王 恰

(中国社会科学院数量经济与技术经济研究所，北京 100732)

1 引言

资源分配问题是一类广泛且十分重要的问题，属于数学、经济学和管理学的交叉领域。近年来，伴随信息技术的发展，涌现出计算资源分配、存储资源分配、带宽分配、缓存区分配等一类新的分配问题。在这些问题中，硬件和软件资源是不仅有限的，还是实时变动的，随时可能需要增加一定数量的额外资源，或者需要缩减一定数量的资源占用。假设这些资源同时提供给n个用户或单位(以下称作决策单元，简记为DMU)共同使用。这n个决策单元具有可比性，他们通过占用并消耗m种类型的资源(或称“投入”)，获得s种类型的经济产出(或称“产出”)。如果把这n个决策单元看作是一个系统，那么根据系统资源占用数量的实时增减需求，决策者应当如何在决策单元之间分配额外的资源投入，或者分摊既定的缩减任务？

为了加以区别，本文称第一类问题为额外资源分配问题，该问题最早提出于文献Wei Quanling等[1]的最后一段。第二类问题为缩减任务分摊问题。由于资源的稀缺性，系统拥有的资源数量可能无法满足决策单元的全部需求。当系统即将获得一定数量的额外资源时，每一个决策单元都希望分配到尽可能多的额外资源，那么如何分配才能使额外资源发挥最大价值？或者，当系统即将缩减一定数量的资源占用时，每一个决策单元潜在的动机是希望承担尽可能少的缩减任务。如果希望分摊结果对于整个系统来说是最有益的，那么应当如何把资源缩减任务分摊给全部或者部分决策单元？

数据包络分析(DEA)方法是一种以数据为导向的、评价决策单元相对有效性的数学工具，该方法的突出特点是它尤其适应于决策单元具有多个投入和多个产出的复杂情况(魏权龄[2])。在资源分配问题上，DEA方法也具有十分广泛的应用。Emrouznejad和Yang Guoliang[3]对SCOPUS数据库中涉及DEA方法的文献进行了统计，发现“资源分配”是DEA领域文献常用的50个关键词之一，截止2016年年底以“资源分配”作为关键词的DEA文献数量达到176篇。

在现有研究中，分配原则通常体现在分配模型的目标函数上。根据目标函数的不同，基于DEA方法的资源分配模型大致可以分为两类。一类分配模型从最大化系统整体效率或者最大化系统总产出的角度，进行资源分配。Golany和Tamir[4]以最大化所有决策单元的产出作为目标函数，建立资源分配模型。Athanassopoulos[5]结合多目标规划和DEA方法提出了一种Go-DEA模型，并将该模型应用于政府资金分配。Färe等[6]指出产出导向模型比投入导向模型更适用于解决资源分配问题，所以他们基于DEA产出导向模型建立分配模型。Yan Hong等[7]在保持决策单元效率不变的前提下，基于逆DEA模型建立资源分配模型。Beasley[8]以最大化平均效率为目标，建立资源分配模型。Korhonen和Syrjanen[9]在投入和产出以等比例变动的前提下，以系统的总产出实现最大为目标函数，建立资源分配模型。Asmild等[10]从使系统整体效率得到提高的角度考虑，提出一种只分配给无效决策单元的分配模型。Bi Gongbing等[11]的分配模型则从每一个决策单元的角度考虑，允许每一个决策单元在分配后发生投入规模的增减变动。Nasrabadi等[12]将提出系统表现的概念，并将其定义为分配资源后决策单元效率的凸组合，他们以系统表现最优为目标函数，建立资源分配模型。Cherchye等[13]将系统整体效率分解为所有决策单元的产出效率，并据此分解结果进行资源分配。Fang Lei[14]对非有效决策单元设置某一程度的效率进步，以使系统整体效率得到改进为目标函数，建立资源分配模型。

