何孔德, 何雪辉, 方子帆, 杨蔚华, 刘绍鹏, 陈志超

(1. 三峡大学 水电机械设备设计与维护湖北省重点实验室，湖北 宜昌 443002； 2. 三峡大学 机械与动力学院，湖北 宜昌 443002)

水中多体结构是海上浮式平台、风电浮式基础、悬浮隧道、水下系泊监测平台等装备的主体支撑结构，当前学者对它的研究主要是针对不同产品分类进行，研究了不同产品的个性，而没有研究这类结构的共性；水中多体结构由柔性结构和刚性结构通过一定的方式连接组成，现在研究中认为外部载荷、边界条件都是精确确定的或可以精确测量的；把系泊缆索和结构体的连接作为边界条件来进行耦合，没有考虑二者之间的接触状态。实际情况是外部载荷、边界条件、多体结构连接接触状态在工作过程中都是随机不确定的，相应就带来动力特征的不确定性。因此本文针对这类结构基础动力学模型(水中多体结构)，基于多体动力学理论，考虑系泊缆索和结构体非确定性接触状态，研究系泊缆、结构体的随机动力响应问题。

水中多体结构中，系泊缆索和结构体之间一般都是采取铰接的连接方式，这种连接方式由于装配的误差、运动中的摩擦磨损以及运动状态需要一定的连接间隙，因此就会带来结构体的理论运动与实际运动之间的偏差及运动不确定性，并且在运动过程中这种偏差会带来连接接触的碰撞，因此会使接触力产生突变，影响系统的稳定性、运动精度甚至整体寿命，进而带来整个系统的冲击、振动及运动状态的不确定性以及系统功能的偏差。因此有必要研究水中多体结构连接间隙不确定性带来的系统动力响应的随机性问题，使理论分析结果更加接近于工程实践，为这类结构的设计提供一定的理论基础。

随着计算机技术的不断提高以及流体动力学理论的不断发展，采用理论计算方法对水中多体结构在不同环境条件下动态响应及受力情况进行预报，已具备了相当的条件。国内外学者针对不同类型的具体结构进行了相关的研究，文献[1]根据多成分悬链线方程分析了深水悬链线式系泊系统的设计与组合优化问题，对悬链线锚缆的恢复刚度进行了分析，发现锚链的恢复系数表现出很强的非线性特征，研究过程中不能忽略它的几何非线性的影响。文献[2]基于悬链线方程，分别研究了不同类型的缆索，并推导了缆索张力分布和几何位形的解析表达式。文献[3]在考虑外界作用力的情况下，用一组参数来近似模拟锚缆所受的外部激励。上述悬链线方法忽略了系泊缆索所受的流体作用力等部分外力，是对实际问题简化后的近似求解。文献[4]采用数值模拟的方法及有限元方法分别研究了深海平台系泊缆索形状和张力的影响，探讨了海底地形对系缆张力分布、构型和上部浮体运动的影响，并将数值模拟结果与实验结果进行了对比，二者吻合良好。文献[5]通过间接时域耦合法对深海系泊半潜式平台进行了分析，其中波浪力的计算精确到二阶，系泊缆索的控制方程采用集中质量法进行求解。文献[6]进一步发展了采用二阶摄动理论对系泊缆索进行动力分析，此方法可以考虑系泊系统非线性和动态耦合的影响，能够模拟系泊浮体的慢漂响应。文献[7]基于冲击动力学理论，研究了系泊缆索和结构体在受到冲击作用下系泊缆索的受力，并分析了冲击前后结构体的运动状态。上述研究都是把系泊缆索和结构体的连接处作为边界条件来进行耦合，没有考虑二者之间的实际接触状态，本文以某型系泊多体结构为研究对象，通过在系泊点施加铰接的边界条件，考虑刚柔耦合接触状态，将系泊缆索的动力方程与结构的运动方程在时域内进行耦合，建立流场与结构体及系泊缆索非线性相互作用的全时域耦合广义随机动力学分析模型。

1 考虑间隙的多体结构模型的构建

图1所示为含有间隙连接的多体结构模型图。该结构 工作于一定深度的水域中，其中1为系泊缆索，上端通过接头5和连接板相连，下端锚固于水下，2为结构体，3为连接板，4为销轴，5为接头。

(a) 模型总图

(b) 结构体-连接板放大图

(c) 系泊缆-销轴间隙连接放大图

图1 含有间隙连接的系泊多体结构模型图

Fig.1 Diagrammatic figure of mooring multi-body structure with interstitial connections

