张婧 张睿 周震

摘 要 针对种群的发展趋势不仅依赖于当前的状态， 而且还依赖于过去某一时间段的状态.研究了一类带时滞的捕食者-食饵模型. 首先应用线性化方法分析该模型正平衡点的局部渐近稳定性， 然后以时滞为分支参数讨论Hopf分支的存在性， 最后对模型进行数值模拟证实了以上相关结果.

关键词 常微分方程; 稳定性; 线性化; 时滞

中图分类号 O175           文献标识码 A

Stability and Hopf Bifurcation

for a PredatorPrey Model with Time Delay

ZHANG Jing， ZHANG Rui， ZHOU Zhen

（Department of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou， Gansu 730070， China）

Abstract The development trend of a population depends not only on the current， but also on the state in a certain period of time in the past， a predatorprey model with time delay is investigated. First， the local asymptotic stability of the positive equilibrium is demonstrated by using linearization. Then， the existence of Hopf bifurcation is considered by choosing the time delay as the parameter. Finally， some numerical simulations are carried out to illustrate above results.

Key words ordinary differential equation; stability; linearization; time delay

1 引 言

自然界中， 捕食与被捕食是种群之间相互作用的关系之中最为普遍的一种，食饵-捕食者系统的模型构建以及动力学行为研究已经取得了很大进展.随着研究的不断深入和拓展，学者们发现了时滞现象，也就是种群的发展趋势不仅依赖于当前的状态，而且还依赖于过去或未来某一时间段的状态.在分析这类系统时，就要选用具有时滞的微分方程才能更准确地描述出种群的现实状态.

在时滞微分方程理论中， Hopf分支是一种常见的分支现象.该现象是指当参数变化时， 系统在某个平衡解附近发生非平凡周期解从无到有或者从有到无的现象.发生改变的相应参数的临界值被称为分支值. Faria（2001）[1]对捕食者-食饵模型中的生物学参数作了详细解释. Celik（2008）[2]研究了一类捕食者种群具有时滞的比例依赖型的捕食者食饵模型.Celik（2009）[3]研究了一类食饵种群具有时滞的比例依赖型捕食者-食饵模型.这两篇文章都以时滞τ为参数， 分析了模型唯一正平衡点的局部渐近穩定性与Hopf分支的存在性. Yuan和Song（2009）[4]研究了具有时滞的LeslieGower捕食者-食饵模型，分析了其正平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性. Ma（2012）[5]研究了一类捕食者与食饵种群都具有时滞的捕食者-食饵模型，分析了其平衡点处Hopf分支的存在性及分支周期解的稳定性. Chen和Zhang（2013）[6]研究了一类食饵种群具有时滞和庇护所效应的捕食者-食饵模型， 考虑了食饵种群妊娠期的时间滞后影响， 分析了其平衡点稳定性和Hopf分支的存在性.

对于捕食者种群个体来说， 捕食者并不是一出生就具有抓捕能力， 它们需要时间由幼年成长为成年， 时间对抓捕能力的影响不容忽视.需要考虑捕食者成熟期的时间滞后影响，因此在上述模型中对捕食者种群引入时滞， 首先建立了一类新的捕食者种群具有时滞和庇护所效应的捕食者-食饵模型， 然后运用线性化的方法分析模型正平衡点的稳定性和Hopf分支的存在性， 接着举出模拟数值算例， 最后得出时滞对模型正平衡点稳定性的影响作用.

2 具有时滞的捕食者-食饵模型

在一类捕食者-食饵模型中对捕食者引入时滞τ建立模型（1）.

dx（t）dt=x（t）r-ay（t），dy（t）dt=y（t）[-d+bx（t）-cy（t-τ）]

+m[x（t）-py（t）]， （1）

其中， x（t）与y（t）分别代表食饵种群与捕食者种群在t时刻的密度， r为食饵种群的内禀增长率， ay（t）表示捕食者存在被狩猎的情况， m是捕食者的迁移率， p是捕食者单位时间对猎物的消耗速率， c是捕食者的自限性常数， d是捕食者的死亡率.

为了减少参数数量，令u（t）=cxtτpr， v（t）=cytτr， 得

du（t）dt=u（t）1-acv（t），dv（t）dt=v（t）[-dr+bpcu（t）-v（t-rτ）]

+pmr[u（t）-v（t）]. （2）

用a，d，b，τ，m分别代替ac，dr，bpc，rτ， 得

du（t）dt=u（t）-au（t）v（t），dv（t）dt=v（t）[-d+bu（t）-v（t-τ）]

+m[u（t）-v（t）]. （3）

定理1

对于模型（3）， 若

（H1） -d-1a

成立， 系统存在唯一正平衡点E11+a（m+d）a（b+ma），1a.

3 局部稳定性与Hopf分支的存在性

以下讨论唯一正平衡点E1的局部渐近稳定性与在平衡点E1处Hopf分支的存在性.