另一类分配模型是从公平性、折中以及决策单元交叉效率的角度出发，进行资源分配。Mandell[15]指出分配模型需考虑公平性和有效性。Golany和Tamir[16]进一步指出分配模型应同时考虑公平、有效和效率，他们称之为3E原则。为了实现公平分配，Athanassopoulos[17]提出一种两阶段的TARBA模型：第一阶段采用DEA模型的线性形式为每个决策单元找到一组最佳的权重，第二阶段依据这一组权重进行分配。Karsu和Morton[18]从分配对象相互制约平衡的角度，建立资源分配模型。李晓亚和崔晋川[19]认为中央决策者在进行资源分配时需要考虑生产效率和规模回报两个因素，他们基于决策单元的折中权，建立资源分配模型。Du Juan等[20]基于决策单元的交叉效率，建立资源分配模型。崔玉泉等[21]基于决策单元的随机加权交叉效率和规模弹性，建立资源分配模型。

以上研究成果对于解决额外资源问题提供了很好的借鉴，但仍然存在以下不足。第一，现有的模型和方法大多从系统最优的角度出发，对系统拥有的全部资源进行重新分配，优化模型给出的分配结果可能会造成决策单元的资源占有数量发生大幅度的增减调整。比如，那些资源利用效率较低的决策单元可能在分配后反而失去了一定数量的投入资源，甚至是不再占有任何资源。或者，那些规模报酬递减的决策单元需要让出一部分原本占有的投入资源。第二，在多个投入多个产出的情况下，优化模型给出的分配结果甚至还可能使决策单元某种投入对应的松弛变量由零变为非零，造成决策单元由原本的强技术有效变为弱技术有效(Zhang Meng等[22])。这意味着存在这样一种分配结果：某一种额外的投入资源已经全部分配完，而其它额外投入资源尚未分配完。倘若继续分配，那么系统总产出将不再增加。那么，应如何辨识出额外资源结构上的这种冗余，及时地停止分配？第三，现有研究对于额外资源数量几乎没有任何的限制。由于规模报酬效应的存在，额外资源并非越多越好，存在某些(可能不止一个)临界值，当额外资源数量超过这些临界值的时候，整个系统的全部产出将不再增加。那么，应如何辨识出额外资源规模上的这种冗余？系统总产出增加的极限是多少？这些问题仍然值得进一步探讨。第四，现有方法和模型对于决策单元技术效率和规模报酬的考虑并不充分。效率反映了决策单元的资源利用能力，效率越高(低)说明单位资源投入获得的产出越多(少)。规模报酬反映了决策单元的投入规模有效性，规模报酬递增(递减)说明投入规模的不足(冗余)。Wei Quanling等[1]认为额外资源分配应充分考虑决策单元的技术效率和规模报酬，但是他们尚未建立分配模型。崔玉泉等[21]的分配模型以交叉效率与规模弹性作为分配权重，但是由于交叉效率综合了决策单元的自评与他评，是多种评价结果之间的平均结果，所以该模型得到的是一种折中的、均衡的分配结果。那么，从额外资源带来最大化产出增加的角度，分配模型应如何综合考虑决策单元的技术效率和规模报酬？

另一方面，关于缩减任务分摊问题，现有研究对此类问题鲜有深入考虑。任务分摊问题与DEA领域中的公共成本分摊问题(Cook和Kress[23]、Cook和Zhu[24]、Beasley[8]、Du Juan等[20]、Lin Ruiyue[25]、Li Yongjun等[26]、雷西洋等[27]、张冉等[28])存在某些相似之处，但也有所不同。公共成本分摊问题考虑的是，如何把建设公共平台所需的公共成本分摊给每一个决策单元，并作为这个决策单元额外增加的投入[20]。例如，把某一企业的广告费用支出分摊给每一个零售商[23]。在这两类问题中，决策单元的动机是相同的，每一个决策单元希望自己承担的缩减任务或者公共成本越少越好。不同的是，公共成本分摊问题隐含的假设是，系统整体拥有的投入资源将有所增加，这部分增加的投入将用于公共成本支出；而任务分摊问题隐含的假设则是，系统整体拥有的投入资源将有所减少。尽管一些资源分配模型(例如，Golany和Tamir[4]、Bi Gongbing等[11]、Yan Hong等[7])也可以用来解决任务分摊问题，但是这些模型得到的分配结果属于资源的重新配置，这很可能使系统整体的资源利用率得到提高，造成系统的总产出在分摊后反而有所增加。

本文认为额外资源分配和缩减任务分摊应按照系统资源占用数量的实时增减需求进行“按需分配”，即：对系统需要额外增加或减少的那一部分资源进行配置，并非对系统可占用全部资源进行重新配置。