2 不考虑间隙接触的动力学模型的建立

根据图1，含有间隙连接的多体结构的受力特点和与系泊缆的相互作用可知，结构体的运动主要是在流速方向的平面运动，它的运动状态与其在流场中布放深度、流场流速、结构体的横向截面形状有关，根据文献[8]的研究结果，这种布放于一定深度水域中的系泊结构体会受到垂直浮体轴向的流体力、沿浮体轴向的流体力及横向和轴向的绕流阻力。图2为其简化示意图。

考虑到结构体受到水流方向的拖曳力、流体的阻力、江水的浮力、自身的重力以及系泊缆的约束作用力。根据图2所示坐标系及简化受力分析图，O点为结构体几何中心的初始位置，考虑结构体尺寸和系泊缆尺寸的比值，忽略系泊缆上的流体力，根据牛顿力学定律，建立水下系泊多体结构的动力学方程为

(1)

(2)

根据流体动力学理论，处于流场中的运动物体，结构自身运动时也会带来与结构体本身体积相同的等量流体质量的运动[9]，方程组中m为结构体的质量和结构体排开液体体积的质量之和，K为系泊缆刚度系数，C为水动力阻尼系数。FY、FZ为结构体受到的流体作用力，根据图2所示坐标系，其中FY为结构体在垂直液面方向的受力之和，根据流体动力学理论，包括流体升力Fl以及Y方向惯性力FIY；FZ为结构体在流场流速方向的受力之和，根据流体动力学理论，包括流体拖曳力Fd以及流速方向惯性力FIZ。

图2 系泊多体结构简化示意图

2.1 流场作用力的求解

根据流体动力学理论，流场作用力可以依据莫里森公示来计算[10]，假设水流无黏性，考虑结构体的直径和流场深度之比非常小，作用在结构体范围内的流场为流速均匀的定常流体。流体升力FL、Y方向惯性力FIY、流体拖曳力Fd、Z方向惯性力FIZ分别为

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：CL为流体升力系数；ρ为流体密度；v为流场流速；D为结构体直径；L为结构体长度；CM为惯性系数；CD为流场阻力系数。

2.2 流场作用下系泊缆索弹性张力和阻尼力的求解

2.2.1 系泊缆刚度系数求解

水中多体结构中，系泊缆是结构体的主要约束构件，系泊缆索的特点就是质量轻，受力形式简单，能够充分发挥材料的力学性能，对于系泊缆这种工作于一定环境的水域中，受到随机波流载荷作用的结构，正是因为它的轻、柔和低阻尼特性，使得整个多体结构系统在外部随机荷载作用下极易发生大幅的振动，破坏其初始平衡位置，并且由于连接间隙的存在，如图3所示。

图3 考虑间隙的连接点A、B处放大图

连接处的接触状态也会发生改变，产生大幅振动，这种大幅振动将导致系泊缆索的长度变化，连接处冲击力的变化，对整个系统的安全性及耐久性及位置都会产生很大的影响[11]。因此求解系泊缆弹性张力时不仅要考虑系泊缆在流场作用下的弹性伸长，还要考虑在连接不确定性条件下冲击接触产生张力突变时所带来的弹性伸长，并且在求解过程中，对于具有一定构型的柔性构件，还要考虑其垂度的影响，根据文献[12]的研究，考虑柔性构件垂度影响作用主要采用等效弹性模量法，其计算公式为

(7)

式中：Eeq为计算的等效弹性模量；E为材料弹性模量；q为材料线密度；lx为柔性构件在流速方向的投影长度；Ac为柔性构件的横截面积；T为初始平衡位置的张力。水中多体结构在一定深度水域中处于平衡位置时其受力分析图，如图4所示。

图4 水中多体结构初始平衡位置体受力图

由图4可知，W为结构体及附件的重力，F为结构体及附件所受浮力，多体结构在重力、浮力及系泊缆索约束力作用力下处于暂时平衡状态。缆索的张力大小为

(8)

2.2.2 阻尼系数的求解

根据流体动力学理论，阻尼系数C可按下式求出

(9)

式中：ω为结构体固有频率；AL为结构体在流速方向的截面积；U缆索稳态响应的幅值。

考虑系泊缆索的约束力及流场作用力，根据式(1)、式(2)，建立水中多体结构动力学模型

(10)

(11)

3 考虑间隙接触的随机动力学模型的建立

3.1 考虑连接间隙的系泊缆弹性伸长的求解

处于一定深度水域中的多体结构在初始平衡位置，在受到外界随机波流载荷作用下会偏离平衡位置，假设不考虑连接间隙，在外界作用力下系泊缆的弹性变形分别为ui(见图2)，根据整个水中多体随机结构的变形协调条件，可得：

(12)

(13)

由于考虑了系泊缆索和结构体连接位置的间隙作用(见图3)，整个系统的拓扑结构在随机流场作用下将会发生变化，系泊缆索长度也会出现随机变化。系泊缆索的长度变化范围为

0≪u1(t)′≪Y(t)cosθ1+Z(t)sinθ1+2rc

(14)

