邱锺慧 马德宜 柳福祥

摘    要 对圆面积公式推导教学中出现的三个难点——怎样剪圆、怎样把圆转化为基本图形及刘徽的割圆术求面积法的理解进行突破，可以为教师设计圆面积教学方案提供新的思路。

关键词 圆面积 数学史 转化 割圆术

一、问题的提出

圆的面积不同于矩形面积，这一内容的难点是怎样使学生明白它的公式推导过程。学生知道了圆的周长公式，那圆的面积怎样计算呢？圆不是规则图形，学生只接触过规则的平面图形，求曲线图形的面积，他们会无从下手，教师让学生仔细想想：能把圆分割后拼成别的图形吗？由此引起学生的思考。转化是解决几何图形面积问题的利器之一，极限思想在其过程中是必不可少的，这两种思想是本节课的难点。课前，教师先让学生猜一猜：圆的面积是与直径有关，还是与半径有关？周长呢？然后引导学生用格子数，再考验学生的眼力，圆内接正方形，它和圆的面积会有联系吗？圆外切正方形，它和圆的面积会有联系吗？最后教师引导学生剪一剪、拼一拼，应该怎样转化？沿什么剪？怎样拼？怎样理解刘徽的割圆术？教师可以从以上一系列问题，有针对性地设计教学。

二、圆的面积的教学难点及对策

把数学史融入课堂，能向学生清楚地阐述数学的历史，揭示数学规律。但是在数学教学中，数学史并未得到教师的重视，他们忽略了数学史的人文价值。

本文找到了关于圆面积的史学知识，并结合学生在圆面积教学中的难点，为教师提供关于数学史融入课堂的教学设计参考，使数学史的魅力真正展现出来。

难点1：怎样剪圆

在教学开始时，教师引导学生用数格子的方法来猜一猜圆面积，但是数格子并不能准确地算出圆的面积，所以教师应该用更好的教学方法来推导圆的面积计算方法。

德国数学家开普勒为圆面积的计算提供了很好的分割方法。他认为可以模仿切西瓜，将圆分为n个相等的小扇形[1]。古人认为将圆剪成相似的六边形是一个好办法，但是开普勒觉得剪成六边形不能准确地求出圆面积，所以他将圆分成无数个扇形，最后圆变成了直线图形。

在教师的教学设计里，添加学生手工制作环节的时候，考虑到学生可能对裁剪圆这个环节无从下手，教师可以给他们讲讲开普勒切西瓜的故事，这对他们怎样剪圆会有所启发。学生会把圆分成6个扇形、8个扇形、16个扇形、32个扇形……在剪的过程，学生会经历古代数学家遇到的问题，也就是说学生的认知过程将会重现数学史发展的过程。

难点2：怎样把圆转化为基本图形

先剪再拼就是转化的过程。学生看到平行四边形就会联想到割补平移法，把它转化成长方形，由此得出平行四边形面积计算公式。教师鼓励学生动手剪开圆，接着就会思考如何把小扇形拼成其他图形。

第一种拼法（图1）：剪成16个近似的三角形，拼成平行四边形，分析平行四边形与圆的关系，这样就能得出圆面积公式。

第二种拼法（图2）：剪成16个近似的三角形，拼成长方形，这样也能推出圆的面积公式。

以上两种拼法都用了转化这种数学思想，将圆先剪再拼。教师在讲解转化思想的时候，可以这样引导学生：把一个圆转化成平行四边形或长方形。虽然圆的外表变了，但面积没变。不管学生怎样拼合小扇形，圆的面积一直不变，这就是出入相补原理。出入相补原理，可以理解为：如果把平面图形剪成n份，那么把n份图形的面积加起来，结果和该图形的面积相等。所以不管图形移到什么位置，经过怎样的裁剪，拼合得到的图形面积都会和原图的面积相等[2]。

难点3：刘徽的割圆术求面积法

前面已经学过圆的周長公式，学生对刘徽的割圆术已经有一定的了解，下一节课“圆的面积”也会用到割圆术，学生对割圆术不再陌生。大数学家刘徽的割圆术：圆内接正多边形，它的边数不停地增加，正多边形的面积与圆的面积的误差会逐渐减少。