其次，从充分利用额外资源的角度，额外资源分配应使系统的总产出增加达到最大。当额外资源数量不足以满足系统内决策单元的全部需求时，分配结果应使有限的额外资源发挥最大的价值，即分配应实现产出增量的最大化。当额外资源投入在规模上、或者在结构上存在冗余时，额外资源分配应适可而止，即：在额外资源投入不再带来产出增加的时候及时地停止分配，而不必将全部额外资源分配出去。另一方面，解决任务分摊问题时应使系统的总产出减少实现最小。并且，一旦存在一种投入资源的缩减任务超过系统当前的拥有数量，分摊应及时地停止。

再有，不论是分配还是分摊，都应考虑到系统内每一个决策单元当前的资源占用情况。在额外资源分配问题中，系统内任何一个决策单元所占有的资源数量不应因此而被削减，即：决策单元的资源占有数量要么保持不变，要么有所增加。在任务分摊问题中，系统内任何一个决策单元也不应因此而拥有更多的资源，即：决策单元的资源占有数量要么保持不变，要么有所缩减。

最后，选择哪些决策单元进行分配或分摊，这取决于在增减资源投入后决策单元产出的变动情况。对于技术有效的决策单元而言，决策者能够依据规模可变生产前沿面进行判断。那么，对于非技术有效的决策单元而言，应该如何对他们的投入和产出变动关系进行估计？佘冰玲和崔晋川[29]在“一个投入一个产出”情况下，综合决策单元的技术效率与规模弹性建立发展曲线。发展曲线概念的提出，对于估计决策单元(特别是非技术有效的决策单元)在投入规模扩大或缩小后产出数量的变动情况，提供了一种新的思路。那么，能否将其推广至“多个投入多个产出”情况？

综合以上，本文在“多个投入多个产出”情况下提出一种额外资源按需分配方法。首先，综合决策单元的技术效率与其投影点的规模弹性构建发展曲线，并由决策单元的发展曲线获知其投入变动与产出变动的对应关系。然后，把额外资源分成若干等份，每一等份尽可能的小，把每一份额外资源分配给产出增加最大的那些决策单元；重复这一过程，直至分配完全部的额外资源，或者任意一个决策单元的产出都不再增加。最后，把决策单元在每一次分配过程中获得的资源进行累加，得到这个决策单元最终的分配结果。本文称这种分配过程为按需分配，因为它能够按照系统实际的分配需求进行分配，分配结果不会缩减任意一个决策单元当前占有的资源数量，并且在发现额外资源存在冗余时能够及时地停止分配，避免不必要的分配。

关于缩减任务分摊问题，分摊时同样依据决策单元的发展曲线，并把每一份的缩减任务分摊给产出减小最少的那些决策单元，重复这一过程，直至完成分摊任务，或者决策单元拥有的资源已经全部被分摊。由于篇幅的限制，具体模型从略。

2 基本假设和基本模型

于是，额外资源分配问题转化为，求解出一组ΔX1,ΔX2,…,ΔXn使系统的总产出增加实现达到最大。在多个产出的情况下，这将是一个多目标优化问题，它的最优解是Pareto解。

图1 额外资源分配问题中，分配前后决策单元的投入与产出

2.1 基本假设

假设1：在额外资源分配问题中，不需要考虑额外投入资源的来源和成本。比如，这笔额外资源来自于政府补贴，额外资源的成本由政府承担。系统内任意一个决策单元都是理性的，希望分配到尽可能多的额外资源。

假设2：分配目标是使系统的总产出增加实现最大化。由于该问题需要计算既定额外投入增加时最大化的产出增量是多少。相比DEA投入导向的模型，该问题更适宜采用DEA产出导向的模型(Fare等[6])，所以本文采用产出导向的模型。

假设3：额外资源分配不应缩减决策单元任意一种投入原本的占有数量，即满足ΔXj≧0。

假设4：额外资源分配需要综合考虑决策单元的发展曲线。分配过程中，选择那些能够产出增加最大的那些决策单元进行分配，从而保证每一次分配使系统总产出增加实现最大。

假设5：额外资源分配问题不考虑技术进步(假设生产可能集保持不变)，这意味着分配后决策单元的投入产出数据仍然落在原来的生产可能集中。

2.2 计算DMUs技术效率的模型：BCC模型

maxη0

λj≧0,j=1,…,n

(1)

