陈美霞， 彭灿兵， 陈 琦

(华中科技大学 船舶与海洋工程学院， 武汉 430074)

加筋板结构在船舶、航空航天领域中使用十分广泛，为降低结构中振动能量的传递，有关加筋结构的阻振抑波特性研究日益受到人们的关注[1-12]。

Cremer等[1]最早对结构声的传递衰减进行了系统的研究，提出了大尺寸矩形截面加筋的减振措施，亦被多数学者称为阻振质量，其对中高频弯曲波具有良好的阻抑作用[2-3]。刘见华等[4-5]在此基础上利用单个阻振质量的能量传递系数，研究了平行且周期排列的多级阻振质量对平面弯曲波的阻抑特性，具有良好的阻抑效果，但是周期性排列会产生较多的共振穿透频段。随后，林永水等[6]进一步拓展研究，采用非等间距布置的多级阻振质量，能增加穿透频段的衰减量，从而进一步提高其波阻效果。

除了对弯曲波法向入射加筋板进行了分析，部分学者还针对不同入射角度的隔振特性进行了分析。刘见华等[7-8]在考虑了弯曲波斜入射的情况下，采用波动法研究了入射角对单个对称加筋无限大平板中能量传递系数的影响，发现在特定入射角度下将发生弯曲波的全透射。通过在角度上进行平均得到扩散场下的平均能量传递系数，并对理论分析进行了试验验证。王敏庆等[9]采用傅里叶变换在波数域求解了单个对称加筋无限大平板在集中力作用下功率流分布的解析解，并通过试验验证了该方法的正确性，但文中没有分析加筋参数对平板功率流传递的影响。

以上学者都只考虑了对称加筋的情况，而工程应用中均为偏心加筋结构，已有研究表明：偏心加筋将引起板中弯曲波向面内波的转换。姚熊亮等[10]采用波动法研究了偏心阻振质量对法向入射弯曲波的阻抑特性，并通过互易实验验证了偏心引起的波型转换，但其只研究了入射角为零的情况。陈攀等[11]通过充分考虑平板面内纵波与剪切波的影响下分析了有限尺寸偏心加筋板的振动响应；但其模型只考虑了结构损耗因子对传递功率流的影响，没有对能量传递特性进行深入探讨。可以看出，上述学者对加筋板中的能量传递问题都做出了相当积极有益的贡献。

为了研究任意入射角下的偏心加筋板结构能量传递特性，本文在刘见华和姚熊亮的基础上，通过充分考虑由偏心加筋引起的面内纵波与剪切波，建立了任意入射角下的偏心加筋耦合模型；然后采用波动法求解各能量传递系数，并与弯曲波法向入射的有限元实际模型对比，验证了本文偏心加筋板理论模型的正确性；最后，基于该方法研究了波形转换与能量传递系数在频域与入射角度上的特性，并分析了加筋偏心距、加筋高度-板厚比对传递系数的影响，为后续进一步研究工程实际中的周期偏心加筋板结构动力学特性提供了理论依据。

1 偏心加筋板理论推导

1.1 薄板的运动方程与求解

根据文献[13]薄板面外与面内自由振动方程为

(1)

(2)

(3)

w(x,y,t)=Afe-jkfxxe-jkfyyejωt

(4)

式中：kfx=kfcosφ,kfy=kfsinφ为与x轴夹角为φ的入射弯曲波在x，y方向的波数分量;薄板弯曲波数kf=(ρhω2/D)1/4；Af为振动幅值。

如图1所示，半无限大薄板在x方向被截断，而y方向保持均匀且连续(不产生散射)。

将基本解式(4)代入式(1)，得到半无限大薄板弯曲运动的波动解(省略时间项)为

w(x,y)=(Af1e-jkfxx+Af2ejkfxx+Af3e-knx+

Af4eknx)e-jkfyy

(5)

图1 无限大偏心加筋板示意图

(6)

为求解上式矢量方程，利用矢量场的赫姆霍兹分解，将位移场d分解为标量势φ(x,y,t)与矢量势ψ(x,y,t)

(7)

将式(7)代入式(6)，并通过波动方程的拉梅(Lamé)分解得到解耦的势函数波动方程

(8)

(9)

由上式可知标量势与矢量势分别对应于纵波与剪切波，势函数的基本解为

φ(x,y,t)=Ale-jklxxe-jklyyejωt

(10)

ψ(x,y,t)=Ase-jksxxe-jksyyejωt

(11)

