金滔 董秀成 李亦宁 任磊 范佩佩

摘 要：为了提高分数阶比例积分微分（FOPID）控制器的控制效果，针对FOPID控制器参数整定的范围广、复杂性高等特点，提出改进的粒子群优化（PSO）算法优化FOPID控制器参数的方法。该算法对PSO中惯权重系数的上下限设定范围并随迭代次数以伽玛函数方式非线性下降，同时粒子的惯性权重系数和学习因子根据粒子的适应度值大小动态调整，使粒子保持合理运动惯性和学习能力，提高粒子的自适应能力。仿真实验表明，改进的PSO算法优化FOPID控制器的参数较标准PSO算法具有收敛速度快和收敛精度高等优点，使FOPID控制器得到较优的综合性能。

关键词：分数阶比例积分微分（FOPID）控制器;粒子群优化（PSO）;惯性权重系数;参数优化;自适应

中图分类号： TP273

文献标志码：A

文章编号：1001-9081（2019）03-0796-06

Abstract： Aiming at poor control effect of Fractional Order Proportional-Integral-Derivative （FOPID） controller and the characteristics of wide range and high complexity of parameter tuning for FOPID controller， an improved Particle Swarm Optimization （PSO） method was proposed to optimize the parameters of FOPID controller. In the proposed algorithm， the upper and lower limits of inertial weight coefficients in PSO were defined and decreased nonlinearly with the iteration times in form of Gamma function， meanwhile， the inertia weight coefficients and learning factors of particles were dynamically adjusted according to the fitness value of particles， making the particles keep reasonable motion inertia and learning ability， and improving self-adaptive ability of the particles. Simulation experiments show that the improved PSO algorithm has faster convergence rate and higher convergence accuracy than the standard PSO algorithm in optimizing the parameters of FOPID controller， which makes the FOPID controller obtain better comprehensive performance.

Key words： Fractional Order PID （FOPID） controller; Particle Swarm Optimization （PSO）; inertial weight coefficient; parameter optimization; self-adaption

0 引言

分數阶比例积分微分（Fractional Order Proportional-Integral-Derivative， FOPID）控制器首先由Podlubny[1]提出，是传统比例积分微分（Proportional-Integral-Derivative， PID）控制器使用分数演算的一种推广。与传统的PID控制器相比，FOPID控制器中积分次数和微分次数不是整数，控制器参数的维度和范围变大，为实现复杂的控制性能提供更大的灵活性。分数阶控制算法中附加的积分阶和微分阶数为提高系统的鲁棒性、稳定性和暂态性能提供了更多的可能性。在控制领域，PID控制无疑是工业应用中应用最广泛的控制算法。因此，研究分数阶PIDFOPID控制器具有重要的现实意义。

与传统的PID控制相比，分数阶PIDFOPID控制器在许多科学和工程领域的理论和应用研究显示出了许多优点。然而，由于增加两个附加的参数，使得分数阶PIDFOPID控制器的参数整定变得更加复杂。目前分数阶PIDFOPID参数整定的方法有优化方法、主导极点法[2]、幅度裕量与相位裕量法[3]。随着智能优化算法的兴起和广泛应用以及计算机技术的快速发展，越来越多的优化方法应用在分数阶PIDFOPID参数整定中。李新波等[4]使用RBF（Radial Basis Function）神经网络建模得到的Jacobain信息来整定分数阶PIDFOPID控制器中的参数并应用在压电叠堆控制中。Zhang等[5]将FOPID控制器参数整定问题转化为一个非凸优化问题，引入一种新的元启发式方法——状态转移算法（State Transition Algorithm， STA）来选择最优的FOPID控制器参数。张欣等[6]采用量子粒子群（Quantum Particle Swarm Optimization， QPSO）优化算法优化分数阶PIDFOPID控制器参数，融合了量子计算的方法和粒子群算法的思想，使得算法具有更强的全局寻优能力，克服了粒子群算法早熟收敛的缺点。Aghababa[7]在粒子群优化算法的原速度更新公式中加入自适应加速器参数，提高优化FOPID控制器参数的速度。Das等[8]使用线性二次型调节器（Linear Quadratic Regulator， LQR）优化分数阶PIDFOPID控制器。高嵩等[9]提出一种按适应度大小淘汰部分个体的改进PSO（Partiele Swarm Optimization）优化分数阶PIDFOPID。腾志军等[10]对PSO算法中的学习因子引入动态加速因子，提高算法全局搜索能力，使得算法能以更快的速度搜索到全局最优解。文献[11]采用自适应惯性权值调节的方式对粒子群优化算法进行改进，并应用在磁悬浮系统中的模糊控制系统的量化因子的参数优化上，最终获得较好的控制效果。Liu等[12]针对永磁同步电机的关键参数估计问题，提出一种带学习策略的动态粒子群算法，同时设计一种具有可变探测矢量的运动修正方程，有效地更新粒子，使群体能够以较大的概率覆盖大范围的搜索空间，从而提高了全局搜索能力。