其中，s-和s+分别表示分别投入和产出的松弛变量。λ1,λ2,…,λn分别表示DMU0赋予每个决策单元的权重。

由于松弛变量的存在，在判断DMU0是否为技术有效时，还需要进一步求解模型(2)：

maxe1×ms-+e1×ss+

λj≧0,j=1,…,n

(2)

其中，e1×m和e1×s分别表示1×m维和1×n维的单位向量。模型(2)的最求解记为s-*和s+*，它们是一组最大的松弛变量。

根据模型(1)和(2)，BCC模型的生产可能集为：

2.3 计算DMUs规模报酬的模型：弹性模型

α>1,β≧1

λj≧0,j=1,…,n

(3)

ωj>0,j=1,…,n

(4)

2.4 计算DMUs发展曲线的算法

根据Banker等[30]，决策单元的规模报酬与其投影点的规模报酬类型相同。因而，发展曲线的基本假设是：决策单元在发展曲线上的右弹性与其投影点在BCC生产前沿面上的右弹性相等；决策单元在反方向发展曲线上的左弹性与其投影点在BCC生产前沿面上的左弹性相等。

在多个投入多个产出情况下，DMU0的发展曲线通过不断扩大DMU0的投入规模得到。不妨设，每次以数量ξ>0扩大第i种投入(i=1,…,m)。

步骤3：把以上算法得到的线段和射线是相连的，它们共同构成DMU0的发展曲线。

重复上述步骤，计算出所有决策单元的发展曲线。为了便于使用，把DMUj(j=1,…,n)的发展曲线记作Fj(X,Y)=0。

3 额外资源按需分配算法

由于额外资源R对于当前的系统来说可能是不足的，也可能过量的，所以本节给出的按需分配算法把额外资源分成若干等份，每次分配仅分配一个等份的额外资源，直至分配出全部的额外资源，或者某一份额外资源的分配不能带来任何的产出增加。

对于每一等份的额外资源，分配原则是依据决策单元的发展曲线，把这一份额外资源分配给产出增量最大的那些决策单元，从而确保这次分配使系统总产出增加达到最大。分配到额外资源的决策单元，他们的投入与产出将依据发展曲线的走势进行扩大，并进入到下一次分配。未分配到额外资源的决策单元，他们的投入与产出将保持不变，并进入到下一次分配。上述分配原则保证了最终的分配结果不会缩减任意一个决策单元原本占有的资源数量。

假设把额外资源R等分为M份(M为某无穷大常数)。以下算法在每次迭代的过程中，把R/M的额外资源在决策单元之间进行分配。

s.t.Fj(Xj+ΔXj,Yj+ΔYj)=0,j=1,…,n

ΔXj≧0, ΔYj≧0,j=1,…,n

(5)

4 算例

4.1 算例1

本例在“一个投入一个产出”情况下考虑5个决策单元，见表1。其中，I(1)表示投入，O(1)表示产出。决策单元的技术效率由模型(1)计算得到。DMU1、DMU4和DMU5是强技术有效的，投影点分别是其自身。DMU2和DMU3是技术无效的，DMU2的投影点坐标为(14/5,13/5)，DMU3的投影点坐标为(3,3)，正好是DMU4的坐标。把投影点带入模型(4)，得到每一个决策单元在其发展曲线上当前坐标位置的右弹性。图2给出了由这5个决策单元得到BCC生产前沿线和BCC生产可能集。

