□ 刘陈丽,谢庆红,2,许 林

(1.南京工业大学 经济与管理学院，江苏 南京 211816；2.东南大学 江苏,南京 211189)

1 引言

市场需求的快速变化，对零售商的库存管理提出了更高的要求。通过库存共享可以平衡多个零售商的库存总量，从而控制物流管理成本。

根据前人研究，库存共享的主体可以是合作型，也可以是竞争型。针对竞争型零售商，Xuan Zhao[1]分别就竞争和库存共享建立了两个模型，对比得出库存共享的必要性，但是模型没有将竞争与库存共享综合起来考虑。以两个零售商的需求分布互不干扰为前提，熊晶[2]考虑了存在竞争情况的两个零售商的库存共享问题，Rudi[3]从非合作博弈角度分析了库存共享情况下的最优商品调货价格和库存量。

不难看出，需求量分布互不干扰的假设与实际情况不甚相符。比如随着互联网的发展，越来越多的线下零售商选择建立线上同名店铺。市场整体需求量通常是一定的，即当一方零售商的需求量增多时，另一方零售商的需求量会相对减少。可见，有必要将整体需求量一定作为基本条件，再考虑存在竞争的零售商的库存共享问题。

此外，在求解库存共享的具体问题中，当零售商主体多于两个时，求解难度将呈几何级数上升。Archibald[4]通过将所有的零售商配对形成两零售商问题，以此求出最优订货决策。陈敬贤[5]则通过考虑单向库存共享来简化模型。

本文将设置两个存在单向库存共享的零售商——线上零售商和线下零售商，由线上零售商需求不必即时满足，缺货可以调货的特点，将线上零售商作为库存调入方，线下零售商作为库存调出方，探求需求总量一定的条件下，两个零售商存在竞争情况的库存共享模型。

2 基本模型

2.1 模型假设

现在某区域内，有某商品的总需求量为D服从正态分布，其概率密度函数f(D)严格递增且可微。假设线上线下两个零售商i(i=1,2)在同时销售该商品，由于产品的可替代性，两零售商之间必然存在竞争，本文以竞争因子ki(ki≥0)来描述零售商i的竞争强度，竞争因子相关但不限于宣传能力等。如当零售商提升宣传能力时，其竞争因子变大，对顾客的吸引力增大，需求量也就增大，所以可将零售商的需求量描述为kiD，零售商j(j≠i)的需求量描述为kjD，因为总需求量一定，所以ki+kj=1。

对零售商i来说，每件商品向供应商的批发价为ci，销售单价为ri，因此有ci

2.2 一般模型

(1)

(2)

命题1：普通模型下的两个零售商存在最优库存量，使得其期望收益最大。

证明：对线上零售商的期望收益函数关于q1进行一阶、二阶求导，得：

(3)

(4)

由二阶导数小于0，可知零售商1的库存量关于期望收益的函数图像为凹，令一阶导数为零，得出零售商的最优库存量q1n*，使得期望收益最大为w1n*。同理，线下零售商的最优库存量为q2n*，期望收益为w2n*。

2.3 库存共享模型

设零售商存在库存共享时的期望收益为wi，库存量为qi，根据库存共享与否，线上零售商的情况依次有：①不缺货；②缺货，转入量能满足缺货量；③缺货，转入量不满足缺货量；④缺货，没有转入量。因此线上零售商的期望收益为：

(5)

线下零售商的期望收益为：

(6)

命题2:两个零售商进行库存共享时存在最优库存量，使得两个零售商的期望收益最大。

证明：对线上零售商的期望收益关于q1进行一阶、二阶求导，得：

(7)

(8)

由二阶导数小于0，可知线上零售商的库存量关于期望收益的函数图像为凹，令一阶导数为零，得出线上零售商的最优库存量q1*，使得期望收益最大为w1*。同理，线下零售商的最优库存量为q2*，期望收益为w2*。

命题3：调货单价t21与线上零售商的期望收益负相关，与线下零售商的期望收益正相关。

证明：对零售商1,2的期望收益函数关于调货单价t21进行一阶求导，得:

(9)

(10)

所以线上零售商的期望收益与调货单价负相关，线下零售商的期望收益与调货单价正相关。这说明了当调货单价t21增大时，线上零售商的期望收益减小，线下零售商的期望收益增大。当调货单价t21减小时，情况则完全相反。由此可知，通过调节调货单价，可以改变零售商的期望收益。

命题4：线上线下零售商存在库存共享时的期望收益均大于一般模型下的期望收益。

证明：当t21=r1+p1时，线上零售商的库存共享边际收益为0，一般模型与库存共享模型的期望收益相等，最大期望收益w*=w1n*。当t21减小时，根据命题3，有w1*>w1n*。当t21=s2+τ2时，线下零售商的库存共享边际收益为0，最大期望收益w2*=w2n*。当t21增大时，根据命题3，有w2*>w2n*。综上，当调货单价处于[s2+τ2，r1+p1]范围内时，总有w1*≥w1n*，w2*≥w2n*。

3 算例

针对竞争性零售商库存共享模型所给出的结论，运用MATLAB软件进行仿真。基于零售商的特征，选取各参数值为：D～N(100,10)，k1=0.5,r1=100,c1=60,s1=40,p1=20;k1=0.5,r2=100,c2=60,s2=40,p2=20;τ2=10。仿真结果值见表1：

表1 不同环境下的库存决策

①由表可知，在特定情况下都能得到各零售商的最优库存量和最优期望收益，证明了命题1和命题2。

②观察库存共享情况下，随着调货单价增大，线上零售商的期望收益在逐渐减小，线下零售商的期望收益在逐渐增大，证明了命题3。

③观察库存共享情况下，当t21=s2+τ2=50时，线下零售商的库存共享边际收益为0，此时零售商的期望收益与一般情况的期望收益相等；当t21=r1+p1=120时，线上零售商的边际收益为0，此时零售商的期望收益与一般情况的期望收益相等。当调货单价处于[50,120]之间时，两个零售商的库存共享期望收益则均大于一般情况下的期望收益。证明了命题4。

④对两个零售商的总收益进行求和，可发现不管调货单价是否变化，库存共享情况下的总期望收益总是大于一般情况下的总期望收益。

4 结论

本文从一般情况和库存共享情况出发，构建了处于竞争中的线上线下零售商的库存模型，分别得出了最大期望收益值。

结果表明，参与库存共享的双方零售商，其期望收益都有所提升，这说明了即使存在竞争，零售商也可以通过库存共享来增加收益，以此避免市场需求不确定带来的成本风险。然而需要注意的是，随着调货单价的变化，零售商的期望收益也有所变化。尤其当边际收益低于零时，零售商不再考虑库存共享。合并两个零售商的收益，可以发现库存共享情况下的总期望收益总是大于一般情况下的，也就是说库存共享从整体而言是有利无弊的。因此，为了能使得零售商双方都参与库存共享，可以将调货单价作为一种期望收益协调方式，保证双方的边际收益均大于零，只有在这样的情况下，双方才能真诚合作。

综上，就算是竞争型零售商也需要合作，且期望收益会随着合作深度的增大而增大。对于单个零售商，如果想要获得更多的收益，就只能增加竞争能力而不是减弱合作程度来达成目的。