徐盈盈

[摘 要]在计算图形的面积和体积时，一般只要将各项数值代入公式就可以准确计算出结果，但是与圆形相关的一系列计算都绕不开一个棘手的问题，那就是圆周率[π]的近似值，因为[π]是小学生接触到的第一个无理数。给出在计算过程中对[π]的代换、抵消、简化的技巧，帮助学生正确认识[π]。

[关键词][π]的取值;操作;试验 ;感悟

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）14-0025-02

尽管十二册“实践活动”这一课已经上过很多次，但每次备课笔者都会产生新的疑问——“这个实践活动探究的价值在哪里？”“怎么才能有条不紊地安排4个活动？”大家给出的意见是：让学生通过操作认识到侧面积相同的圆柱体体积未必相等的教学创意不错;尽管能够利用计算器速算，但是一旦启用计算器，规律就会被隐藏。听取了同事的意见后，笔者开始重新审视这节课。

一、试教中的新发现

不管“水有多深”，只有亲身“下水”，才能发现“π取近似值”妨碍了探究活动的展开。

活动：准备四张一模一样的长方形纸，长16cm、宽4cm。取出其中两张长方形纸，一张横向卷曲成圆柱体，另一张纵向卷曲成圆柱体。问：两个圆柱的体积相等吗？先猜想，再验算。

当长方形纸片横向卷曲（沿着长卷）成圆柱体时，如图1所示，得到的圆柱体中，长方形的长演化为圆柱体底面的周长，即圆柱体底面周长C=16cm，长方形的宽演化为圆柱体的高，圆柱体高h=4cm。[4cm][16cm][4cm][图1]

根据本单元的教学目标，在计算圆柱的底面半径、表面积和体积时，公式中的圆周率π一律要取近似值。因为圆周率的近似取值，使得每个学生在计算制成的圆柱体纸筒的底面半径、表面积和体积时，得到的结果也不同。如本题要计算圆柱体纸筒的底面半径，按课本中一般保留π的两位小数的明文规定，半径r=16[÷]2π=2.547707…≈2.55（cm），然后再计算出圆柱体纸筒的体积V=πr[2]h[≈]3.14[×]2.55[×] 2.55[×]4=81.6714≈81.67（cm[3]）。

同理，当长方形纸筒竖直起来卷（沿着宽卷） 成圆柱体时（如图2），长方形的宽演化成圆柱的底面周长，圆柱体底面周长C=4cm，长方形的长演化为圆柱体的高，圆柱体高h=16cm。此时圆柱体底面半径r=4[÷]2π=0.6369…[≈]0.64（cm），圆柱体体积V=πr[2]h[≈]3.14[×]0.64[×]0.64[×]16=20.578304[≈]20.58（cm[3]）。

将得到的各项数据整理如下：

可以发现：用两种方式卷长方形纸，得到两个不同的圆柱形纸筒，它们的底面周长、高、侧面积都是精确值（整数值），二者的元素联系非常明显。不管是横向曲卷还是竖直曲卷，制成圆柱形纸筒的侧面积相等，都等于长方形纸张的面积，而圆柱体的底面周长，横向曲卷时是纵向曲卷时的4倍，高则恰好相反，可底面半径、体积之间却没有这种对应的数量关系。面对这种情况，是否该对学生直言相告：横向曲卷的圆柱体的底面半径和体积约为纵向曲卷时的4倍，而非刚好4倍，是因为求值时对圆周率[π]取了近似值？既知如此，何必当初！

因为[π]取了近似值，原本直观的规律不存在了，还能继续引导学生去寻找、检验已被破坏的规律吗？这不是伪证吗？就算使用计算器，还是一样找不出严谨准确的规律！实践活动的目标“研究圆柱体体积的变化，引导学生总结规律，加深对圆柱表面积、体积的认知，并感受数量的转化关系”如何实现？难怪大家都叹息“想要说清不容易”，最终只能遗憾地舍弃！

二、课后思考

在做应用题时，圆周率π通常取近似值，演算時把π置于代数式最后一项，可以通过观察代数式的全貌特征进行简化，这个道理早在第十一册就已经被学生理解并运用。那只是圆周率π在乘法算式中的简化抵消方法，如：3.14[×]3[×]3=9[×]3.14=28.26。如今圆周率π要作为除式的分子，又该怎么应对？笔者的处理方式是：把圆周率[π]的取值置于最后一步，或者将圆周率π原封不动留存于算式中，让结果带字母π。

如图2，当横向曲卷长方形纸时，制得的圆筒底面周长C=16cm，高h=4cm，先据此推算出底面半径r。

r=C[÷]2π=[162π]=[8π]（cm）。（[π]不参与计算，用含π的分式表示得数）

V=π[×]（[8π]）[2][×]4=π[×][8π][×][8π][×]4（[π]仍不参与计算，可约分去掉一个[π]）=[256π]（cm[3]）。约分后最简代数式是含有无理数符号π的分式。

同样，当纵向曲卷长方形纸时，制得的圆筒其底面周长C=4cm，高h=16cm。那么半径r=C[÷]2π=[42π]=[2π]（cm），V=π[×]（[2π]）[2][×]16=π[×][2π][×][2π][×]16=[64π]（cm[3]。）

把分别横向、纵向曲卷长方形纸得到的圆柱体的五项数据进行对比，如下表：

观察表内数值，“[8π]正好是[2π]的4倍”“[256π]正好是[64π]的4倍”……规律显而易见。

三、实践感悟

不着急给π取值，学生就能探究出转化后的数量之间的规律：（1）当圆柱体的侧面积不变时，圆柱体的底面周长与底面积和体积的大小变化相同;（2）当圆柱体的侧面积不变时，圆柱的底面周长与高的大小变化相反。圆柱的底面周长扩大（缩小）4倍，高就随之缩小（扩大）4倍;（3）当圆柱体的侧面积不变时，圆柱体的底面周长与半径、体积的大小变化相同。圆柱体的底面周长扩大（或缩小）4倍，它的半径就同向伸缩4倍，体积也同向伸缩4倍。

不仅如此，还有意外的惊喜，如：高的“作用力”以及半径平方的几何倍增作用相互制约。在计算圆柱体体积时，因为“体积=π[×]半径[2][×]高”，所以一个圆柱体的体积既受到半径的计值作用，也受到高的计值作用。在这个操作过程中，从横向曲卷到纵向曲卷，高虽然扩增4倍，底面半径缩小4倍，但是由于半径要平方，也就是连续做两次乘法，扩增互相抵消一次后，结算下来，体积仍是缩小了4倍。

用式子表述如下：

[V横]=π[×]r[2][×h]

[V纵]=π[×]（r[÷]4）[2][×]（h[×]4）=[π][×][r216][×]h[×]4=[π][×]r[×]r[×h][÷]4=（π[×]r[2][×][h]）[÷]4

因此，[V纵]=[V横][÷]4。

也有少数学生迫不及待地算出近似值，最终确认两个近似结果之间近乎4倍不是正好为4倍。但在笔者提出质疑后，学生马上找到其中的原因——因为都取了近似数。可见，用带无理数符号[π]的式子直接代表计算结果更便于揭示规律。

（责编 童 夏）