刘徽的割圆术求面积法，对学生来说是很难的，教师在教学设计时有必要介绍刘徽的割圆术求面积法的具体内容。首先介绍刘徽怎样定义“余径”、余径与正多边形有什么联系。在《九章算术》里，刘徽[3]指出：“觚面之外，犹有余径。以面乘余径，则幂出觚表。”所谓“余径”，是指分隔线的边外部分。在图3中，余径EF是圆半径在圆与内接正多边形之间的一段。余径EF和内接正多边形的边长AB相乘，就能求出四边形ACBD的面积，算出它的面积与圆内接正六边形的和，圆的面积就比它的面积小。

最后，教师要介绍刘徽是怎样把正多边形与圆联系在一起的，怎样找出圆的面积范围。图4是圆内接正六边形，假设多边形有n条边，则S6是正六边形的面积，S12是正十二边形的面积，计算过程为：

则：正十二边形面积为6·SAFBO，而四边形AFBO的面积是三角形ABO的面积加上三角形ABF的面积得来的。

SAFBO=SABO+SABF

S12=6SAFBO

∴正十二边形面积<圆面积

在图4中，小长方形的圆外边界构成一条包围圆周的曲线，称作“破缺”的外切正多边形[3]。

“破缺”的外切正多边形的面积为四边形ACBD的面积加上三角形ABO的和的6倍，即：

SACDB=EF·AB

破缺外切正多边形面积=6（SACDB+SABO）

∴正十二边形面积<圆面积<破缺外切正多边形面积

六年级学生可以依靠学过的三角形、矩形面积公式来求出圆的面积范围。正12边形的面积与圆的面积相比仍然存在误差，因此，还要继续增加多边形的边数，这是一个无穷的过程。

这个过程计算量很大，教师要尝试辅导学生计算正12边形和破缺外切多边形的面积，重要的是让他们领悟“无限逼近”这个思想的含义。

刘徽用割圆术的目的就是推出圆的面积范围，这种方法是把不知道的圆的面积夹在两个已知的图形面积之间，不停地增加正多边形的边数，使两个已知的图形面积与圆面积的误差逐渐减少，即左右夹逼。总的来说，刘徽把“未知”变为“已知”，把“无限”变为“有限”，很好地运用了极限思想来解决问题。

三、教学上进一步反思

如果教师能完美地把数学史融入课堂，那么学生的认知障碍将被打破，数学史料也将在实践层面得到较好的发展。当教师介绍我国数学家刘徽的伟大成就时，学生可能很享受这堂课的学习过程，可能会因为自己的求知过程与大数学家的经历很相似而感到惊喜和自豪。教师带学生进入刘徽割圆术的世界之后，引起学生更深入的思考：圆的剪拼还有其他方案吗？

其实，圆的面积公式推导的方法不止前面的两种。国内的数学教科书中有六个版本，浙教版的数学教材提到，可以把圆内的小扇形拼成梯形、三角形。

拼法一（图5）：剪开圆后，拼成近似的梯形，推出圆的面积公式。

拼法二（图6）：剪开圆后，拼成三角形，推出圆的面积公式。

拼法三（图7）：将圆平均分成16份后，不剪开，先求出1个扇形的大小，1个扇形面积近似1个三角形面积，再乘16，算出圆的面积。

考虑到学生现有的数学基础，大部分教材选择拼成平行四边形和长方形是因为方法简洁、容易理解。而后面介绍的三种拼法所推导的公式对学生来说比较难证。圆面积计算公式的推导方式有很多，但不需要每种方法都掌握。让学生在整个推导过程中感悟“无限逼近”的含义，以及转化和极限的数学思想即可。

在逐一分析以上的推导过程后，教师发现学生对圆面积的转化和极限思想有了更深刻的理解。本文分析了学生在圆面积教学中可能会遇到的难点，希望能为广大教师的教学设计提供一种新的思路。

参考文献

[1] 顾东春.开普勒与葡萄酒[J].课外生活：小学版，2007（03）.

[2] 彭刚.出入相补原理及其应用[J].四川教育学院学报，2009，25（04）.

[3] 王能超.千古绝技“割圆术”——刘徽的大智慧：第2版[M].武汉：华中科技大学出版社，2002.

[责任编辑：陈国庆]