如图1所示，取入射弯曲波为单位幅值Af=1，根据弹性波的传播方向可由式(5)～式(11)得到两半无限板面内外位移的表达式(省略时间项)

u1=(-rlcosφlejklxx1-rssinφsejksxx1)e-jkfyy

(12)

v1=(rlsinφlejklxx1-rscosφsejksxx1)e-jkfyy

(13)

w1=(e-jkfxx1+rejkfxx1+rneknx1)e-jkfyy

(14)

u2=(tlcosφle-jklxx2-tssinφse-jksxx2)e-jkfyy

(15)

v2=(tlsinφle-jklxx2+tscosφse-jksxx2)e-jkfyy

(16)

w2=(te-jkfxx2+tne-knx2)e-jkfyy

(17)

式中：8个待求解系数分别为r,rn,t,tn,rl,rs,tl,ts；而φl,φs分别为纵波与剪切波传播角，可由耦合处波数关系kfsinφ=klsinφl=kssinφs求得。式中面内位移u，v之间存在耦合，为纵波与剪切波在x,y方向的分量之和，当弯曲波斜入射时必须考虑剪切波的影响。

1.2 偏心加筋运动方程

在运动过程中加筋与板将产生相互作用力，当加筋存在偏心时，将引起薄板面外位移与面内位移发生耦合，此时需要考虑面内振动响应，因此涉及到加筋在x平面和z平面内的弯曲运动，以及y方向的扭转运动与轴向伸缩运动。图2给出了加筋质心位移与平板位移关系示意图。

图2 加筋形心位移与板位移关系

从图2可知，θb为加筋扭转运动的转角；e为偏心距(截面形心到平板中面的距离)，不考虑加筋截面的变形，即截面作刚体转动，由此可得到以板2位移表示的加筋位移

ub=u2x=0-eθb

(18)

vb=v2x=0

(19)

wb=w2x=0

(20)

θb=(∂w2/∂x)x=0

(21)

偏心加筋板的受力分析，如图3所示。加强筋的形心在受到均布剪力Fz，Fx、扭矩My以及轴向力Fy激励时的平衡方程为

(22)

(23)

(24)

(25)

式中：EIz，EIx、GIp、EA分别为加强筋的弯曲刚度、扭转刚度、拉压刚度；mb,Jp分别为加强筋单位长度质量与相对于形心的转动惯量。将加筋位移表达式式(18)～式(21)代入加筋平衡方程，式(22)～式(25)可得到以平板位移为未知量所表示的加筋反力。

1.3 能量传递系数求解

将内力、位移表示成关于r,rn,t,tn,rl,rs,tl,ts这8个未知系数的表达式，再通过平板在加筋耦合处的4个位移连续条件与4个力平衡连续条件求解各弹性波振动幅值。

位移连续条件

u1|x=0=u2|x=0

(26)

v1|x=0=v2|x=0

(27)

w1|x=0=w2|x=0

(28)

(29)

力平衡连续条件

Nxx2-Nxx1=Fx

(30)

Nxy2-Nxy1=Fy

(31)

Vx2-Vx1=Fz

(32)

Mxx2-Mxx1-e·Fx=My

(33)

式中：下标中的数字代表板的编号；平板内力为

(34)

(35)

(36)

(37)

图3 平板与加筋受力示意图

将加筋反力与平板内力代入连续条件可求解平面弯曲波入射下偏心加筋板的面内外位移响应与各弹性波振动幅值。

为计算弯曲波、纵波与剪切波的能量透射系数与反射系数，先分析各类型弹性波所携带的能量。取单位宽度(lf=1)入射弯曲波进行分析，如图4所示。为满足耦合边界处波数相等，产生的二次纵波与剪切波的传播角不再等于弯曲波入射角，因此其波束宽度将发生改变；由几何关系得波束宽度ll,s为

(38)

图4 弯曲波转换为面内波几何示意图

因此对于简谐运动而言，弯曲波、纵波和剪切波在板中传递的平均功率为

(39)

(40)

(41)

将各弹性波幅值r,t,rl,tl,rs,ts代入上式中的Af,l,s，能量传递系数为

(42)

式中：Tf、Rf为弯曲波能量透射系数与反射系数，弯曲波透射系数越小则表明阻抑效果越好；Tl、Rl为弯曲波转换为纵波的透射与反射能量系数，两者在数值上大小相等，采用ηl表示纵波的能量系数总和；Ts、Rs为弯曲波转换为剪切波的透射与反射能量系数，两者在数值上大小相等，采用ηs表示剪切波的能量系数总和。

2 数值计算与特性分析

2.1 方法验证

为验证解析方法的正确性，本文将采用解析法计算结果与有限元法计算结果进行对比。若无特殊说明，本文加筋板参数：取板厚h=3 mm，材料密度ρ=7 800 kg/m3，泊松比μ=0.3，弹性模量E=2.1×1011Pa，材料结构损耗因子η=0，加筋取无量纲质量比bH/h2=20、截面尺寸比H/b=5、偏心距e=H/2，对比弯曲波法向入射时两种方法的响应。

