王友春

(江苏省扬州市邗江区蒋王中学 225126)

数学教学是数学思维活动的教学，而问题是引发学生思维与探究活动的向导，是学生课堂学习活动的载体，是有效地激发学生的好奇心和求知欲的催化剂.通过问题，能使知识的逻辑结构与学生的思维过程有机地联系起来，能使知识的逻辑结构转化为学生的认知结构，能使学生主动探究发现数学的内在规律、认识与理解数学的本质.因此，在数学教学尤其是习题探究课的教学中，要注重问题设计的系统性、层次性和探究性，顺应学生思维发展的规律，让学生在“问题串”的引领下自主学习，激发其探究的积极性和能动性.

下文是笔者结合自己的一次教学实践，通过对出现在函数题中含全称、存在量词的一系列问题(问题串)的分析、探究，以期提高学生的思维能力、探究能力和课堂实效.

一、问题的引入

问题1已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax,a∈R,命题“∀x∈[1,e]，f(x)≤g(x)成立”是真命题，求实数a的范围.

∴a≤1.

评注1.对于含参数a的不等式f(x)≤g(x)恒成立问题，可实施“分离变量”转化为a≤h(x)恒成立，进而使a≤hmin(x)；也可转化为f(x)-g(x)≤0恒成立，进而使[f(x)-g(x)]max≤0. 2.为了更好地培养学生的探究能力，由此题为引例，笔者设计了下面的一串问题，力求让学生“学一题，触一类，通一片”，演绎一次生动的习题探究课.

二、拓展与探究

问题2 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax,a∈R,命题“∃x0∈[1,e]，使得f(x0)≤g(x0)成立”是真命题，求实数a的范围.

探究同问题1的分析，可对f(x)≤g(x)实行“分离变量”，同样转化为利用导数求新函数的最值问题.

评注1.对于含参数a不等式f(x)≤g(x)能成立问题，实施“分离变量”转化为a≤h(x)能成立，进而使a≤hmax(x)；也可转化为“f(x)-g(x)≤0能成立”，即使得[f(x)-g(x)]min≤0. 2.问题2是在问题1的基础上将“全称命题”变为“存在性命题”，若将命题中的两个自变量区别开，即f(x1)和g(x2)，就产生了下面的问题3.

问题3 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax，a>0，求证：∃x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2).

探究只要证fmax(x1)≥gmin(x2)，x1,x2∈[1,2]，所以只要求出fmax(x1)和gmin(x2)，即得关于a的不等式.

评注1.对于含两个存在量词的命题：“∃x1∈M,∃x2∈N，使得f(x1)≥g(x2)成立”，不同于问题1和2，两个变量之间没有必然联系，需将其转化为两个“存在能成立”问题逐个解决，即假设x1∈M,x2∈N时f(x1)和g(x2)的值域分别为A、B，若原命题是真命题，即在A、B中分别有一个元素a、b，使得a≥b即可，故只要“fmax(x1)≥gmin(x2)”即可！2.问题3的否定：“∀x1,x2∈[1,2]，f(x1)

问题4 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命题“∀x1,x2∈[1,2]，f(x1)≥g(x2)成立”是真命题，求a的范围.____

探究这一恒成立问题只需fmin(x1)≥gmax(x2)，故求fmin(x1)和gmax(x2)后得到关于a的不等式求解即可.

评注1.对于含两个全称量词的命题：“∀x1∈M,∀x2∈N，使得f(x1)≥g(x2)成立”， 同样不同于问题1和问题2，两个变量之间没有必然的联系，故类似问题3假设x1∈M,x2∈N时f(x1)和g(x2)的值域分别为A、B，在A、B中各任取一个元素a、b，有a≥b恒成立，只要“fmin(x1)≥gmax(x2)”即可.2.如果此问题中的两个量词分别是∀和∃，而且两个变量的范围也不同，则可设计出下面的问题5.

问题5 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命题“对∀x1∈[1,e]，均∃x2∈[1,2]，使得f(x1)

探究原命题⟺fmax(x1)

评注1.对于含两个不同量词的命题“∀x1∈M，∃x2∈N，使得f(x1)

问题6 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命题“对∀x1∈[1,e]，总∃x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立”是真命题，求实数a的范围.

探究原命题⟺“f(x)在[1,e]上的值域为A，g(x)在[1,2]上的值域为B，满足A⊆B”，故先求两个函数的值域A和B，再由A⊆B得到关于a的范围的不等式求解即可.

评注1.对于含两个不同量词的命题“∀x1∈M,，∃x2∈N，使得f(x1)=g(x2)成立”，可转化为“x1∈M，x2∈N时f(x1)和g(x2)和值域分别为A、B满足A⊆B”，从而将“∀,∃,使得”型方程问题转化为集合的运算问题，使解题过程巧妙简化. 2，若将问题6命题中的两个量词都改为“∃”，则可设计如下的问题7.

问题7 若f(x)=x-lnx,g(x)=x2-2ax(a>0),命题“∃x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)成立”，求实数a的范围.

探究原命题⟺“函数f(x)和g(x)在[1,2]上的值域分别为A、B，且A∩B≠∅”，故先求出两个函数的值域A和B，由“A∩B=∅”得到a的取值范围后再求其在(0,+)内的补集即可.

评注1.对于含两个存在量词的命题“∃x1∈M，∃x2∈N，使得f(x1)=g(x2)成立”，⟺“函数f(x)和g(x)在[1,2]上的值域分别为A、B满足A∩B≠∅”，从而将问题转化为先求A∩B=∅时a的取值范围，再求补集的思路. 2.这一问题求解同上面问题3的“评注”中所述，也运用了“正难则反”的思想方法对问题实行了有效地转化.

三、总结与反思

后6个问题由“问题1”为源头并基于学生的“最近发展区”进行引申与拓展，巧设“问题串”给出了函数题中含全称、存在量词的命题的常见类型及其转化方法，使数学问题呈现出“一题多解、一题多变、多题同解”或分层递进，体现出分类讨论和等价转化等数学思想与方法，让复杂的问题得以有效地解决.如问题3和7，在分类讨论的思想基础上学生都能想到，但为了优化问题的解决，引导学生采用“正难则反”即“求简变通”的思想，并留时间让学生亲自操作，提高实效.“真正有教育智慧的人，会把复杂的东西教得简单，会把简单的东西教的有深度有厚度”，真正有智慧的数学课也正是要于简约中蕴含深刻，于朴素中绽放思想，于细微中展现机智，要让学生通过自主学习和合作探究能达到“会一题、通一类”的效果，实现从“学会”到“会学”转变，要能透过现象看实质、把握规律，大方无隅、大道无形地演绎精彩，实现高中数学教学的指导思想和根本目标.