高 升

(合肥工业大学 数学学院，安徽 合肥 230601)

引 言

为方便讨论,先引入一些记号和定义。本文提到的整数,均为有理整数。表示全体整数之集，+表示全体正整数之集，≥0表示全体非负整数之集，表示全体有理数之集。两个整数a和b的最大公因子记作g.c.d.(a,b)。对任一实数x，“[x]”表示不超过x的最大整数。

特别地，当a0∈，a1,a2,a3,…∈+时，称「a0,a1,a2,…,an」为有限简单连分数，称「a0,a1,a2,……」为无限简单连分数；当a0∈而a1,a2,a3,…为大于1的整数时，称「a0,a1,a2,…,an」为有限半单连分数，称「a0,a1,a2,……」为无限半单连分数。

(1)若存在m∈≥0和k∈+，使得∀n≥m，都有an+k=an，则称为循环数列，称无限连分数「a0,a1,a2,……」或「a0,a1,a2,……」为循环连分数，称k为该数列或该连分数的周期，此时将该连分数记为或

(2)若存在k∈+，使得∀n≥0，都有an+k=an，则称为纯循环数列，称无限连分数「a0,a1,a2,……」或「a0,a1,a2,……」为纯循环连分数。

设Δ∈+非完全平方数，则可以用的无限简单连分数展开式的渐近分数给出Pell方程x2-Δy2=±1的基本解(即最小正解)和全部正整数解。这是数论中广为人知的经典结果(参见专著[2]的第3章第3节，[4]的第7章第6节，或者[5]中的定理3.18)。

对于在实二次域理论中应用广泛的Pell方程x2-Δy2=4，求解过程更复杂。根据[3]中第1章引理2.4，如果非完全平方的正整数Δ=b2+4ac，其中a,b,c∈，|b|ac，g.c.d.(a,b,c)=1，那么可以用的无限简单连分数展开式的渐近分数给出方程x2-Δy2=4的最小正解和全部正整数解。困难的地方在于，此时必须讨论的无限简单连分数展开式的最小周期的奇偶性。在最小周期为奇数和最小周期为偶数这两种情况下，方程x2-Δy2=4的解的情况存在较大差异。

本文将以二次无理数的无限半单连分数展开式为工具给出Pell方程x2-Δy2=4的最小正解和全部正整数解。