0≪u2(t)′≪Y(t)cosθ2-Z(t)sinθ2+2rc

(15)

式中，rc=rj-rs，rj为接头内径，rs为销轴外径。

3.2 连接间隙动力学模型建立

由于考虑了系泊缆索和结构体连接位置的间隙，如图3所示。整个系统的拓扑结构在随机流场作用下将会发生变化。如何建立准确、可以求解的含有间隙的多体系统动力学模型，国内外学者都进行了很多的研究工作[13-14]，目前采取的方法主要有三种：①连续接触模型；②三状态模型；③两状态模型。连续接触模型假设销轴和接头内壁始终接触在一起，接触表面无弹性变形，不考虑接触的碰撞和分离，这种方法虽然求解会方便一些，但是没能表现出间隙碰撞、分离的动力学特性；三状态模型主要是考虑销轴和接头内壁在一个周期内出现自由、碰撞、分离的三种状态，这种分析方法能很好的反映出接触、碰撞的动力学特性，但困难是如何精确的确定这三种状态在一个周期内出现的时间以及碰撞时间，因此它的建模方法很复杂，应用不广泛；两状态模型是目前考虑间隙作用的多体系统分析中常用的方法，该模型认为销轴和接头内壁之间只存在接触和自由两种状态，采用赫兹接触力模型和连续接触力模型来对碰撞关系进行表达[15]。

基于接触碰撞力的约束关系，即销轴和接头内壁之间只能通过接触碰撞力(法向)和摩擦力(切向)相互约束，而不存在其他的约束关系。间隙大小为rc，r为中心距(见图3)。假设碰撞过程中会产生一定深度的穿透，则穿透深度为

δ=r-rc

(16)

采用Impact函数来计算销轴和接头内壁之间的接触碰撞力，Impact函数模型将实际中物体的碰撞过程等效为基于穿透深度的非线性弹簧模型，其计算表达式为

(17)

式中：KJ为接触刚度系数；δ为穿透深度；n为非线性弹簧力指数，金属材料取1.5。当δ0时，两物体不发生接触，接触力为0，当δ<0时，两物体接触，接触力大小与接触刚度系数、非线性指数有关。

根据赫兹接触理论，物体接触刚度系数与物体的材料属性和接触表面的几何形状有关，在此根据文献[16]提供的接触刚度计算式来计算接触面接触刚度，计算式为

(18)

由于只考虑销轴和接头内壁之间通过接触碰撞力(法向)和摩擦力(切向)相互约束，在切向摩擦力作用下，会发生相对滑动或黏滞，对系统的动力学特性会带来影响，因此在计算过程中必须考虑摩擦力的作用，最常用的摩擦力模型是库伦摩擦模型，根据文献[17]的定义，考虑到求解的难易程度，对于考虑间隙接触的库伦摩擦模型进行了修正，摩擦力与速度的关系表达式为

(19)

其中u为库伦摩擦因数，vt为切向相对运动速度，FN为销轴和接头的法向接触力。

3.3 考虑系泊缆索动态伸长及间隙接触的随机动力学模型的建立

(20)

式中：M为系统的广义质量矩阵;φq为约束方程的雅可比矩阵；λ为拉格朗日乘子；F为系统的广义力矩阵；包含三项之和，分别为外部作用力在广义坐标系下的广义力矩阵、与速度二次项相关的矩阵力、间隙接触碰撞所产生的法向力和摩擦力在广义坐标系下的矩阵。

(21)

式(20)综合了水中多体结构在受到流场作用力、考虑间隙接触状态不确定性所带来的法向力、摩擦力综合作用情况下的运动状态，可以比较准确的分析出在载荷及接触不确定性情况下水中多体结构的随机动力响应问题。

4 动力响应的随机性分析

由于考虑了系泊缆索和结构体连接位置的间隙作用，整个系统的拓扑结构在随机流场作用下将会发生变化，系泊缆索的长度是一个不确定的参数，在实际问题中对于不确定参数的处理一般采取概率方法、模糊方法和区间方法[18]，概率方法和模糊方法需要足够的数据来确定参数的概率密度分布情况函数和隶属度函数，区间方法只需要知道参数的范围就可以，根据式(14)、式(15)，本文采取区间方法分析考虑连接间隙的水中多体随机结构的动力响应问题。

由于考虑系泊缆的长度为区间变量，据上述分析，刚度系数K、阻力系数C都具有区间性。又考虑流场作用力也是一个不确定的参数，因此考虑间隙接触的水中多体结构动力学广义方程式(20)将是一个时变的二阶微分方程组[19]。采取Newmark-β方法来求解，将动力学方程化为逐步积分的格式，利用区间算法进行求解。

