贾秀敏 白占国

(河北科技大学理学院，河北 石家庄 050018)

由于长直共轴共焦双曲导体柱板在空间产生的电场分布与轴无关，可作为平面场问题进行研究，取其横截面建立图1所示坐标系。文献[1]、[2]采用等值坐标对双曲柱板间的电场和电容分别进行了分析，方法虽然简单，但若不熟悉椭圆柱坐标，则颇感费解。本文利用解析函数的性质，通过等势线方程导出了共轴共焦双曲柱板间的电场及单位长度的电容，并对一些特例进行了讨论。

1 等势线方程

共焦双曲线是到两焦点(-c,O)、(c,O)的距离之差为常数(等于实轴2a)的动点轨迹，即

(1)

式中取不同的a可得到不同的共焦双曲线

图1 共轴共焦双曲线柱

图1为实半轴分别为a1，a2的共焦双曲柱板l1、l2，其电势分别为u1、u2，由于板间电势满足拉普拉斯方程，且两板为等势面，故两双曲柱板间的等势线方程亦为式(1)。

2 电势和电场强度

(2)

整理为

积分两次得

即

(3)

将u1、a1；u2、a2代入(3)式得

整理式(3)即为两双曲导体柱板间的电势分布，即

(4)

由E=-t，可得到两双曲导体柱板间的电场强度分布

(5)

电场强度的大小为

(6)

在双曲柱板li(i=1,2)上，由式(1)知

故柱板上的电荷面密度大小为

(7)

3 电容

式(1)的参数方程为

(8)

共焦双曲柱板间沿轴线方向单位长度的电容为

(9)

显然，这种完全开放型柱板间的电容随着柱板长度在变化。

4 讨论

图2 导体平面与双曲柱面

图3 互相垂直的导体平面

2) 在l2退化成导体平面的基础上，再令a1=-c，由式(8)知x≤-c,y=0，说明l1退化成从焦点(-c,0)沿着x轴负向延伸至无穷远的导体平面，如图4所示，l1、l2上的电荷面密度由式(7)可知