为应对分数阶PIDFOPID参数整定的复杂性和不确定性，本文提出改进的粒子群优化分数阶PIDFOPID参数的方法，对粒子群算法的惯性权重系数和学习因子进行改进，分别设置惯性权重系数的最大值和最小值的范围，并且惯性权重系数的最大值和最小值的范围随算法迭代次数以伽玛函数方式非线性下降，同时每个粒子的惯性权重系数和学习因子依据该粒子的适应度值进行动态调整，以此实现提高算法的收敛速度和收敛精度的目的。

1 分数阶控制系统数学基础

1.1 分数阶微积分定义

整数阶微积分的阶次均为1，而分数阶中积分阶次和微分阶次为任意正实数。分数阶的定义[13]有Caputo定义、Cauchy定义、Riemann-Liouville定义和Grunwald-Letnikov定义，其中Riemann-Liouville定义是最常用的分数阶定义。对任意实数m-1<α

1.2 Oustaloup近似方法

1.3 分数阶PIDFOPID控制器

分数阶PIDFOPID控制器相对于整数阶PID而言引入两个新的系数：微分阶次μ和积分阶次λ，使得控制器的可调参数由PID控制器的3个参数增加到分数阶PIDFOPID控制的5个参数。控制器参数维度的增加，控制参数可调范围更广，控制模型更为精确，对被控对象的控制更加地灵活方便，从而使被控对象可获得更好的动态和静态特性，以满足复杂系统的各项性能指标。

分数阶PIDFOPID控制器的系统模型如图1所示，其中：r（t）为系统输入，e（t）为控制器输入，u（t）为控制器输出，G1（s）为被控对象，y（t）为系统输出。

2 标准PSO算法及改进

2.1 算法原理

2.2 惯性权重系数的改进

PSO算法迭代中惯性权重系数w是最重要的参数，影响算法的收敛速度和收敛精度，因而惯性权重系数的取值至关重要[16]。惯性权重系数w使得微粒迭代过程中保持运动的惯性，通过调整惯性权重系数w可以改变PSO算法的空间搜索能力。惯性权重系数w越大，PSO全局搜索能力提高，有效避免陷入局部最优;当w较小时，全局收敛速度下降，但可以提高PSO的收敛精度。标准PSO算法中惯性权重系数w是按迭代次数的增加依次线性减小，其变化过程按式（11）进行：

标准PSO算法中惯性权重的取值在一定程度上滿足算法迭代要求：在迭代的开始阶段为保证种群搜索空间的拓展能力，需要粒子保持较高的运动惯性，随迭代次数增加粒子运动惯性下降，相应地提高算法的收敛精度。但是PSO算法在实际的迭代过程中其收敛稳定时的迭代次数要远小于预先设置的最大迭代次数，即算法优化目标（适应度值）趋于稳定的速度要远大于惯性权重系数下降的速度，在算法迭代的后期惯性权重系数的变化对算法收敛的快速性和精确性没有实质性的影响。同时，在迭代过程中对所有的粒子使用相同的惯性权重系数不利于提高算法的收敛速度和收敛精度，对于不同适应度大小的粒子，其运动惯性应有所区别。

惯性权重系数w的上下限按伽玛函数逐渐减小。而对于单个粒子的惯性权重系数wi按粒子的适应度大小进行动态调整，粒子的适应度越大，表明粒子处于较优的位置，应降低惯性权重系数w，保证粒子的收敛精度;而粒子的适应度越小，表明粒子远离较优位置，为提高粒子的收敛速度，此时应增大粒子的惯性权重系数w。将所有粒子按其适应度值从小到大的顺序排列，粒子i的适应度排列序号为ti（i=1，2，…，n，n为种群规模），则粒子i对应的惯性权重系数wi排由式（14）计算得到。

