能熟练的运用其内容，不能正确分析质点、刚体的运动情况。本文通过运用运动学知识和数学分析方法，从不同切入点分析不同类型的问题，从而扩展学生思维，帮助学生将课程前后内容进行融会贯通，加深对运动学问题的认识。

关键词：理论力；运动学；分析

理论力学是很多理工科专业学生的一门重要基础课程。理论力学的理论性很强，其中公式高度概括并且比较抽象，需要一定的空间想象力和数学分析能力。本文从运动学分析，运动学内容包括质点运动学，刚体的简单运动，点的合成运动，刚体的平面运动等问题。求解的问题一般是点的运动轨迹、质点速度和加速度、刚体转动的角速度和角加速度等。解题时，运用速度投影投影法、基点法、速度瞬心法、点的速度和加速度合成运动定理、数学微积分、坐标法、矢量法等。熟练结合个方法后，可以做到问题的一题多解、一题巧解。下面举例子说明。

例1：用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M沿水平轴x做往复运动，如图1所示。设Oxy为定坐标系，刀尖的运动方程为x=bsinwt。工件以等角速度w逆时针转动。求车刀在工件圆端面上切出的痕迹。

解法一 根据题意，需求车刀刀尖M相对于工件的轨迹方程。

设刀尖M为动点，动系固定在工件上，则动点M在动系 和定系

中的坐标关系为

则点M的绝对运动方程为

得出车刀相对于工件的运动方程。

从上两式中消去时间t，得刀尖的相对轨迹方程为

可见，车刀在工件上切出的痕迹是一个半径为 的圆，该圆的圆心C在动系y' 轴上。

解法二 以Oxy為定坐标系，以M为动点，M水平移动，工件以等角速度逆时针转动，分析工件和M之间的相对运动，故选取极坐标系，以固定点O为极点，并取极轴为刀尖运行在直线方向。

由于刀尖M始终沿极轴方向，则M始终只在径向运动，工件逆时针转动，则刀尖M相对工件顺时针转动，转动时极径不发生变化，故只有环量，可列方程

可解得 从方程可知切出痕迹是一个半径为 的圆，圆心为（ ， ）。

小结：

分析出刀尖和工件的运动情况，求运动轨迹的一般方法是坐标系法，可以建立相对运动的动参考系，利用动参考系和定参考系之间的关系求解。同时，结合数学分析方法，我们可以进一步运用极坐标直接求解简化问题，分析时也更为清晰。

例2：在曲柄齿轮椭圆规中，齿轮A和曲柄O1A固结为一体，齿轮C和齿轮A半径均为r并互相啮合，如图2所示。图中AB=O1O2，O1A。O1A以恒定的角速度w绕轴O1转动， 。M为轮C上一点，CM=0.1m。在图示瞬时，CM为铅锤，求此时M点的速度和加速度。

图2

解法一： AB平动，所以

， 由基点法得出两轮啮合点D的速度

， 上两式中 ，故 解得 ，

又由 ， 解得

同理

解法二：以A为动点，动系在 ，定系在 。

从动系中可知齿轮A，齿轮C的角速度和角加速度关系 ，

动系中点M坐标关系为

速度，加速度以A为基点可分析出定系下M的速度和加速度

联立方程得 ，

小结：运用刚体平行移动、刚体定轴转动的规律，逐步分析，最后解决问题的关键点：齿轮A和齿轮C的牵连点。运用速度投影法、基点法等方法进行求解。另外，在分析时可以建立动参考系，综合运用坐标系和速度加速度合成定理求解，这样简化了运动分析，清晰思路。

例3：如图3所示，杆AB的A端沿水平面以匀速VA 运动，在运动过程中，杆AB始终与一半径为R的固定半圆相切。试求当θ=30°时杆AB的角速度和角加速度。

解法：如下图3，

图3

定系固连于O点，以A为动点，其牵连转动角速度与AB杆转动角速度相等

加速度分析

绝对加速度 ，式中只有 和 大小未知 速度投影后解得

角速度w的转向为逆时针，角加速度转向为顺时针。

小结：运用相对运动、牵连运动和绝对运动之间的关系，选择合适的参考系下进行分析。利用A点绝对速度和加速度已知，分别求出牵连速度和牵连切向加速度。当然，通过数学分析，求出角度的改变量与时间的函数关系，进一步求导可得出结果。

总结：

运动学内容极为丰富，但在总体上结合数学方法和理论力学定理之后，可以实现一题多解、一题巧解，面对复杂问题时，融汇贯通这两者可以更深入了解问题的本质，让意识形态领域深华。

参考文献：

[1]理论力学（1）（第七版）同步辅导及习题全解/刘东星，郭志梅主编.--北京：中国水利水电出版社，2010.2.

[2]大学生力学竞赛与建模/刘章军，熊敏，叶永编著--北京：中国水利水电出版社，2012.6.