王敬文， 黄劲松， 智桐， 王成敏

（江西理工大学信息工程学院，江西 赣州 341000）

0 引 言

在量子网络[1]中，量子节点是其中一个非常重要的组成部分，因为它能够连贯地连接不同的量子信道.而在量子节点中，量子路由器常被用于控制量子信号的传输路径.目前已在许多系统中，如腔和电路量子电动力学系统[2-3]、光机械系统[4]等，进行了大量关于量子路由器的研究.

近年来单光子传输技术的快速发展[5-12]为研究单光子量子路由提供了理想的平台，其中光子由于具有良好的相干性和非常低的损耗所以被用作为理想的信号传输载体，波导被作为控制光信号传输的量子信道.在波导激发器系统中关于量子路由的许多理论方案[13-16]以被阐述，如周兰等[13-14]提出在一个X型的耦合谐振腔波导构成的两个量子信道中研究单光子量子路由，一个循环三能级激发器在经典驱动场的协助下，可以实现信号在不同信道间的传输.然而，在这些单激发器的波导系统中，从输入信道到另一信道的单光子的路由转移率较低，不超过0.5，这将会限制路由器的更多潜在的应用.在一个多信道量子网络里，高转移率可以更有效地分配传输的信号，因此设计高转移率的量子路由器将入射的光信号路由到其它量子信道是很有意义的.为了提高路由转移率，卢竞等[16]修改了X型波导为T型波导，利用半无限长的耦合谐振腔阵列的硬壁边界来限制辐射场，从而实现了入射波从半无限信道到无限长信道的高转移率传输，然而信道的端口数量减少为3个.

考虑到上述这些因素，提出了一种简单的方案来有效地调控波导网络中单光子的量子路由.所设计的系统通过在原有的单激发器耦合的X型波导中增加一个二能级的激发器来实现，该双激发器构置的系统仍保留有2个通道和4个端口.首先通过采用离散坐标散射方法进行分析计算，得到了波导网络的4个端口中的单光子散射幅，然后通过数值方法讨论了如何调控相关参数来实现光子的所期望的量子路由.2个激发器在波导中形成的超腔可以产生一个有效反射势来局域入射光子，并将更多的光子路由到另一个波导信道.与以前的方案[13-14]转移率不大于0.5相比，光信号从一个输入信道路由到另一个信道的概率可远超过0.5.因此，提出的方案可为量子级别的高路由率光学器件设计提供潜在的应用.

1 理论模型与计算分析

图1为控制高效率单光子量子路由示意图，该图由两个交叉的耦合谐振腔阵列构成的X型波导中，一个三能级激发器置于ja＝jb=0处，通过经典场Ω共振驱动，另一个二能级激发器放置在ja＝n处.单光子从信道a左侧入射，被反射、透射或转移到信道b，波导中两个量子信道由两个交叉的一维耦合谐振腔阵列提供，其腔模分别由产生算符a†ja和a†jb描述，下标取为ja=jb=-∞，…，∞.一个三能级激发器放置于交叉腔中，它的基态、激发态和中间态分别为｜g1〉、｜e1〉和｜s1〉.在两个信道中产生｜g1〉↔｜e1〉跃迁的耦合强度分别是 ga和 gb，而跃迁｜e1〉↔｜s1〉通过一个经典驱动光场耦合，相应的Rabi频率为Ω，另外一个激发器放在ja=n处，只与信道a耦合，耦合强度为gn.

当光子从信道a左端的一个微腔进入时，它将沿着信道a传播或被激发器反射沿原路返回，或通过激发器被路由到信道b中上下传输.整个系统的哈密顿量由三部分组成：

其中，Hw描述了光子在波导中的自由传播，Ha是三能级激发器和二能级激发器的自由哈密顿量，Hi描述了腔模、经典驱动和激发器之间的相互作用.这3个分别写成以下形式（ħ=1）：

这里激发器基态的能级已去掉作为能量参考.为简单起见，假设信道a（b）中的所有谐振腔具有相同的频率 ωa（ωb），而且信道 a（b）中任何两个最近邻谐振腔之间的跳频系数 ξa（ξb）也是一样.公式（2）中的波导哈密顿量Hw描述了典型的紧束缚玻色模型，其离散关系[15]表示为和和 kb为波数.

由于该复合系统中的激发粒子总数守恒，因此哈密顿量（1）的本征态具有以下形式：

其中，｜0〉表示波导中处于零光子状态，α（ja）和 β（jb）分别是信道a和b中腔的单光子态的概率幅度，cs（ce，cn）分别表示激发器相应能级的概率幅.

通过本征态演化方程 H｜φ〉=E｜φ〉可得到：

这里已令Ea=Eb=E.

波函数可由下式给出：

r1、t1分别代表在信道a中第0个和第n个腔之间的反射和透射振幅，ra、ta、tdb和 tub分别是路由器的左、右、下和上传输幅值.公式（5）和公式（6）代入上方程组，可得到散射振幅为：

激发器和波导之间的耦合产生依赖能量的有效势为：

以及两个信道之间的色散耦合强度为：

这里记 Δe1=E-ωe1，Δ=E-ωs1和 Δe2=E-ωe2.色散耦合强度G和有效势对单光子路由特性起着重要作用.

