江苏省苏州高新区实验初级中学 袁效德

动点问题是初中数学的热点问题。动点与函数图像相结合，信息经常被隐含在图像中，成为学生理解问题的难点。当涉及多个动点时，学生更是难以理解信息。点的运动引起图形的形状、位置、数量关系等的变化，从而需要进行分类讨论，对学生思维的全面性和严密性都提出了较高的要求。教师需要教会学生看图、析图，进而掌握解决问题的一般方法。本文以一道中考模拟卷中的双图题为例，谈谈对于培养学生看图、识图、析图能力的几点思考，以求抛砖引玉。

一、试题再现

（2019年苏州高新区中考一模）如图1，矩形ABCD中，BC＝12cm，点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A—B—C匀速运动，运动到C点时停止；点Q从B点出发，以acm/s的速度沿B—C—D—A匀速运动，运动到A点时停止。若P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t（s），△PBQ的面积为S（cm2），S与t之间的函数关系由图2中的曲线段OEF、线段FG，GH表示。

图1

（1）a＝_______，AB＝________；

（2）求图2中曲线段OEF对应的函数表达式以及这个函数的最大值；

（3）当0≤t≤2，若△PDQ为直角三角形，求t的值。

图2

二、试题分析

首先，该题作为中考模拟的压轴题，有一定的灵活性，主要考查利用一次函数与二次函数的图像，结合点的运动，求三角形的面积及判断三角形的形状。将代数与几何有机地融合在一起，具有很强的综合性。

学会看图、识图是解决此题的首要难点。结合题意以及函数图像，弄懂图1中动点P,Q的位置与△PBQ面积之间有怎样的关系？此题可以用三个问题进行点拨。首先，图2中的一些特殊点E,F,G,H表示的意义是什么？其次，图2中的函数图像分为三段（二次函数，两个一次函数），它们的增减性说明了什么？最后，图2中点F的横坐标为2，点P,Q是否还有其他的位置？归根结底，要弄清动点拐弯时引起面积S如何变化。

为了弄清楚上面三个问题，我们可以分情况讨论。根据图2中曲线OEF，说明动点P在AB上，Q在BC上（图3）。根据曲线OEF和直线FG，说明动点P,Q的位置关系分两种情况：P在AB上，Q在CD上；P、Q都在BC上。（图4，图5）

图3

图4

图5

图6

图7

根据G点在x轴上，说明△PBQ面积为0，动点P,Q的位置关系又分两种情况：P在点B；Q在点D（图6），P,Q继续运动后△PBQ（如图7）；P在点B，Q在CD上，P,Q继续运动后，△PBQ的面积，排除直线上升。

解决双图像问题，要善于从函数图像的特征、位置以及函数的变化趋势等方面分析出有用信息，利用分类讨论进行“数与形”的相互转化，最终获得解决问题的途径。在教学过程中，教师要留有时间让学生读图，通过阅读题目和观察函数图像，分析出图像中的各特殊点的意义。

三、试题起源

本题可在苏教版教材37页第15题找到源头。在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动。当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动。试写出△PBQ的面积S与动点运动时间t之间的函数表达式，并求出△PBQ的面积最大值。

本试题中动点的运动信息及矩形特征都没有给出，而是通过图8间接给出，这是其与课本题的区别，可谓源于课本，又高于课本。

图8

四、关于识图、析图能力培养的些许思考

波利亚在《数学的发现》序言中说：“掌握数学就意味着善于解题。”教师要引导学生利用图形信息，学会自主学习，掌握读图、析图的相关技能，加强与生活的联系，从学生熟悉的问题情境出发，激发学生的学习积极性，帮助学生掌握信息转化的策略。注重学生的探索与思考的能力培养，积累数学学习的基本活动经验，发展学生核心素养的能力。

1．正视错误，适时引导

教师应放手让学生自主看图，让学生自己分析，从图中分析问题，并找出解决问题的方法。首先，在教学过程中，应允许学生犯错，让学生暴露问题，才能挖掘图形的隐含知识。例如：对双图问题分析不全面，教师可以让学生将动点与函数图像学会比对，实践再操作，这样的互动过程就是培养学生的数形结合思想。其次，还可以在课堂上通过小组合作讨论的方式进行补充和完善，引导学生从不同的角度思考问题，提取双图中的重要信息，强化识图能力，真正达到提高学生的看图、识图能力。最后，要注重解题反思，既是对解题的回顾，将知识进行内化的过程，也有利于教师转变思想，提升专业素养的有效途径。

2．研究教材，重视基础

教师首先必须研透教材，要重视对课本习题的发生、发展的挖掘，明确问题的来龙去脉，寻求问题的解决方法；其次，在习题训练上重视对基础知识、基本概念的考查为主。例如：编写预习提纲，帮助学生温故与图表相关的知识和方法，构建知识之间的联系；同时在课堂教学中精心设计问题，巧妙构思，认真组织，引领学生主动探究，在实践活动中教会学生如何思考双图模型，进一步体会数形结合思想的运用。

3．认识图像本质，积累经验

教师通过适当的变式和引申进行巩固，寻找解决双图像问题的基本方法，通过适当的题组练习，训练学生从函数图像中挖掘几何图形特征，探索动点运动特点，从而积累解决双图问题的解题经验，培养分析问题能力和图形运用能力。

总之，双图问题将运动与函数相结合，是培养学生看图、识图能力和提升学生的逻辑思维能力的有效载体。几何识图能力是学习数学的核心能力之一，对培养学生的空间想象能力和空间观念是至关重要的。重视培养学生的空间想象能力和几何直观，既落实了课程发展的需求，也满足了课程标准对培养学生能力提出的要求，同时也是适应社会发展的需要。