解 江，蔡忠义，项华春

（1.西京学院，西安 710123；2.空军工程大学装备管理与无人机工程学院，西安 710051）

0 引言

随着科学技术的发展，高可靠长寿命产品不断涌现，使得传统基于额定应力的试验方式难以适用，促进了加速退化试验技术的快速发展。通过获取加速应力下产品性能退化数据，外推产品的寿命分布函数以及相关寿命信息已经成为当前可靠性领域研究的热点。

Wiener过程是一种具有平稳、便于计算与分析特性的随机过程模型，广泛应用于退化建模。当产品的性能退化过程呈现出总体均匀变化，而个体之间的退化差异会随时间增加而逐步增大时，都可用Wiener过程进行退化过程建模。目前利用Wiener过程来建模加速退化数据需关注两个方面的问题。

1）非线性特征。由于受到噪声、扰动等不确定性因素的影响，产品在退化过程中常常呈现出非线性特征，一般可采用两种方法进行处理：一是非线性数据的线性化处理。Whitmore首先提出时间尺度模型的概念，将非线性数据转化为线性数据［1］。王浩伟等［2］、蔡忠义等［3］采用时间尺度模型，将非线性步进加速退化数据转化线性退化数据。由于该方法计算过程简单，应用也较为广泛［4］。二是直接建立非线性Wiener退化建模，推导出产品失效的概率密度函数［5］。通过模型误设研究［6］，表明后者的评估精度要高于前者。

2）随机效应。随机效应是指不同产品在退化过程中的个体差异。对于Wiener退化模型而言，一般将Wiener过程的参数看作为随机系数，以体现退化过程中的随机效应。蔡忠义等［7］、Wang等［8］将 Wiener过程的漂移系数和扩散系数都看作是随机变量并假定其先验分布类型为正态-逆伽玛分布，由于建模过程较为复杂，难以直接给出含有双随机系数的概率密度函数表达式，可能会影响预测精度。Peng等［9］、唐圣金等［10］认为个体之间的随机效应主要受漂移系数的影响，仅将漂移系数看作正态型随机变量，进而推导出了产品失效的概率密度函数的近似表达式。

因此，本文针对非线性步进加速退化数据，推导出考虑非线性和随机效应的产品失效概率密度函数，建立与产品退化数据特征相匹配的步进加速退化模型，采用两步极大似然估计法来求解模型中未知参数。

1 非线性Wiener过程

假设产品的关键性能退化参数仅有一个且退化过程X（t）可用一元非线性Wiener过程描述如下：

假设产品的失效阈值为w，则X（t）的首达时（即退化量X（t）首次达到失效阈值w的时间T）服从逆高斯分布，由此可推导出产品失效的概率密度函数表达式。

其中：

2 步进加速退化建模

2.1 模型假设

1）选择温度为加速应力、Arrhenius模型为加速模型；

2）产品在加速应力下发生的退化不可逆且退化机理不变；

3）产品性能退化量在实际测量过程中的测量误差暂不考虑。

2.2 步进加速退化模型

现有m个产品在n个加速应力下进行步进加速退化试验。试验应力记为S1，S2，…，Sn。已知每个加速应力下各测量K次产品的性能退化参数，得到的试验数据具有平衡试验数据结构。将应力Si下产品j第k个测量时刻记为，此时对应的性能退化数据记为，i=1，2，…，n；j=1，2，…，m；k=1，2，…，K。步进应力加速退化试验过程见图1所示。

图1 步进应力加速退化过程

由图1可知，当前加速应力下产品退化量初值是前一应力下退化量末值，即，从而建立各加速应力下性能退化量X（t）的关系模型如下：

式中，X（ti，k）为应力 Si下第 k 个次测量到的性能退化量；ti，k为对应的测量时刻；i为应力Si下漂移系数，为描述受试产品之间的随机效应，用正态型随机变量表示为。

2.3 加速模型

Wiener过程中漂移系数常常被认为是与加速应力有关的参数，因此，可采用Arrhenius模型来描述漂移系数与温度之间的关系模型，具体为：

3 参数估计

根据式（10），建立未知参数集Θ的对数似然函数为：

由于上式中aj相对于是隐含变量，难以直接通过传统极大似然估计法求解出，但可采用两步极大似然估计法进行求解，即第1步，针对参数b，c的轮廓对数似然函数，求解出 b，c的估计值，进而求解出隐含变量aj和的估计值；第2步，利用，求解出的估计值。具体求解过程如下：

首先，求解出式（11）关于 aj和的一阶偏导数为：

然后，进一步可求解出aj和受限于b，c的估计值为：

将式（14）、式（15）代入式（11），化简后即可得到参数b，c的轮廓对数似然函数为：

采用基于单纯形法的fminsearch函数，进行二维遍历搜索，直到取最大值时，即可求解出b，c的估计值。将代入式（14）、式（15）即可求解出隐含变量aj和的估计值。

4 实例分析

已知某型激光器的关键性能参数是工作电流，其正常工作温度为25℃，现有8个产品进行步进应力加速退化试验，步进温度分别为35℃、55℃、75℃。每个应力下测量5次，测量间隔为150 h。当激光器工作电流增加量达到10 mA时，则认定其失效。设定该激光器SSADT仿真参数的真值如表1所示，采用Monte Carlo仿真方法，得到8个样本在SSADT中工作电流的退化数据见图2。

图2 8个步进加速退化数据样本

为便于比较本文所提出的方法与现有方法之间的拟合精度和评估优势，将本文提出的基于非线性Wiener过程的加速退化建模方法记为M1，将文献［10］提出的基于线性Wiener过程的加速退化建模方法记为M2。采用赤池信息准则（AIC）和均方误差（MSE）来判断两种方法模型之间的优劣［3］。

4.1 参数估计结果

设定参数b，c的初值分别为2 600、1，采用基于单纯形法的fminsearch函数进行遍历搜索，再将所返回的 b，c值代入式（14）、式（15）、式（17），从而求出求得。具体参数估计结果见表1。

4.2 方法优劣判断

根据AIC和MSE计算公式，计算出两种方法之间的AIC值和MSE值见表2。可知，M1的AIC值和MSE值均较小，说明M1的模型拟合精度更好。

表1 参数估计结果结果

表2 两种方法的优劣对比

4.3 概率密度函数

将上述参数估计结果代入式（4）、式（5），可求解出激光器的概率密度函数，进而绘制出其概率密度函数曲线见图3。从概率密度曲线看，M1概率密度曲线较M2概率密度曲线更接近于真实值曲线，说明M1的模型拟合性较好。

图3 两种方法的概率密度曲线

5 结论

1）本文在步进加速退化试验场合下，提出了一种基于非线性Wiener过程的步进加速退化建模方法，可处理非线性、随机效应等退化特征数据。

2）针对退化模型中多个未知参数的估计问题，采用两步极大似然估计法，可较好地处理参数个数多于似然方程数的场合，参数估计精度较高。

3）通过仿真实例分析，进一步验证了本文所提出的方法比现有方法的拟合精度更好，从两者的AIC值、TMSE值以及概率密度曲线也可以证实。