表1 算例1中的5个决策单元

图2 BCC生产可能集

根据第2.4节发展曲线的迭代算法，得到这5个决策单元发展曲线的函数表达式：

DMU1:y=2x-3，当2≦x<3时；

y=(1/2)x+(3/2)，当3≦x<5时；

y=4，当5≦x时。

DMU2:y=(12/13)x-18/13，当14/5≦x<3时；

y=(3/13)x+9/13，当3≦x<5时；

y=24/13，当5≦x时。

DMU3:y=(1/3)x+1，当3≦x<5时；

y=8/3，当5≦x时。

DMU4:y=(1/2)x+(3/2)，当3≦x<5时；

y=4，当5≦x时。

DMU5:y=4，当5≦x时。

初始状态下，系统的总投入是15.8，总产出是11.2。利用第3节中的按需分配算法进行额外资源分配：

其余情况(当26/5

表2 算例1每一阶段额外资源分配方案

上述分配过程说明，随着额外资源R不断增加，选择进行额外资源分配的决策单元不断发生着变化，分配次序依次为：DMU1≻DMU2≻DMU1,DMU4≻DMU3≻DMU2(≻表示优先于)。于是，决策单元的选择过程可划分为五个阶段，见图3中的①至⑤。在每一阶段，按需额外资源分配算法每次总是优先选择全部发展曲线之中斜率最大的一段折线段进行分配。

第一阶段的额外资源数量在0和1之间(0≦R≦1)，此时额外资源R只分配给DMU1。于是，单位额外资源投入带来的总产出增加，取决于DMU1发展曲线在点(2,1)到点(3,3)这一段折线段的斜率。所以，第一阶段系统总投入最大增量为1，系统总产出最大增量为2，边际总产出增加为2。

进入到第二阶段后，DMU1保持第一阶段获得额外资源(数量为1)，不再增加。余下的额外资源(数量为R-1)只分配给DMU2。在此阶段，单位额外资源投入带来的总产出增加，取决于DMU2发展曲线在点(14/5,6/5)到点(3,18/13)这一段折线段的斜率。所以，第二阶段系统总投入最大增量为1/5，系统总产出最大增量为12/65，边际总产出增加为12/13。

图3 分配过程中选择决策单元的先后次序

进入到第三阶段后，DMU2保持第二阶段获得的额外资源(数量为1/5)，不再增加。DMU1除了拥有第一阶段获得的额外资源(数量为1)，还将与DMU4均分余下额外资源(数量为0.5R-0.6)。在此阶段，单位额外资源投入带来的总产出增加，取决于DMU1和DMU4发展曲线在点(3,3)到点(5,4)这一段折线段的斜率。所以，第三阶段系统总投入最大增量为4，系统总产出最大增量为2，边际总产出增加为1/2。

同理可知，第四阶段的边际总产出增加为1/3，它取决于DMU3发展曲线在点(3,2)到点(5,8/3)这一段折线段的斜率。第五阶段的边际总产出增加为3/13，它取决于DMU2发展曲线在点(3,18/13)到点(5,24/13)这一段折线段的斜率。

由此可知，从第一阶段至第五阶段，单位额外资源投入带来的系统总产出增加不断降低，直至系统总产出增加为零。因此，随着额外资源不断增加，边际系统总产出增加是一种“台阶状”递减的。

图4给出了额外资源数量与系统总产出增量两者的数量关系。由于它们的关系表现为折线段形式，所以这条折线段的斜率(即边际系统总产出增加)是“台阶状”的，并且是递减的。当额外资源数量达到9.2时，系统总产出增量达到最大，为2+12/65+2+2/3+6/13≈5.313(①至⑤阶段的最大产出增量的累加)。当额外资源数量超过9.2时，系统总产出增量将保持5.313不变。

图4 额外资源数量与总产出对应关系图

4.2 算例2

本例在“两个投入一个产出”的情况下，考虑6个决策单元。他们的投入产出数据见表3。其中，I(1)表示第一种投入，I(2) 表示第二种投入，O(1)表示产出。决策单元的技术效率和右弹性由模型(1)(2)(4)计算得到。仅有DMU2是技术无效的，其他决策单元均为强技术有效的。由这6个决策单元得到的BCC生产可能集为三维凸多面体，见图5。

表3 算例2中的6个决策单元

注：表内技术效率和右弹性的数值为四舍五入近似值。本例采用软件Matlab2016b计算。

注：图中的空心圆点为DMU2的投影点。图5 BCC生产可能集

取ξ=0.001(若精度要求更高，可在初始设置将ξ取更小的值)，计算决策单元的发展曲线。如图6所示，只有DMU2的发展曲线保持在BCC前沿面以内，而其他决策单元的发展曲线都在BCC前沿面上。DMU5和DMU6的发展曲线上任意一点的右弹性均为零。