有限元采用ANSYS求解，为充分考虑弯曲波与面内剪切波、纵波的耦合关系，薄板采用Shell63二维单元，加强筋采用Beam188单元。而为了进行有限元建模，必须在无限大板上截取有限区域进行分析，并补充有限区域边界上原本受到的内力；在ANSYS中使用理论上的特征阻抗代替内力将更容易实现，因此可采用Combin14阻尼单元来实现力阻抗的功能，使其与无限大板等效，完全吸收入射波的能量，因此不产生反射，其阻尼值的大小为特征阻抗(单位宽度)乘以网格尺寸。板中各类波的特征阻抗包含弯曲波剪力阻抗、弯矩阻抗与面内纵波、剪切波阻抗，法向入射时与加筋平行的两边界(其余边界、梁类似)上自由度方向分别为Uz、ROTy与Ux、Uy。阻抗值由式(34)～式(37)除以速度计算，从而将有限区域边界上的内力位移关系用阻抗代替，其数值大小随频率发生变化。总体而言，本文的无反射边界实为半解析半数值方法。

图5为有限元模型示意图，图中位移激励为w=1，能同时产生左、右传播的弯曲波激励。为保证弯曲波在传播过程中始终为行波，需约束各节点绕x轴的转动。同时为减小位移在宽度方向上驻波效应的影响，本文将各组测点位移进行平均以减小误差，再根据测点组之间的幅值与相位进行驻波分解[15]，获得各波型的幅值并代入式(39)～式(42)计算能量系数。

图5 有限元模型示意图

图6(a)～图6(d)给出了解析法与有限元计算的弯曲波透射与反射能量系数、纵波、剪切波能量系数对比；图6(d)中有限元方法剪切波分量不超过0.8%，可认为其能量基本为零，可见，对于弯曲波法向入射引起的各弹性波能量系数，两者吻合良好；且图6(c)给出了由文献[10]中方法编程计算得到的结果对比，该文献进行过偏心加筋的互易实验验证，足以说明本方法的正确性。有限元计算结果存在轻微的波动，是由于加强筋两端的截断处对板中弯曲波产生散射所致。

在实际结构都会存在阻尼，波在传播过程中会产生能量损耗，其幅值以指数特性衰减，并根据不同波型的频散特性具有各自的衰减系数。随着传播距离的增加弯曲波幅值以e-ηkfx/4的形式衰减，纵波、剪切波幅值以e-ηkl,sx/2的形式衰减。

因此当实际结构损耗因子η、波数k、边界与所分析区域的距离l满足以下条件时

(43)

由边界产生的反射波传递到分析区域时其幅值小于原来的5%，可以忽略边界条件的影响，即可满足本文理论模型的无限大板假设。

2.2 临界角与全透射现象分析

为了使研究结论具有通用性以及直观地呈现出物理特性，图7～图10绘制了各能量传递系数与无量纲参数的关系。横轴采用与板厚无关的无量纲频率kf·h表示，对于薄板其取值范围为[0，1]；纵轴角度采用sinφ表示，使得某一频率下的角度平均能量系数等于能量系数沿纵轴方向的积分，各能量系数采用灰度表示。

(a) 透射弯曲波能量系数

(b) 反射弯曲波能量系数

(c) 纵波能量系数

(d) 剪切波能量系数

图6 偏心加筋板能量传递系数对比

Fig.6 Comparison of energy transfer coefficients in eccentrically stiffened plates

(a) 剪切波能量系数ηs

(b) 纵波能量系数ηl

(c) 反射弯曲波能量系数Rf

(d) 透射弯曲波能量系数Tf

图7 偏心加筋板各能量系数灰度图

Fig.7 Grayscale of each energy transfer coefficient of eccentrically stiffened plate

因此，当入射角度大于剪切波临界角时，弯曲波不会转换为面内波；当入射角度小于剪切波临界角且大于纵波临界角时，弯曲波只转换为剪切波；当入射角小于纵波临界角时，弯曲波会同时转换为剪切波与纵波。

由图7(c)、图7(d)可知，偏心加筋对弯曲波传播的阻抑特性中除了波型转换外，还存在与加筋固有特性相关的全透射现象；弯曲波绝大部分能量在加筋弯曲透射曲线、扭转透射曲线以及与两坐标轴围成的区域进行传播，其余区域将被显著地阻抑。

当频率较高或者加筋尺寸较大时，对于加筋在x平面的弯曲运动，其剪力阻抗将远大于薄板剪力阻抗，因此可以体现出加筋的固有特性，此时如果激励力在加筋方向上的波数分量与加强筋的自由波数相等，由式可知，加筋对薄板无剪力作用，弯曲波将发生全透射。高频段弯曲透射曲线可由kb=kfsinφ计算，加筋面外弯曲运动的波数kb=(mbω2/EIx)0.25因此可得

sinφ=[H2(1-μ2)/h2]-0.25

(44)