2 单光子量子路由

先考虑只有交叉腔中单个激发器情况下的路由，令 gn=0，公式（7）可以化简到文献[14]的结果.为了计算的方便，下面的讨论中取 ωa=ωb=ω0，ξa=ξb=ξ，和 ka=kb=k，其它的参数取为 ga=gb=1，ωe1=8.4，ωs1=8，ωs2=8，ξa=ξb=1 和 n=5.图 2（a）中呈现了 Ω=0.4 透射 Ta（虚线），反射 Ra（点虚线），转移 Pb（实线）对失谐的变化，可观察到当入射光子频率与跃迁能级共振时（E=ωs1），ta=1，此时光子完全透射出信道 a，没有光信号路由到信道b,这可应用为一种光开关.在非共振频率区域，入射光子将被部分转移到其它信道，光子流的守恒关系变为Ta+Ra+Pb=1.这里分别标记透射率Ta=反射率Ra=2和信道间转移率P=由于信道b上下对称的传b输，存在但是由于单个量子发射器的能级辐射在两个信道间的不对称性，进入另一个信道的最大概率不超过0.5，如图2（a）所示.

为了研究耦合系数gn对进入信道b的转移率Pb的影响，图 2（b）绘制了Pb在 Ω=0.1时对3个不同的耦合数gn的关系图，曲线分别对应为实线gn=0，虚线gn=0.4，点虚线gn=0.8.如前所述，当gn=0时，实线显示即使在改变驱动的情况下，Pb始终没有超过0.5.与单激发器情况形成鲜明对比的是，高转移率Pb＞0.5会随着另一激发器的耦合gn的增加而出现，且达到最大值0.932.出现这种情况的主要原因是波导a中这两个激发器所处的谐振腔阵列形成了一个超腔[8]，行进的光子被激发器产生的有效势反射后局域在这个超腔里，然后更多的光子被路由到波导b，因此转移率提高.图2（c）表示转移率Pb在不同的Ω（实线Ω=0.1，虚线Ω=0.4）的变化.结果显示出，经典驱动对转移率的影响不是很明显，而且随着驱动增大，对转移率有一定的抑制.

图2 透射、反射、转移对失谐的变化

进一步地，图3研究了耦合强度gn，驱动Ω和谐振腔个数n对进入信道b的光子转移率在整个频段的最大值Pmaxb的影响.图3（a）曲线分别对应为实线Ω=0.1，虚线Ω=0.4，粗线是存在耗散情况下的变化曲线.可以发现在弱耦合区域，转移率的最大值刚刚超过0.5，随着耦合强度增加，超腔里激发器产生的与耦合强度相关的有效势增大，转移率的最大值也逐渐增加.图3（b）曲线分别对应实线gn=0.4，虚线 gn=0.8，可以看出，驱动Ω在前段小范围值内对转移率的影响比较大，最大转移率Pmaxb会随着驱动增加而降低，而当驱动超过一阈值时对最大转移率的作用就不明显，其主要原因是驱动小于能级跃迁的补偿时对路由的影响比较大.

实验上，在电路量子电动力学系统中，构成激发器的磁通量子比特可耦合到传输线上的谐振腔的微波场，它们之间的强耦合强度可以很容易地通过应用电路回路的外磁通偏置[17-18]来调制.因此，在这些系统中高转移率是实验可行的.注意到上述的研究中的耗散，实验上激发器和波导系统不可避免的会产生耗散.因为系统耦合到外部环境中，会发生激发器的激发态驰豫和光子泄漏.图3（a）也研究了耗散情况下的量子路由的变化，计算中可以在相应的频率后加上各自的耗散iγ，耗散参数的选择比例于耦合强度，实验结果[19-20]为γ=0.02，通过比较发现最大转移率Pmaxb由于泄漏到外部环境而会降低.此时光子流不再守恒而变为＜1.但是对适度低的耗散，高的迁移率Pmaxb=0.92还是可以实现.实际上波导信道是并不是理想模型中的无限长，通过计算发现腔的个数n对路由率的影响较小.图3（c）分别描述了在gn=0.4，Ω=0.4时无耗散（实线）和存在耗散0.02（虚线）的情况下腔的个数对最大迁移率的变化曲线，最大转移率Pmaxb随着波导中谐振腔的个数增加存在微小的波动.当增加耗散时，最大转移率由于耗散向外泄漏部分光子而相应减小，但是受腔个数的波动影响也是很细微.这是因为路由高转移率的产生是由于通过两个量子激发器的波函数在空间的量子干涉导致，而两个量子激发器所处位置之间的腔数与波数的乘积是周期性指数函数，见公式（7），不同的腔数在全频段波数范围内产生的迁移率最大值只是改变对应最值的不同波数，而对最大迁移率的数值影响不大.

图3 最大转移率Pmax b随gn，Ω 和n的变化

3 结 论

研究了X形波导中耦合两个激发器构成的路由器对信道间单光子路由的相干调控.通过离散坐标散射方法计算得到了波导网络各端口的散射幅.结果显示，与激发器耦合相关的有效反射势可将光子局域两个激发器形成的超腔中，并路由更多光子到其它信道，从而提高系统的路由能力.实验的可行性也加以了讨论，因此，提出的系统可以用作一个有效的量子路由器来实现可操控的路由.