令

x（t）=u（t）-u*，y（t）=v（t）-v*，

得线性化系统

dx（t）dt=（1-av*）x（t）-au*y（t），dy（t）dt=（bv*+m）x（t）-（d+m-bu*

+v*）y（t）-v*y（t-τ）.（4）

其对应的特征方程为

0=λ1+a（m+d）b+ma-ba-mλ+mda+m2a+mb+ma+1ae-λτ=

λ2+（mda+m2a+mb+ma+1ae-λτ）λ+1+a（m+d）a即

λ2+Pλ+Qλe-λτ+R=0，（5）

其中

P=mda+m2a+mb+ma，Q=1a，R=1+a（m+d）a.

令λ=iω（ω>0）为方程的一个根， 把iω（ω>0）代入方程， 得到

（iω）2+Piω+Q（iω）（cos ωτ-isin ωτ）+R=0，

分离上述方程的实部与虚部， 得

-ω2+ωQsin ωτ+R=0，ωP+ωQcos ωτ=0，（6）

把上述方程的两端平方相加， 得到关于ω的代数方程

ω4+（P2-2R-Q2）ω2+R2=0. （7）

当P2-2R-Q2>0时， 方程无正根， 故不存在纯虚根;

当P2-2R-Q2<0且P2-2R-Q22>4R2时， 方程存在两个正根ω+和ω-，

ω+=2R+Q2-P2+（P2-2R-Q2）2-4R22，

ω-=2R+Q2-P2-（P2-2R-Q2）2-4R22.

由式（6）得

τ±k=1ω±arc cosPQ+2kπω±（k=0，1，2，…）.

对方程（5）求关于τ的导数

dλdτ=Qλ2e-λτ2λ+P+Qe-λτ-τQλe-λτ，

dλdτ-1=2λ+PQλ2e-λτ+1λ2-τλ，

dλdτ-1=-2ωsin ωτ+Pcos ωτ-Qω2-1ω2

=2ω2-2R+P2-Q2Q2ω2=ΔQ2ω2，

从而得到横截性条件

signdλdττ=τ+k，ω=ω+>0，signdλdττ=τ-k，ω=ω-<0.

定理2

对于模型（3）， 假设（H1）成立.

（ⅰ）当P2-2R-Q2<0时， 即

（H2）mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a-1a2<0

成立，則对于所有τ>0， 模型（3）的正平衡点E1都是局部渐近稳定的;

（ⅱ）当P2-2R-Q2>0且P2-2R-Q22>4R2时， 即

（H3）   mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a

-1a2>0，

mda+m2a+mb+ma2-21+a（m+d）a-1a22

>4+4am+da2

成立， 此时存在一个正整数N， 当τ∈[0，τ+0）∪（∪N-1n=0（τ-n，τ+n+1）时， 模型（3）的正平衡点E1局部渐近稳定， 当τ∈（∪N-1n=0（τ+n，τ-n））∪（τ+N，+SymboleB@）时， 模型（3）的正平衡点E1不稳定.当τ∈（∪N-1n=0（τ+n，τ-n））∪（τ+N，+∞）时， 模型（3）在平衡点E1处发生Time New Roma分支.

4 模拟数值算例

例1 令模型（3）中a=10，b=0.1，m=1，d=2， 则模型（3）存在唯一平衡点E1=（31101，110），这些系数满足（H1）与（H2）， 则当时滞τ>0时正平衡点E1渐近稳定， 如图1所示.

例2 令模型（3）中a=4，b=2，m=1，d=-1， 则模型（3）存在唯一平衡点E1=（124，14），这些系数满足（H1）与（H3）， 根据上节可计算得ω-=0.18， τ-0=4.666. 图2表明当τ<τ-0 时，平衡点E1=（124，14）渐近稳定; 图3表明当τ穿过τ-0时一个稳定的周期解从平衡点E1=（124，14）分支出来; 图4表明当τ>τ-0时，一个不稳定的周期解从平衡点E1=（124，14）分支出来.

5 結 论

研究了一类捕食者种群具有时滞和庇护所效应的捕食者-食饵模型， 考虑了捕食者种群个体的成熟期对捕食者-食饵模型的种群密度带来的时间滞后影响.当模型（3）存在唯一正平衡点即（H1）成立时， 若模型（3）中的系数满足条件（H2）， 时滞不会影响模型正平衡点的稳定性。若模型（3）中的系数满足条件（H3）， 当时滞达到某个临界值时会影响模型平衡点的稳定性并导致分支的出现.

参考文献

[1] FARIA  T. Stability and Bifurcation for a Delayed PredatorPrey Model and the Effect of Diffusion[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2001， 254（2）：433-463.

[2] CELIK  C. The Stability and Hopf Bifurcation for a Predatorprey System with Time Delay[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2008， 37（1）：87-99.

[3] CELIK  C. Hopf Bifurcation of a Ratiodependent Predatorprey  System with Time Delay[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2009， 42（3）：1474-1484.

[4] YUAN  S， SONG  Y. Stability and Hopf Bifurcations in a Delayed LeslieGower Predatorprey System[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2009， 355（1）：82-100.

[5] MA  Y. Global Hopf Bifurcation in the LeslieGower Predatorprey Model with Two Delays[J]. Nonlinear Analysis： Real World Application， 2012， 13（1）：370-375.

[6] CHEN  Y， ZHANG  F. Dynamics of a Delayed Predatorprey Model with Predator Migration[J]. Applied Mathematical Modelling， 2013， 37（3）：1400-1412.