从式（14）可知粒子的适应度越高，其相应的惯性权重系数w越小;粒子的适应度越低，其惯性权重系数w越大，惯性系数的动态取值使粒子具有合适的运动惯性。

惯性系数权重改进后具有如下优势：1）采用伽玛函数使惯性权重系数的最大值和最小值按迭代次数非线性降低，在迭代次数较低时具有较快的下降速度，随迭代次数的增加其下降速度逐渐降低。使得算法前期需要保持较大的运动惯性，提高整个种群的空间拓展能力，算法后期降低粒子的运动惯性，提高算法的收敛精度。该变化趋势与PSO算法适应度值得变化趋势大致相同，使得算法可以在最短的时间内收敛趋于稳定。2）单个粒子的惯性权重系数按其适应度的大小动态取值，粒子的适应度越高，惯性权重系数w越小;粒子的适应度越低，惯性权重系数w越大。使得粒子保持较为合理的运动惯性，提高种群的进化速度和进化精度。

2.3 学习因子的改进

学习因子c1越大，粒子i靠近其个体最优位置pbesti的能力加强，即粒子加强对本身的思考，自身认知能力提高，粒子的迭代行为表现得越发独立，在搜索空间上分散现象就越明显，同时PSO算法迭代进化过程变得越慢，迭代次数增加，容易陷入局部最优。学习因子c2越大，粒子i靠近种群最优位置gbest的能力加强，社会意识能力加强，种群中粒子之间信息共享的力度加强，迭代中粒子间的差异就越小，在搜索空间上聚集现象越明显，PSO算法进化速度越快，迭代次数减小，容易越过全局最优位置[18]。

学习因子c1、c2影响着粒子对自身的认知能力和社会的认知能力，c1、c2的合理取值对PSO算法进化速度和收敛精度的提高具有重要的作用。标准PSO中学习因子c1、c2的取值为固定值，不具有自适应调整的能力。本文对学习因子进行如下改进（简称改进PSO2）：在改进PSO1方法的基础之上，对学习因子c1、c2按照粒子的适应度大小进行动态调整。粒子的适应度越大，说明粒子本身为处于较优的位置，此时粒子应该加强对自身的认知能力，即增大学习因子c1;而粒子的适应度越小，表明粒子处于较劣的位置，此时粒子应加强对社会的认知能力，即增大学习因子c2。学习因子c1和c2的值由式（15）、（16）确定：

对学习因子改进后具有如下两方面的优势：一方面有利于粒子根据自身的适应度增加或降低粒子向社会和自身的学习能力，提高粒子本身在整个群体中的适应能力;另一方面学习因子的动态调整可以有效地避免种群陷入局部最优或克服算法早熟收敛等缺点，使得整个种群向更优的方向进化，便于得到更优的解。

3 改进的PSO优化分数阶PIDFOPID控制器参数

3.1 优化参数及优化目标

PSO算法优化分数阶PID控制器的参数包含比例系数kp、积分系数ki、微分系数kd、积分阶次λ、微分阶次μ。将kp、ki、kd、λ、 μ、作为粒子的输入，即粒子参数空间的维度为5。PSO算法的参数优化是给定优化目标函数并在目标空间中搜索出满足最优目标参数的过程。

分数阶PIDFOPID控制器的性能指标包含调节时间、超调量、稳态误差等。以时间和误差绝对值的积分作为优化目标，可使得控制器具有较好的动态性能。以系统输出的最大值作为优化目标可以有效防止系统的超调。因而所得的优化目标为式（17）：

3.2 改进PSO算法的优化步骤

改进PSO算法中惯性权重系数和学习因子（即改进PSO2）后优化分数阶PIDFOPID的流程如图3所示。改进PSO1的算法在改进PSO2步骤中省略第7）步，改进PSO2具体步骤如下。

1）初始化粒子群参数。最大迭代次数kmax、学习因子c1的最大值c1max和最小值c1min、学习因子c2的最大值c2max和最小值c2min、惯性权重系数最大值的范围[wmaxdown，wmaxup]和最小值的范围[wmindown，wminup]、种群规模n、粒子速度的范围[vmin，vmax]、粒子的随机初始速度和初始位置。

