安徽省宿州市砀山中学 (235300)

王 义 赵 忍

1.试题呈现

图1

已知圆O：x2+y2=1，定点M(3,0)，如图1，过点M的直线l与圆O交于P，Q两点，P，Q两点均在x轴上方，若OP平分∠MOQ，则直线l的方程为.(2019安徽省淮北、宿州一模第15题)

2.试题赏析

本题以解析几何为背景，以直线与圆为依托，既考查直线的方程，圆的参数方程，三角函数的定义，正余弦定理及向量的相关知识，又考查数形结合，参数方程，化归转化等数学思想方法，同时也考查直观想象，逻辑推理，数学运算等数学素养，此题看起来背景熟悉，平淡无奇，但实际内涵丰富，解法颇多，区分度较高，是一道难得一见的好题.

3.解法探究

思路1：由过两点的斜率公式求直线的斜率k.

思路2：直接求直线的斜率.

解法6：由题意直线l的斜率不可能为0，故设直线l的方程为x=my+3与圆x2+y2=1联立得(m2+1)y2+6my+8=0，由韦达定理得y1+y2=

思路3：求直线l的倾斜角α.

4.教学启示

(1)在教学中落实必备知识，提升学生分析问题的能力

在本题中，大部分学生束手无策，没有思路，所以要求我们一线教师在教学中，不能只求课堂容量而不花时间引导学生分析问题的本质，因此在高三复习时教师要帮助学生从学科整体高度上再次加深对概念的理解，知识的掌握及运用，体会数学化过程，多角度，多层次分析，理解概念的表征，提高学生的抽象概括能力，逻辑思维能力，直观想象能力，提升学生分析问题，解决问题的能力.例如：本题条件是角平分线，应想到角平分线定理及性质，向量的基底表示，求过一个已知点的直线l的方程，应想到求直线斜率、倾斜角等相关知识.

(2)在教学中加强基础知识的复习，提升学生数学运算能力

在本题中，考查解析几何，三角函数及解三角形的相关知识，部分同学想到解法5，解法6，但心存畏惧，不能做到最后，得不到正确的结果，半途而废.因此在平时教学中应加强基础知识的复习，提升学生的数学运算能力.数学运算主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果等，教师绝不能越俎代庖，思路代替不了运算.

(3)在教学中注重渗透数学思想方法，提升学生逻辑思维能力

在本题中，解法1，解法2借助向量求解，体现数型结合思想.解法8借助直线参数方程求解，但由于学生对数学思想方法生疏，考生不易想到，因此教师应有意识地在传授知识的同时，通过典型习题的多解探究，帮助学生揭示相关的思想方法，使他们在获得知识的过程中，掌握通性、通法，提升学生逻辑思维能力，真正做到“做一题，通一类，会一片”.