Kt+Δtδt+Δt=pt+Δt

(22)

Kt+Δt=K+Cα(βΔt)+M(βΔt2)

(23)

(24)

式中：α、β为积分参数；Δt为积分步长；M、K、C为质量矩阵、刚度矩阵、阻力矩阵的均值;下标t为某时刻对应的状态参数。

5 数值算例

间隙接触的水中多体结构模型在初始平衡位置时结构体参数、系泊缆索参数及流场水动力系数，如表1所示。系泊缆索下端和流场底部锚固在一起。

表1 设计参数

图5和图6分别给出了结构体质心位置在垂直于流场速度方向(Y向)和顺流向(Z向)的位移响应时程，在平衡位置受到破坏后会出现扰动，随着时间的变化，会重新达到一个新的平衡状态，由于间隙接触模型会产生一定大小的冲击力，综合位移要偏大于铰接模型；图7和图8分别给出了结构体质心位置在Y向和Z向的速度响应时程，在运动过程中，速度都会出现一定的波动，但是变化幅度不大；图9和图10分别给出了结构体质心位置在Y向和Z向的加速度响应时程，铰接模型中加速度的变化是平滑的，间隙接触模型中，由于销轴和接头的接触状态呈现一定的随机性，带来接触力的随机变化，使加速度呈现出很大的波动。由于加速度的变化，因此就带来了间隙接触模型和铰接模型接头和销轴接触力的变化和加速度呈现出同样的状态，如图11、图12所示。图13显示了结构体质心顺流方向转角随时间的变化规律，随着时间的变化，在流场作用下，结构体在顺流向会出现一定的偏转角度，间隙接触状态的偏转角度要稍大于铰接状态，偏转角度的变化有可能会引起整个系统的失稳，在针对不同具体结构设计时，要根据结构体的重心和浮心对相对位置进行调整。

(a) Y向位移响应时程

(b) Y向位移响应时程局部放大图

Fig.5 Time-distance graph of displacement response onYdirection for structure

(a) Z向位移响应时程

(b) Z向位移响应时程局部放大图

Fig.6 Time-distance graph of displacement response onZdirection for structure

(a) Y向速度响应时程

(b) Y向速度响应时程局部放大图

Fig.7 Time-distance graph of velocity response onYdirection for structure

图8 结构体Z向速度响应时程

Fig.8 Time-distance graph of velocity response onZdirection for structure

图9 结构体Y向加速度响应时程

Fig.9 Time-distance graph of acceleration response onYdirection for structure

图10 结构体Z向加速度响应时程

Fig.10 Time-distance graph of acceleration response onZdirection for structure

图11 接触力合力响应时程(B侧销轴和接头部位)

Fig.11 Time-distance graph of contact force for structure (position of pin shaft and joint onBside)

图12 接触力合力响应时程(A侧销轴和接头部位)

Fig.12 Time-distance graph of contact force for structure (position of pin shaft and joint onAside)

(a) 结构体质心顺流方向转角

(b) 结构体质心顺流方向转角局部放大图

图13 结构体质心顺流方向转角

Fig.13 The rotation angle of structural’s mass center on downstream direction

6 结 论

论文以水中多体结构的简化模型为研究对象，考虑了系泊缆索和结构体的间隙接触状态模型和铰接模型两种连接方式，基于流体动力学理论的莫里森公式，根据结构体的截面形状，计算了不同方向流场作用力，并考虑系泊缆索的柔性特点，研究了它的刚度计算方法。根据多体动力学含间隙接触的不确定性，采用两状态接触模型，建立了考虑系泊缆索动态伸长及间隙接触的水下多体结构随机广义动力学模型，采取区间方法分析了系统的动力响应问题，得到如下结论：

(1) 考虑间隙接触状态不确定性模型更符合工程实际，它所带来的结构体加速度的均值和峰值都要大于理想铰接状态，考虑接触时间的影响，所带来的接触力比理想铰接状态大得多；位移和速度有一定变化，但是总体变化不大。

(2) 考虑间隙接触状态所产生的张力也会产生随机变化，出现很大的峰值，在B侧销轴和接头部位最大接触力是理想铰接状态10倍；A侧销轴和接头部位最大接触力也达到理想铰接状态的1.4倍，这有可能会在连接处产生疲劳破坏、静强度断裂等失效状态。

(3) 间隙接触状态的偏转角度要稍大于铰接状态，偏转角度的变化有可能会引起整个系统的失稳，在针对不同具体结构设计时，要根据结构体的重心和浮心的相对位置进行调整，优化偏转角度。因此在研究具体水中多体结构时，要考虑连接处的接触状态，分析其随机动态特性。