2）计算粒子适应度值：利用粒子的位置（优化参数）对控制系统进行阶跃响应，根据优化目标（式（17））计算每个粒子的适应度值Ji。

3）更新个体最优位置：粒子i当前的适应度值与其个体最优适应度值pbesti比较，如果较好，则将当前适应度值作为个体最优值，并保存该位置。

4）更新种群最优位置：粒子i当前的适应度值与种群最优适应度值gbest比较，如果较优，则将当前适应度值作为种群最优值，并保存该位置。

5）计算惯性权重系数的最大值和最小值：wkmax、wkmin根据式（12）、（13）计算。

6）计算粒子惯性权重系数：对种群中所有粒子的适应度值从小到大进行排序，然后根据式（14）计算出粒子i的惯性权重系数wi。

7）計算粒子学习因子：粒子i的学习因子ci1、ci2根据式（15）、（16）计算。

8）更新粒子速度和位置：vk+1id、xk+1id根据迭代式（8）和（9）计算。

9）粒子速度约束：由式（10）确定。

10）迭代是否结束：如果到达最大迭代次数kmax则退出;否则返回第2）步继续迭代。

4 仿真结果与分析

为验证改进的PSO算法的对分数阶PIDFOPID控制器的控制效果，选取典型的二阶系统作为被控对象，其传递函数为：

从表1中可知：改进PSO2算法平均收敛的迭代次数为11次，相比于其他两种算法具有较快的收敛速度。改进PSO2算法优化分数阶控制器参数后，其平均超调量为0.0487，平均调节时间为0.7899s，平均稳态误差为-0.00065。对比其他两种算法，改进PSO2的综合性能最优。

从标准PSO、改进PSO1和改进PSO2三种不同的算法中分别选择一组优化的分数阶PIDFOPID控制器的参数，如表2所示，且这三组参数的优化过程如图4所示。

如图4所示，其中标准PSO优化算法中优化目标在第34代时趋于稳定，改进PSO1优化算法在第22代搜索到最优目标，改进PSO2优化算法优化的速度最快，迭代到第10代算法就收敛稳定。

选出的三种优化参数值在单位阶跃输入下，其控制效果如图5所示。从图5中可知，标准PSO的阶跃响应较快，但其超调也较大;改进PSO1响应较慢，超调量比标准PSO阶跃响应的要小;改进PSO2从响应速度和超调量这两个指标综合来比较其效果优于标准PSO和改进PSO1。

在1.2s到1.4s的时间内人为施加-0.4的扰动，三种算法下优化参数的控制器的抗扰动曲线如图6所示，图7为抗扰动过程的局部放大图。

从图6和图7中可知，标准PSO算法优化的参数在扰动后波动最大;改进PSO1波动最小，但调节时间相对较长;改进PSO2对干扰的波动不大，调节过程快且相对平稳，具有更好的抗干扰性能。

5 结语

本文针对控制领域中分数阶PIDFOPID控制器参数自整定的问题，利用PSO智能优化算法，提出两种基于改进的PSO算法整定分数阶PIDFOPID控制器参数的方法。第一种是对惯性权重系数的改进：通过对惯性权重系数的最大值和最小值设置上下限范围，并在其范围内随迭代次数按伽玛函数非线性递减，单个粒子的惯性权重系数根据其适应度的大小取值，使得适应度大的粒子具有较小的运动惯性，保证其收敛精度;适应度小的粒子具有较大的运动惯性，提高其收敛速度。第二种是在改进PSO1的基础之上对学习因子也进行改进：依据粒子的适应度大小动态调整学习因子，自适应增加或降低粒子对自身的认知能力和对社会的认知能力。对比仿真实验表明，改进的PSO2算法优化参数具有收敛速度快、收敛精度高和抗干扰能力强等优点，采用改进的PSO2算法整定的分数阶PIDFOPID控制器参数在超调量、稳态误差、调节时间等方面具有较优的性能指标。

参考文献 （References）

[1] PODLUBNY I. Fractional-order systems and PIλDμ controllers [J]. IEEE Transactions on Automatic Control， 1999， 44（1）： 208-214.

[2] PETRAS I. The fractional-order controllers： methods for their synthesis and application [J]. Electrical Engineering， 1999， 50（9/10）： 284-288.

PETRAS I. The fractional-order controllers： methods for their synthesis and application [EB/OL]. [2018-07-03]. https：//arxiv.org/pdf/math/0004064v1.pdf.

[3] MONJE C A， CALDERON A J， VINAGRE B M， et al. On fractional PIλ controllers： some tuning rules for robustness to plant uncertainties [J]. Nonlilnear Dynamics， 2004， 38（1/2/3/4）： 369-381.