图6 决策单元的发展曲线

额外资源分配同样是优先对发展曲线中最陡峭的部分进行分配。随着额外资源的不断增加，分配次序依次为：DMU1≻DMU2≻DMU3≻DMU1≻DMU2≻DMU4，见图7。

图7 分配过程中选择决策单元的先后次序

图8给出了系统总产出增量与额外资源的三维图。额外资源数量越大，系统总产出增量越大。系统总产出增加存在极限，这一极限的数值四舍五入后为19.975。

图8 额外资源数量与总产出对应关系图

在这个算例中，由于具有两种投入，很可能出现一种额外投入资源已全部分配完，而另一种额外投入资源尚未分配完。相比以往的资源分配模型，按需分配算法的优势是这种算法能够辨识出这种由额外投入资源结构(两种投入的比例关系)上的冗余。

例如，考虑一种极端的情况：第一种额外投入资源是充足的，第二种额外投入资源是有限的。在图8中，令第二种投入保持某一既定数量不变，作一个平面，那么这个平面与图8中的凸多面体(BCC生产可能集)存在一条交线。这条交线反映出任意第一种投入资源数量对应的系统总产出增量，见图9。这条交线是边际递减的，并且它的极限值代表了系统总产出增量的极限(低于19.975)。尽管第一种额外投入资源是充足的，但是系统只需要有限数量的第一种额外投入资源，过量的第一种额外投入资源对于这个系统来说是不必要的。

图9 第一种额外投入资源数量与总产出对应关系图

5 结语

文献Wei Quanling等[1]的最后一段提出了这样一类额外资源分配问题：假设有一些额外的投入资源将要分配给全部或者部分决策单元，如果我们希望分配结果对于整个系统(该系统由全部决策单元组成)来说是最有益的，那么应当如何分配这些额外的投入资源？

针对这类问题，本文提出一种额外资源按需分配方法。与现有方法相比，这种方法具有以下三方面特点。第一，该方法给出的分配结果不会缩减任意一个决策单元当前占有的资源数量，所以不会出现分配后某个决策单元的投入反而变小的情况。第二，该方法能够给出增加任意数量的额外资源，系统总产出最大能够增加多少，为决策者提供分配后系统预期的总投入与总产出，以及每一个决策单元预期的投入与产出。第三，这种方法还可以在发现额外资源的规模上和结构上存在冗余时及时地停止分配，从而避免不必要的分配。在多种投入的情况下，很可能出现这种情况：某种额外资源已经全部分配完，而其他投入尚未全部分配完，但是继续对尚未分配完的投入进行分配，系统总产出将保持不变。不能使系统总产出增加的分配，实际上是无效的分配。所以，分配算法能够自动地识别出额外资源存在的冗余并停止分配，这对于额外资源的有效利用尤为重要。

本文给出的方法仍然具有一定的局限性，仍然存在一些问题需要进一步的深入研究。首先，本文给出的计算决策单元发展曲线算法与额外资源按需分配算法在本质上都属于“步长法”。这种方法需要针对具体情况预先设定步长。当步长设置得过大，会带来估计偏差；步长设置得过小，会大大增加算法需要的循环次数。尽管存在着以上不足，但是“步长法”作为一种较为实用的估计方法，在对DEA生产前沿走势进行估计时取得了比较理想的估计结果，见Asmild 等[31]和Khoshandam等[32]。那么，除了“步长法”，是否存在其他的优化方法能够解决额外分配问题？

再有，本文给出的额外资源分配方法仅适用于增加既定数量的系统总投入情况，例如增加某一行业的财政补贴、增加科研津贴，增加额外硬件资源，配置新入职人员，等等。缩减任务分摊问题面向减少既定数量的系统总投入情况，因篇幅限制本文对此未作展开。除此之外，还存在另外两类“按需配置”问题也值得深入探讨：1)假设决策者设定了某一系统总产出增加的目标(或任务)，现需要安排给全部或者部分决策单元完成，那么如何花费最小的代价(即使系统投入增加最小)使该目标得以实现？该问题面向增加既定数量的系统总产出情况，比如地方政府或者企业计划增加既定数量的某些经济产出。2)假设决策者计划压缩一定数量的现有产出规模，那么应当如何对每一个决策单元设置产出压缩目标？该问题面向减少既定数量的系统总产出情况，现实中对应于淘汰过剩产能这一类非常重要的经济问题。