可见透射角和加筋高度与板厚比H/h有关，在当前截面参数下弯曲透射曲线sinφ=0.324，其余方向的加筋运动透射曲线同理可得，因此加筋扭转运动的透射曲线为

(45)

(46)

可见其数值与剪切波临界角相同，在当前截面参数下高频段扭转透射曲线为斜率等于0.49且过原点的直线，对称加筋的能量系数见图8(a)。

(a) 偏心距e=0

(b) 偏心距e=3H/8

(c) 偏心距e=H/2

(d) 偏心距e=H

图8 不同偏心距时的能量传递系数

Fig.8 Energy transfer coefficients at different eccentricity

以上主要分析了偏心加筋板能量传递系数与入射角度相关的特性，包括纵波、剪切波的临界角特性，以及加强筋弯曲、扭转透射的特性。

2.3 偏心距对能量传递特性的影响

为了研究偏心距对能量传递系数的影响，图8给出了偏心距e分别取0、3H/8、H/2、H时能量传递系数Rf的对比。

图9给出了等效转动惯量模型的能量系数，该模型假设转动中心位于板的中面上，不考虑面内位移，只将转动惯量在对称加筋的基础上加上偏移量mbe2，其他参数不变，等效后的转动惯量为

(47)

对比图8(c)与图9可知，偏心加筋在低频段的特性与等效加筋模型相同，由式(45)可得扭转透射曲线斜率接近0.98。这是因为频率较低时，加筋扭转运动的弯矩阻抗远小于薄板弯矩阻抗，因此扭转运动的转动中心趋近于薄板中面，从而接近于等效加筋模型的特性。因此偏心加筋板结构在低频段可采用等效模型进行简化计算。

而随着频率的增加偏心加筋特性最终将趋近于对称加筋模型，这一现象可通过增加频率计算范围或者增大加筋尺寸来观察，图10体现了这一特性。这是因为随着加筋尺寸或者频率的增加，其扭转运动的弯矩阻抗将远大于薄板弯矩阻抗，因此扭转运动的转动中心趋近于加筋的形心，从而接近于对称加筋的特性。

由图8可知，偏心加筋除了会引起弯曲波转换为面内波，还将引起加筋扭转透射曲线向低频移动，而弯曲透射曲线保持不变。图10给出了偏心加筋与对称加筋板的能量传递特性简化示意图，更加直观地体现出了加强筋偏心前后的区别，以及偏心加筋的高频与低频特性。加筋运动透射曲线之间的交点A、B、C均可由式(44)～式(45)近似求解，各点坐标为

(a) 反射弯曲波能量系数Rf

(b) 透射弯曲波能量系数Tf

(48)

图10 偏心加筋板能量传递特性简化示意图

(49)

(50)

沿纵轴积分可获得角度平均的弯曲波能量传递系数，显然，在扭转与弯曲透射曲线的交点B附近的频段，加筋对任意入射角度的弯曲波具有极大的阻抑效果，此频率称为全阻隔频率Ω，其无量纲值为

(51)

根据上式并结合加筋特性进行分析知，加筋偏心距e、加筋高度-板厚比H/h越大则全阻隔频率Ω越小，可通过参数的选取有效提高低频段的阻抑效果。

综合图7～图10可知，除了转换为面内波外，偏心加筋在低频段与等效转动惯量模型具有相同的弯曲波阻抑效果。而在高频段将趋于对称加筋模型。偏心的主要作用是有效降低了全阻隔频率Ω，提高了低频段的阻振效果，偏心距e与比值H/h越大越好。因此，为了提高加筋的阻振效果，工程中可适当增加其高度与偏心距。

3 结 论

本文基于波动法，研究了弯曲波在偏心加筋板中的能量传递特性，结论如下：

(1) 偏心加筋引起的弯曲波向面内波的转换存在临界角，只有当入射角小于相应的面内波临界角时才会有该波型的转换；且在入射角接近临界角时弯曲波会大量转换为面内波，不可忽略偏心距的影响。

(2) 存在与加筋固有特性相关的全透射现象：弯曲波大部分能量在加筋弯曲、扭转透射曲线以及低频区域进行传播，其余区域将被显著地阻抑。

(3) 偏心能有效降低全阻隔频率，因此为了提高低频段的阻振效果，可适当增加偏心距e与加筋高度-板厚比H/h。

在下一步研究中，将基于本文理论模型，并结合工程实际，研究周期偏心加筋板结构在扩散场中的能量传递特性，同时对边界假定条件的实际有效性范围进行进一步的探讨。