[4] 李新波，付云博，姜良旭，等.神經网络分数阶PIμ Dλ在压电叠堆控制中的应用[J].光学精密工程，2015，23（12）：3439-3445.（LI X B， FU Y B， JIANG L X， et al. Application of neural network fractional order PIμDλ to piezoelectric stack control [J]. Optics and Precision Engineering， 2015， 23（12）： 3439-3445.）

[5] ZHANG F， YANG C， ZHOU X， et al. Fractional-order PID controller tuning using continuous state transition algorithm[J]. Neural Computing and Applications， 2018， 29（10）： 795-804.

[6] 张欣，仲崇权.基于量子粒子群优化设计的分数阶PIλDμ控制器[J].控制工程，2018，25（3）：493-498.（ZHANG X， ZHONG C Q. Fractional order PIλDμ controller design based on quantum particle swarm optimization [J]. Control Engineering of China， 2018， 25（3）： 493-498.）

[7] AGHABABA M P. Optimal design of fractional-order PID controller for five bar linkage robot using a new particle swarm optimization algorithm [J]. Soft Computing， 2016， 20（10）： 4055-4067.

[8] DAS S， PAN I， DAS S. Multi-objective LQR with optimum weight selection to design FOPID controllers for delayed fractional order processes [J]. ISA Transactions， 2015， 58： 35-49.

[9] 高嵩，王磊，陈超波，等.一种改进粒子群优化的分数阶PID参数整定[J].控制工程，2017，24（10）：2010-2015.（GAO S， WANG L， CHEN C B， et al. An improved particle swarm optimization algorithm for fractional order PID parameter tuning [J]. Control Engineering of China， 2017， 24（10）： 2010-2015.）

[10] 滕志军，吕金玲，郭力文，等.基于动态加速因子的粒子群优化算法研究[J].微电子学与计算机，2017，34（12）：125-129.（TENG Z J， LYU J L， GUO L W， et al. Research on particle swarm optimization based on dynamic acceleration coefficients [J]. Microelectronics and Computer， 2017， 34（12）： 125-129.）

[11] ZHANG S， MA S， SONG N， et al. Fuzzy sliding mode control based on PSO for magnetic levitation positioning stage [J]. IEEE Transactions on Electrical and Electronic Engineering， 2018， 13（10）： 1492-1500.

[12] LIU Z-H， WEI H-L， ZHONG Q-C， et al. Parameter estimation for VSI-fed PMSM based on a dynamic PSO with learning strategies [J]. IEEE Transactions on Power Electronics， 2017， 32（4）： 3154-3165.

[13] KHIABANI A G， BABAZADEH R. Design of robust fractional-order lead-lag controller for uncertain systems [J]. IET Control Theory and Applications， 2016， 10（18）： 2447-2455.

[14] OUSTALOUP A， LEVRON F， MATHIEU B， et al. Frequency-band complex noninteger differentiator： characterization and synthesis [J]. IEEE Transactions on Circuit and Systems—I： Fundamental Theory and Applications， 2000， 47（1）： 25-39.

[15] 麻荣永，杨磊磊，张智超.基于粒子迭代位移和轨迹的粒子群算法C1、C2参数特性分析[J].数学计算，2013，2（4）：109-115. （MA R Y， YANG L L， ZHANG Z C. Analysis the characteristic of C1， C2 based on the PSO of iterative shift and trajectory of particle [J]. Mathematical Computation， 2013， 2（4）： 109-115.）

[16] 赵延龙，滑楠，于振华.基于二次搜索的改进粒子群算法[J].计算机应用，2017，37（9）：2541-2546.（ZHAO Y L， HUA N， YU Z H. Improved particle swarm optimization algorithm based on twice search [J]. Journal of Computer Applications， 2017， 37（9）： 2541-2546.）

[17] SHAO Z， KLAVZAR S， LI Z， et al. On the signed Roman k-domination： complexity and thin torus graphs[J]. Discrete Applied Mathematics， 2017， 233： 175-186.

[18] 趙远东，方正华.带有权重函数学习因子的粒子群算法[J].计算机应用，2013，33（8）：2265-2268.（ZHAO Y D， FANG Z H. Particle swarm optimization algorithm with weight function's learning factor [J]. Journal of Computer Applications， 2013， 33（8）： 2265-2268.）